数列经典例题(裂项相消法).doc

(完整版)数列经典例题(裂项相消法)数列裂项相消求和的典型题型1已知等差数列的前n项和为则数列的前100项和为（)A B C D2数列其前项之和为则在平面直角坐标系中，直线在y轴上的截距为(）A10 B9 C10 D93等比数列的各项均为正数，且(）求数列的通项公式；（）设求数列的前项和4正项数列满足(）求数列的通项公式；(）令求数列的前项和5设等差数列的前项和为,且（)求数列的通项公式;（）设数列满足求的前项和6已知等差数列满足：的前项和为(）求及；（)令求数列的前项和7在数列中（）求的通项公式；（)令求数列的前项和；()求数列的前项和8已知等差数列的前3项和为6，前8项和为4()求数列的通项公式；（）设求数列的前项和9已知数列满足且对都有（)求；（）设证明：是等差数列；（）设求数列的前项和10已知数列是一个公差大于0的等差数列，且满足(）求数列的通项公式；()数列和数列满足等式求数列的前项和11已知等差数列的公差为2，前项和为,且成等比数列(1）求数列的通项公式；（2)令求数列的前项和.12正项数列的前n项和满足：。(1)求数列的通项公式；（2）令数列的前n项和为，证明：对于都有.答案：1A;2B3解:（)设数列an的公比为q，由a32=9a2a6有a32=9a42，q2=由条件可知各项均为正数，故q=由2a1+3a2=1有2a1+3a1q=1，a1=故数列an的通项式为an=()bn=+=（1+2+n）=，故=2（）则+=2（1）+()+（）=，数列的前n项和为4解：()由正项数列an满足：（2n1）an2n=0，可有（an2n）（an+1）=0an=2n（）an=2n，bn=，bn=，Tn=数列bn的前n项和Tn为5解:(）设等差数列an的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2an+1有:，解有a1=1,d=2an=2n1,nN（)由已知+=1，nN*，有:当n=1时,=，当n2时,=（1）（1）=,n=1时符合=，nN*由（）知，an=2n1，nN*bn=，nN*又Tn=+，Tn=+,两式相减有：Tn=+（+)=Tn=36解：()设等差数列an的公差为d，a3=7,a5+a7=26，有，解有a1=3，d=2,an=3+2（n1)=2n+1;Sn=n2+2n;（）由（)知an=2n+1,bn=,Tn=，即数列bn的前n项和Tn=7解：()由条件有,又n=1时，故数列构成首项为1,公式为的等比数列,即（）由有，两式相减，有:，（)由有Tn=2Sn+2a12an+1=8解：（）设an的公差为d，由已知有解有a1=3，d=1故an=3+（n1)(1)=4n；（）由（)的解答有，bn=nqn1，于是Sn=1q0+2q1+3q2+nqn1若q1，将上式两边同乘以q，有qSn=1q1+2q2+3q3+nqn上面两式相减，有（q1）Sn=nqn(1+q+q2+qn1）=nqn于是Sn=若q=1，则Sn=1+2+3+n=，Sn=9解：(）由题意，令m=2，n=1，可有a3=2a2a1+2=6再令m=3，n=1，可有a5=2a3a1+8=20()当nN*时，由已知(以n+2代替m)可有a2n+3+a2n1=2a2n+1+8于是a2（n+1）+1a2（n+1）1（a2n+1a2n1）=8即bn+1bn=8bn是公差为8的等差数列（）由（) (）解答可知bn是首项为b1=a3a1=6，公差为8的等差数列则bn=8n2，即a2n+1a2n1=8n2另由已知(令m=1）可有an=（n1）2an+1an=2n+1=2n+1=2n于是cn=2nqn1当q=1时，Sn=2+4+6+2n=n（n+1）当q1时，Sn=2q0+4q1+6q2+2nqn1两边同乘以q，可有qSn=2q1+4q2+6q3+2nqn上述两式相减，有（1q）Sn=2（1+q+q2+qn1）2nqn=22nqn=2Sn=2综上所述，Sn=10解：（）设等差数列an的公差为d，则依题意可知d0由a2+a7=16，有，2a1+7d=16由a3a6=55,有（a1+2d)（a1+5d)=55由联立方程求，有d=2，a1=1/d=2，a1=（排除）an=1+（n1）2=2n1()令cn=，则有an=c1+c2+cnan+1=c1+c2+cn+1两式相减,有an+1an=cn+1，由(1)有a1=1,an+1an=2cn+1=2,即cn=2(n2)，即当n2时，bn=2n+1，又当n=1时，b1=2a1=2bn=于是Sn=b1+b2+b3+bn=2+23+24+2n+1=2n+26，n2,11解（1)因为S1a1,S22a122a12,S44a124a112，由题意得(2a12）2a1（4a112)，解得a11，所以an2n1。（2)bn(1）n1（1)n1(1）n1（)当n为偶数时,Tn（1）()（)(）1。当n为奇数时，Tn(1）()(）（）1。所以Tn（或Tn）12（1）解由S(n2n1)Sn(n2n)0,得Sn(n2n）(Sn1)0，由于an是正项数列，所以Sn10。所以Snn2n(nN*）n2时，anSnSn12n，n1时,a1S12适合上式an2n(nN*)（2)证明由an2n(nN*）得bnTn(nN)即对于任意的nN,都有Tn。3、真真的心，想你；美美的意，恋你;暖暖的怀，抱你；甜甜的笑,给你;痴痴的眼，看你;深深的夜,梦你；满满的情，宠你；久久的我，爱你!4、不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔.爱情来了,你还在犹豫么？5、美女，我注意你好久啦,就是不知道怎么表白。我翻来覆去,思来想去，最终想到一个大胆的办法，我要俘虏你的心，让你爱上我。爱上了吗？6、对你的爱意，早已飞过万水千山，飞到你眼前，请你睁开眼，仔细看认真听，我的眼睛为你明亮，我的嗓音为你歌唱，来吧，让我们一起舞动爱情之歌！7、爱你没商量，你的眼睛眨一下,我就死去,你的眼睛再眨一下，我就活过来，你的眼睛不停地眨来眨去，于是我便死去活来！8、因为深爱，找不到词汇诠释，因为深爱,找不到言语概括，因为深爱,只能发条短信,轻声说一声“我爱你”，这不是三个字，而是一辈子！9、我对你的心是鲜啤酒，清澈甘冽;我对你的情是葡萄酒，味美甘甜；我对你的爱是刀烧酒,热情浓烈；醉倒在怀，无限爱恋。10、人生短短几十年，不要给自己留下了什么遗憾，想笑就笑，想哭就哭，该爱的时候就去爱,无谓压抑自己。人生的苦闷有二，一是欲望没有被满足，二是它得到了满足。11、一片琼花天庭落，万里江山披银河,冰凌也有相思苦，写意窗花含泪说，昙花一现夜梦短，早有晨光盼春歌。想你,我的心会和你一起启程，祈祷每一个黎明.12、戒指好比爱情,戴在手上,也是戴在心上;伤在心上,便也伤在手上。不敢碰的，是那心里的伤；不愿摘的，是那难舍的爱。13、在追求爱情的列车上，透过车窗，可以欣赏到许多优美的景色，但是，请不要留恋，因为终点站才是真正的目的地。但愿我能够成为你永远的终点站!14、爱一个人真的好难，让我欢喜让我忧！如果不让我去爱你的话，我会更难受,更彷徨.所以为了我自己,我还是爱着你吧！15、诚挚的微笑，每一次心跳,或许寂然无声，却胜过虚幻的海誓山盟；真情的碰撞,灵魂的契合，或许不够浪漫，却胜过无数的真情告白.16、此时此刻我又想起了你，想你的感觉是一种酸酸的痛！不能打电话告诉你,只想用文字亲亲你！记住爱你的人始终是我！17、爱你一万年，夸张！爱你五千年,无望！爱你一千年，荒唐!爱你一百年，太长！接连爱你七十年,只要我身体健康，就是我的强项！18、如果不爱你,不会为你守着誓言，如果不爱你，不会承受一切的罪恶感，如果不爱你，不会因你而绽放幸福的光彩。19、一个犀利并朦胧眼神，传递心中纠结情感,我们的距离愈近或愈远。发条简朴并低调的信息,尽享真情互动，指尖点点,送你的却是心中真情满满。20、上帝给了我这份缘，所以我每天都在天堂。生活里因为有了爱，所以我身边幸福弥漫.日子里面有了你,所以天天我都很美.