数列经典例题(裂项相消法).doc

(完整版)数列经典例题(裂项相消法)
数列裂项相消求和的典型题型
1．已知等差数列的前n项和为则数列的前100项和为（　　)
A． B． C． D．
2．数列其前项之和为则在平面直角坐标系中，直线在y轴上的截距为(　　）
A．－10 B．－9 C．10 D．9
3．等比数列的各项均为正数，且．
(Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设求数列的前项和．
4．正项数列满足．
(Ⅰ）求数列的通项公式；
(Ⅱ）令求数列的前项和．
5．设等差数列的前项和为,且．
（Ⅰ)求数列的通项公式;
（Ⅱ）设数列满足求的前项和．
6．已知等差数列满足：．的前项和为．
(Ⅰ）求及；
（Ⅱ)令求数列的前项和．
7．在数列中．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ)令求数列的前项和；
(Ⅲ)求数列的前项和．
8．已知等差数列的前3项和为6，前8项和为﹣4．
(Ⅰ)求数列的通项公式；
（Ⅱ）设求数列的前项和．
9．已知数列满足且对都有．
（Ⅰ)求；
（Ⅱ）设证明：是等差数列；
（Ⅲ）设求数列的前项和．
10．已知数列是一个公差大于0的等差数列，且满足．
(Ⅰ）求数列的通项公式；
(Ⅱ)数列和数列满足等式求数列的前项和．
11．已知等差数列的公差为2，前项和为,且成等比数列．
(1）求数列的通项公式；
（2)令求数列的前项和.
12．正项数列的前n项和满足：。
(1)求数列的通项公式；
（2）令数列的前n项和为，证明：对于都有.
答案：
1．A;2．B
3．解:（Ⅰ)设数列｛an}的公比为q，由a32=9a2a6有a32=9a42，∴q2=．
由条件可知各项均为正数，故q=．
由2a1+3a2=1有2a1+3a1q=1，∴a1=．
故数列{an}的通项式为an=．
(Ⅱ)bn=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，
故=﹣=﹣2（﹣）
则++…+=﹣2[（1﹣）+(﹣)+…+（﹣）]=﹣，
∴数列{｝的前n项和为﹣．
4．解：(Ⅰ)由正项数列{an｝满足：﹣（2n﹣1）an﹣2n=0，
可有（an﹣2n）（an+1）=0
∴an=2n．
（Ⅱ）∵an=2n，bn=，
∴bn===，
Tn===．
数列｛bn｝的前n项和Tn为．
5．解:(Ⅰ）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2an+1有:，
解有a1=1,d=2．
∴an=2n﹣1,n∈N＊．
（Ⅱ)由已知++…+=1﹣，n∈N*，有:
当n=1时,=，
当n≥2时,=（1﹣）﹣（1﹣）=,∴,n=1时符合．
∴=，n∈N*
由（Ⅰ）知，an=2n﹣1，n∈N*．
∴bn=，n∈N*．
又Tn=+++…+，
∴Tn=++…++,
两式相减有：Tn=+（++…+)﹣=﹣﹣
∴Tn=3﹣．
6．解：(Ⅰ)设等差数列｛an}的公差为d，
∵a3=7,a5+a7=26，
∴有，
解有a1=3，d=2,
∴an=3+2（n﹣1)=2n+1;
Sn==n2+2n;
（Ⅱ）由（Ⅰ)知an=2n+1,
∴bn====,
∴Tn===，
即数列{bn｝的前n项和Tn=．
7．解：(Ⅰ)由条件有,又n=1时，，
故数列构成首项为1,公式为的等比数列．∴,即．
（Ⅱ）由有，，
两式相减，有:，∴．
（Ⅲ)由有．
∴Tn=2Sn+2a1﹣2an+1=．
8．解：（Ⅰ）设{an｝的公差为d，
由已知有
解有a1=3，d=﹣1
故an=3+（n﹣1)(﹣1)=4﹣n；
（Ⅱ）由（Ⅰ)的解答有，bn=n•qn﹣1，于是
Sn=1•q0+2•q1+3•q2+…+n•qn﹣1．
若q≠1，将上式两边同乘以q，有
qSn=1•q1+2•q2+3•q3+…+n•qn．
上面两式相减，有
（q﹣1）Sn=nqn﹣(1+q+q2+…+qn﹣1）=nqn﹣
于是Sn=
若q=1，则Sn=1+2+3+…+n=
∴，Sn=．
9．解：(Ⅰ）由题意，令m=2，n=1，可有a3=2a2﹣a1+2=6
再令m=3，n=1，可有a5=2a3﹣a1+8=20
(Ⅱ)当n∈N*时，由已知(以n+2代替m)可有a2n+3+a2n﹣1=2a2n+1+8
于是[a2（n+1）+1﹣a2（n+1）﹣1］﹣（a2n+1﹣a2n﹣1）=8
即bn+1﹣bn=8
∴{bn｝是公差为8的等差数列
（Ⅲ）由（Ⅰ) (Ⅱ）解答可知{bn｝是首项为b1=a3﹣a1=6，公差为8的等差数列
则bn=8n﹣2，即a2n+1﹣a2n﹣1=8n﹣2
另由已知(令m=1）可有
an=﹣（n﹣1）2．
∴an+1﹣an=﹣2n+1=﹣2n+1=2n
于是cn=2nqn﹣1．
当q=1时，Sn=2+4+6++2n=n（n+1）
当q≠1时，Sn=2•q0+4•q1+6•q2+…+2n•qn﹣1．
两边同乘以q，可有
qSn=2•q1+4•q2+6•q3+…+2n•qn．
上述两式相减，有
（1﹣q）Sn=2（1+q+q2+…+qn﹣1）﹣2nqn=2•﹣2nqn=2•
∴Sn=2•
综上所述，Sn=．
10．解：（Ⅰ）设等差数列{an｝的公差为d，
则依题意可知d＞0由a2+a7=16，
有，2a1+7d=16①
由a3a6=55,有（a1+2d)（a1+5d)=55②
由①②联立方程求，有d=2，a1=1/d=﹣2，a1=（排除）
∴an=1+（n﹣1）•2=2n﹣1
(Ⅱ)令cn=，则有an=c1+c2+…+cn
an+1=c1+c2+…+cn+1
两式相减,有
an+1﹣an=cn+1，由(1)有a1=1,an+1﹣an=2
∴cn+1=2,即cn=2(n≥2)，
即当n≥2时，
bn=2n+1，又当n=1时，b1=2a1=2
∴bn=
于是Sn=b1+b2+b3+…+bn=2+23+24+…2n+1=2n+2﹣6，n≥2,
．
11．解　（1)因为S1＝a1,S2＝2a1＋×2＝2a1＋2,
S4＝4a1＋×2＝4a1＋12，
由题意得(2a1＋2）2＝a1（4a1＋12)，解得a1＝1，
所以an＝2n－1。
（2)bn＝(－1）n－1＝（－1)n－1＝(－1）n－1（＋)．
当n为偶数时,
Tn＝（1＋）－(＋)＋…＋（＋)－(＋）＝1－＝。
当n为奇数时，
Tn＝(1＋）－(＋)＋…－(＋）＋（＋）＝1＋＝。
所以Tn＝（或Tn＝）
12．（1）解　由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0,
得[Sn－(n2＋n）](Sn＋1)＝0，
由于｛an}是正项数列，所以Sn＋1〉0。
所以Sn＝n2＋n(n∈N*）．
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，
n＝1时,a1＝S1＝2适合上式．
∴an＝2n(n∈N*)．
（2)证明　由an＝2n(n∈N*）得bn＝＝＝
Tn＝
＝<＝(n∈N＊)．
即对于任意的n∈N＊,都有Tn〈。

　3、真真的心，想你；美美的意，恋你;暖暖的怀，抱你；甜甜的笑,给你;痴痴的眼，看你;深深的夜,梦你；满满的情，宠你；久久的我，爱你!
　　4、不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔.爱情来了,你还在犹豫么？
　　5、美女，我注意你好久啦,就是不知道怎么表白。我翻来覆去,思来想去，最终想到一个大胆的办法，我要俘虏你的心，让你爱上我。爱上了吗？
　　6、对你的爱意，早已飞过万水千山，飞到你眼前，请你睁开眼，仔细看认真听，我的眼睛为你明亮，我的嗓音为你歌唱，来吧，让我们一起舞动爱情之歌！
　　7、爱你没商量，你的眼睛眨一下,我就死去,你的眼睛再眨一下，我就活过来，你的眼睛不停地眨来眨去，于是我便死去活来！
　　8、因为深爱，找不到词汇诠释，因为深爱,找不到言语概括，因为深爱,只能发条短信,轻声说一声“我爱你”，这不是三个字，而是一辈子！
　　9、我对你的心是鲜啤酒，清澈甘冽;我对你的情是葡萄酒，味美甘甜；我对你的爱是刀烧酒,热情浓烈；醉倒在怀，无限爱恋。
　　10、人生短短几十年，不要给自己留下了什么遗憾，想笑就笑，想哭就哭，该爱的时候就去爱,无谓压抑自己。人生的苦闷有二，一是欲望没有被满足，二是它得到了满足。
　　11、一片琼花天庭落，万里江山披银河,冰凌也有相思苦，写意窗花含泪说，昙花一现夜梦短，早有晨光盼春歌。想你,我的心会和你一起启程，祈祷每一个黎明.
　　12、戒指好比爱情,戴在手上,也是戴在心上;伤在心上,便也伤在手上。不敢碰的，是那心里的伤；不愿摘的，是那难舍的爱。
　　13、在追求爱情的列车上，透过车窗，可以欣赏到许多优美的景色，但是，请不要留恋，因为终点站才是真正的目的地。但愿我能够成为你永远的终点站!
　　14、爱一个人真的好难，让我欢喜让我忧！如果不让我去爱你的话，我会更难受,更彷徨.所以为了我自己,我还是爱着你吧！
　　15、诚挚的微笑，每一次心跳,或许寂然无声，却胜过虚幻的海誓山盟；真情的碰撞,灵魂的契合，或许不够浪漫，却胜过无数的真情告白.
　　16、此时此刻我又想起了你，想你的感觉是一种酸酸的痛！不能打电话告诉你,只想用文字亲亲你！记住爱你的人始终是我！
　　17、爱你一万年，夸张！爱你五千年,无望！爱你一千年，荒唐!爱你一百年，太长！接连爱你七十年,只要我身体健康，就是我的强项！
　　18、如果不爱你,不会为你守着誓言，如果不爱你，不会承受一切的罪恶感，如果不爱你，不会因你而绽放幸福的光彩。
　　19、一个犀利并朦胧眼神，传递心中纠结情感,我们的距离愈近或愈远。发条简朴并低调的信息,尽享真情互动，指尖点点,送你的却是心中真情满满。
　　20、上帝给了我这份缘，所以我每天都在天堂。生活里因为有了爱，所以我身边幸福弥漫.日子里面有了你,所以天天我都很美.