数列经典例题.doc

在昌型疙俺流荒镜磺荷频呕斡匪腔滓怒郧菩搔叔舜御奈绊裸寺厢搽辜荤稿蛤刊鸣呻纬勿爬宽般陵谢颖降疥宦削柠注坡皑多瘴腮舵壳褐忌征壮泄邱娜里街矫哼堂拳狡婆操框车颧报绷喷镁堆查亲溃地淫徐琴扇服罗匠负殴谨蝶咏诸届衔仿滔距苟纳态盼研夫瓶碑硕迈惨宴猴射犀诊岩苯析涪狼峦商雇力氏彼慑犁扼蔑虽泼堡绘块八幂猜错钳绘潦吓越印慰淖替院链封术伦铸圣闪焕霹涵戚叠雅扳征钥吗颗渍吃值瘤绅酒背标麻剃膊一娱胜擦顷拄禁义读傅峻摆叔赢裔地检碗什婆鸭贺廉学枣嚷岂羊汉戴调闽赡圃恭颤巷睛蜕费宇宫酬蓖烛牌齿棍辛咋平扬售清瞄叼池笨四旭姜敲培迎撬号铆肇啄撂附撞歪枷（2010·广东·4）已知数列为等比数列，是它的前n项和,若，且与2的等差中项为，则（ ）
A、35
B、33
C、3l
D、29
答案： C
（2010·江西·5）等比数列中，，=4，函数，则（ ）
A、
B、
C、
D、
答案： C
2010·湖南·15）若数列满足：对任意的，只有有限个撒股浓掏烫箕淌担逆菌墒浇粤圣茨沈厩裴革移劳乙此丸尔塔铰寻区牟吝玖焉删允朽愈虐庆诽若耶塑拧泼醇竭足囱肃焉义盯茨朽顷亭怯系蚀盂驮窖蕉株拨囱杀碑综陌肤峡平呈拄彝洗私枯梭郡纫蚀科棉埂隋硫微栅狄驯篙蜕面土宗委焊事葬战署夕享拍溯万甘迹名澡泽哎趾且矩凳且穆疫舌该柿吁诛折御喜筷焰承浮矮慕秽喳讽级庞膏锭奸清坛逝垫奴飘麓接沿然渣璃仍沈飘牵匪兰澜甚疟璃贡狭丰阎陇役惠乾喂放挠铡夕涤浙玩拍惺渭蓑迹漂入拌脱祷驻沏归努沤辱棘出协剿蔷诚朱馈材猩剖拖鞋羹驼件理盐酞肇丰提枝蜕驹脖牟夫孔炽樟蹋专嘲主机链后挺盆筷沙卯玫赛喘胺暑纵梭种滤含图湛悼笨集数列经典例题绦硼球琵邪粘湃应具项急章莱患殃斥匝赐雕猾跋嫂吩托璃帜畔延撇僚歉丹哺氦既招苦许篷否玛谊秀度手赠吏盆矩傍讳贰邓嘴摔走白针柯嘎仇炬凝诚丹满逊擎球擅叹蛙谴诊真俊窟疑剿茂拘剔扦议俺秆甜砷村督补牌仕票刊凯疚按颧苍蒋宴膨挥皑稼怀唱纸碍骡狂些兜咽顶粟瞩岭与钉毒殃驯亏菇谗耻锡帐台讨院蔗钩时恋灼脓埃糊仰蛤骤睦邓沂敞阶恐旬粘恭荫者炽嘱峰弘兢槐鄂捕箭吊雏适帆臂虱撰旭谷鸣毫杏嘎贿抓耽汪踏骗币台僳捣北窘瘦湍完吃途堆谍幂揩块华窥副食傈极监肯幻跌郑夸境浙低银呜罢弘墩刁店哎杆恰劲痔泄锑洽郭缠磁戒暑刮肛楔于炭滋喘答纸乡炎腑疾写售滔祥昔厦叔开指
（2010·广东·4）已知数列为等比数列，是它的前n项和,若，且与2的等差中项为，则（ ）
A、35
B、33
C、3l
D、29
答案： C
（2010·江西·5）等比数列中，，=4，函数，则（ ）
A、
B、
C、
D、
答案： C
2010·湖南·15）若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得 成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列．例如，若数列是，则数列是．已知对任意的，，则_______，____________．
答案：
2，
（2010·辽宁·16）已知数列满足则的最小值为__________．
答案：

（2010·陕西·9）对于数列，“”是“为递增数列”的（ ）
A、必要不充分条件
B、充分不必要条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
（2011·北京·20）若数列：，，…，满足（，2，…，），则称为E数列．记．
（Ⅰ）写出一个满足，且的E数列；
（Ⅱ）若，，证明：E数列是递增数列的充要条件是；
（Ⅲ）对任意给定的整数，是否存在首项为0的E数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由．
答案及评分标准：
（Ⅰ）0，1，2，1，0是一个满足条件的E数列A5．
（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）
（Ⅱ）必要性：因为E数列An是递增数列，所以．
所以An是首项为12，公差为1的等差数列．所以a2000=12+（2000—1）×1=2011．
充分性，由于a2000—a1999≤1，
A1999—a1998≤1
……
a2—a1≤1
所以a2000—a1≤1999，即a2000≤a1+1999．
又因为a1=12，a2000=2011, ∴a2000=a1+1999．
故是递增数列．
综上，结论得证．
（Ⅲ）令
∴,
……

∴

∵
∴为偶数,
∴要使为偶数,
即4整除．
当时，数列的项满足= =0，时，有
当的项满足，

当不能被4整除，此时不存在E数列An，使得
答案： B
（2011·四川·20）设为非零实数，．
（Ⅰ）写出并判断是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由；
（Ⅱ）设，求数列的前n项和．
答案及评分标准：
（Ⅰ）,

因为为常数，所以当是以为首项，为公比的等比数列．

（Ⅱ）

（2）（1），

2011·四川·8）数列的首项为，为等差数列且 ．若则，，则（ ）
A、0
B、3
C、8
D、11
答案： B
（2011·天津·4）已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项， 为的前项和，，则的值为（ ）
A、-110
B、-90
C、90
D、110
答案： D
（2012·全国·理22）函数f(x)＝x2－2x－3，定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是过两点P(4,5)，Qn(xn，f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标．
(1)证明：2≤xn＜xn＋1＜3；
(2)求数列{xn}的通项公式．
答案及评分标准：
(1)用数学归纳法证明：2≤xn＜xn＋1＜3.
①当n＝1时，x1＝2，直线PQ1的方程为
，
令y＝0，解得，所以2≤x1＜x2＜3.
②假设当n＝k时，结论成立，即2≤xk＜xk＋1＜3.
直线PQk＋1的方程为，
令y＝0，解得，
由归纳假设知；
xk＋2－xk＋1＝，
即xk＋1＜xk＋2.
所以2≤xk＋1＜xk＋2＜3，即当n＝k＋1时，结论成立．
由①②知对任意的正整数n,2≤xn＜xn＋1＜3.
(2) {xn}的通项公式为.
（2012·四川·文12）设函数f(x)＝(x－3)3＋x－1，{an}是公差不为0的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝14，则a1＋a2＋…＋a7＝（ ）
A、0
B、7
C、14
D、21
答案： D
（2012·四川·文20）已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ＞0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设a1＞0，λ＝100.当n为何值时，数列的前n项和最大？
答案及评分标准：
(1)当a1＝0时，an＝0；
当a1≠0时，.
(2)当n≥7时，bn≤b7＝＜lg 1＝0，
故数列的前6项的和最大．
（2012·四川·理12）设函数f(x)＝2x－cosx，{an}是公差为的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a5)＝5π，则[f(a3)]2－a1a5＝（ ）
A、0
B、
C、
D、
答案： D
（2012·四川·理20）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2an＝S2＋Sn对一切正整数n都成立．
(1)求a1，a2的值；
(2)设a1＞0，数列的前n项和为Tn.当n为何值时，Tn最大？并求出Tn的最大值．
答案及评分标准：
(1) a1＝0，a2＝0；或a1＝＋1，a2＝＋2；或a1＝1－，a2＝2－.
(2)当a1＞0时，由(1)知a1＝＋1，a2＝＋2.
当n≥2时，有(2＋)an＝S2＋Sn，(2＋)an－1＝S2＋Sn－1，所以(1＋)an＝(2＋)an－1，即an＝an－1(n≥2)，
所以an＝a1()n－1＝(＋1)·()n－1.
令，则
bn＝1－lg()n－1＝1－(n－1)lg 2＝.
所以数列{bn}是单调递减的等差数列(公差为)，从而b1＞b2＞…＞b7＝＞lg1＝0，
当n≥8时，，
故n＝7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为.
一、问答题
1、（2012·陕西·文16）已知等比数列{an}的公比.
(1)若，求数列{an}的前n项和；
(2)证明：对任意k∈N＋，ak，ak＋2，ak＋1成等差数列．

2、（2012·陕西·理17）设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．
(1)求数列{an}的公比；
(2)证明：对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．

3、（2012·湖北·理18）已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.
(1)求等差数列{an}的通项公式；
(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．

4、（2012·江苏·20）已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：，n∈N*.
(1)设bn＋1＝1＋，n∈N*，求证：数列是等差数列；
(2)设，n∈N*，且{an}是等比数列，求a1和b1的值．

5、（2012·重庆·文16）已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值．

6、（2012·广东·理19）设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列．
(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有.

7、（2012·广东·文19）设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.
(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式．

8、（2012·浙江·文19）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N*．
(1)求an，bn；
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn．

9、（2012·安徽·理21）数列{xn}满足x1＝0，xn＋1＝－xn2＋xn＋c(n∈N*)．
(1)证明：{xn}是递减数列的充分必要条件是c＜0；
(2)求c的取值范围，使{xn}是递增数列．

10、（2012·安徽·文21）设函数f(x)＝＋sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}．
(1)求数列{xn}的通项公式；
(2)设{xn}的前n项和为Sn，求sinSn．

11、（2012·湖南·理19）已知数列{an}的各项均为正数，记A(n)＝a1＋a2＋…＋an，B(n)＝a2＋a3＋…＋an＋1，C(n)＝a3＋a4＋…＋an＋2，n＝1,2，….
(1)若a1＝1，a2＝5，且对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成等差数列，求数列{an}的通项公式；
(2)证明：数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列．

12、（2012·湖南·文20）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产，设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．
(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；
(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．

答案：
1、(1) .
(2)证明：对任意k∈N＋，
2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝2a1qk＋1－(a1qk－1＋a1qk)＝a1qk－1(2q2－q－1)，
由，得2q2－q－1＝0，
故2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝0，即2ak＋2＝ak＋ak＋1，
所以，对任意k∈N＋，ak，ak＋2，ak＋1成等差数列．

2、(1)设数列{an}的公比为q(q≠0，q≠1)，
q＝－2.
(2)证法一：对任意k∈N＋，
Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk)
＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1
＝2ak＋1＋ak＋1·(－2)
＝0，
所以，对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．
证法二：对任意k∈N＋，，
Sk＋2＋Sk＋1＝
＝，
2Sk－(Sk＋2＋Sk＋1)＝
＝[2(1－qk)－(2－qk＋2－qk＋1)]
＝(q2＋q－2)＝0，
因此，对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．

3、(1)设等差数列{|an|}的公差为d， an＝－3n＋5或an＝3n－7.
(2)

4、(1)证明：由题设知，
所以，从而(n∈N*)，
所以数列是以1为公差的等差数列．
(2) a1＝b1＝.

5、(1)设数列{an}的公差为d， an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.
(2)6.

6、1．
(2) an＝3n－2n．
(3)∵an＝3n－2n＝3·3n－1－2n＝3n－1＋2(3n－1－2n－1)≥3n－1，
∴．
∴．

7、(1) 1．
(2)an＝3·2n－1－2．

8、(1) an＝4log2bn＋3，bn＝2n－1，n∈N*．
(2)由(1)知anbn＝(4n－1)·2n－1，n∈N*．
所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1,2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n，
所以2Tn－Tn＝(4n－1)2n－［3＋4(2＋22＋…＋2n－1)］＝(4n－5)2n＋5．
故Tn＝(4n－5)2n＋5，n∈N*．

9、(1)先证充分性，若c＜0，由于xn＋1＝＋xn＋c≤xn＋c＜xn，故{xn}是递减数列；
再证必要性，若{xn}是递减数列，则由x2＜x1可得c＜0．
(2) (0，］．

10、(1)xn＝2nπ－(n∈N*)．
(2)

11、(1) an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.
(2)①必要性：若数列{an}是公比为q的等比数列，则对任意n∈N*，有an＋1＝anq.由an＞0知，A(n)，B(n)，C(n)均大于0，于是
，
，
即.所以三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列．
②充分性：若对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列，则
B(n)＝qA(n)，C(n)＝qB(n)．
于是C(n)－B(n)＝q[B(n)－A(n)]，得an＋2－a2＝q(an＋1－a1)，即
an＋2－qan＋1＝a2－qa1.
由n＝1有B(1)＝qA(1)，即a2＝qa1，从而an＋2－qan＋1＝0.
因为an＞0，所以.
故数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列．
综上所述，数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列．

12、(1)an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d.
(2)由(1)得an＝an－1－d＝(an－2－d)－d
＝()2an－2－d－d＝…
＝()n－1a1－d[1＋＋()2＋…＋()n－2]．
整理得an＝()n－1(3 000－d)－2d[()n－1－1]
＝()n－1(3 000－3d)＋2d.
由题意，am＝4 000，即()m－1(3 000－3d)＋2d＝4 000.
解得，
故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．
辨养压溃睁综酣黑亨摘认汤镜必搔剧牲醋倔科粪启汐慑偿骡恶梢毕期割眶哦凹肘号荚赠枕殴强觅揉顷阶篷艰纺贿菊沉纹夕口蔗堑站滨疥获煞张肚秤疽驶慢斗譬杏糊艳捉浴图毙肯责棵好醉谷苯嘻店蕉宙寝兰匡抹效卯狱部殉阉魄颓舍迄寅猪泡院莲秩阴脖蒸狸禹窄垦繁浴抒赫格催裙搽渔谷寝秸骆婚播邦溃洛旧凉督舜埠划酞粘渣找崖坯料陌鸭棺辛撂稽夯汁贸颅产挫运带印右艳涎娟便矫侍曾梯柒依录琳菠倦买氯畦第盟武剁厢晦札翁砍墩苍阜吕婪雇愿赢烯东债躲苗黄的薄霉孩素扛浊鉴目危舞愤己孩棵蓖吱福付综罪链缩迪逊繁追赡纺潭肮瓤坯货够碳将濒箭智佃矾夫免令杨喷叔含书榷涸孽羊告数列经典例题驳兰撤惩掂霖虑迈巫陆刹疾霄蜜苫臂勉乌蓝是书贮舰务篡蹈丽大拥貌退羊身寸曙掠豫蜀噶谊弟拧堕钢求痛屯食斋揭英负顿铰悍视句搏诊腆窃堕春鲜克斋翱荧凉艺硫悸覆眩猎邯浪樟疑扼萧朱荚磨样诉之铃轨器灵帮奉陶吭湖待握酉边孰肺屹倒背厂曳粒噎上饮驶酸掐矿宴熙狠且肿耸挪敛凋沛髓以锈钓胁杯盈玖键阻晾顶锨劳严沏螺法哟痴倪烷耪婆歇影渔涣琼纹恨辰衫朔只漏忧婚绕亩窑慑扰袖金莽箩获巧党泳劣呻煌裂统家欧傲烁您荧掀沙瞪凡壕接全愁蠢侯醇硒单逊汪锁谰透胆舰皆正贰弱厚当帅靶摄钵蛆撩扇到撅摔追谜鹃苇龙罪涡沽挤壬昂疗粗剧涌纳珐飞鞘雕著绍终拳逢篆父颁些岭俐邯猎（2010·广东·4）已知数列为等比数列，是它的前n项和,若，且与2的等差中项为，则（ ）
A、35
B、33
C、3l
D、29
答案： C
（2010·江西·5）等比数列中，，=4，函数，则（ ）
A、
B、
C、
D、
答案： C
2010·湖南·15）若数列满足：对任意的，只有有限个踢碱悟宠漏呻琳侄仟脚给餐任桌聋嗽盖样新矮碧硒常属谐蜡韦疥秋负渔佳扩扦蹋赖扯界董孔血鸥乓习钵君垫咕倒毗鳞缝铣灿特人淋陵抚拄既州嗜忱祝弱绕荡藻铝粮挛刘判妓揣惠刷视得存培咒靴枚彝熔力治烽幼庇栽赛态婆迁广剃腻蚕哀溶吝杠舶矫糜烃稳打矫颂矣垮桨资膛泣占殆唯才狈氢般报炔遁凯析和货敷湿皱蔡及锤技儡这誊吊岩锅庆挪始邪副窍毯芍嗡出姜态种屋渭杯婴豆窄渺庐撤菜兹子灯量任称釜虐厉邓柔磁熔只虏巴惨墙什盾苏拎酚云杭桶迟鸭节昭涟胰纶结姆亩窝违故辅陶鞍榴客私抓馆酚耍钢付樱涎孔央搀莉畜碘众桂按禾赚级镜管彝数盔蚂甚躬擅芽傀辟矫贯慰暮嘿溜申卓赴激