数列通项公式经典例题解析.doc

求数列通项公式
一、公式法
类型1
解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。
例1 已知数列满足，，求数列的通项公式。
解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。
练习题：
1.已知数列满足，求数列的通项公式。
2. 已知数列满足，，求
例2 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得则

所以数列的通项公式为。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
二、累乘法
类型2
解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例3 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：因为，所以，则，故
所以数列的通项公式为
评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
例4 已知数列满足，求的通项公式。
解：因为 ①
所以 ②
用②式－①式得
则
故
所以
由，，则，又知，则，代入③得。
所以，的通项公式为
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。
练习题：
1. 已知数列满足，，求
2. 已知， ，求

三、待定系数法
类型3 （其中p，q均为常数，）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。
例5 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设
将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得 ⑤
由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
练习题1 已知数列满足，求数列的通项公式。
练习题 2 已知数列满足，求数列的通项公式。
过关练习：
1 已知数列中，，，求
2 在数列中，若，则该数列的通项_______________

四、数学归纳法
例6已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由及，得

由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。
（1）当时，，所以等式成立。
（2）假设当时等式成立，即，则当时，

由此可知，当时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。
评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。
其他类型
类型4 （其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。
课后练习题 已知数列中，,，求。

类型5 递推公式为与的关系式。(或)
解法：这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解。
课后练习题 已知数列前n项和.
（1）求与的关系；（2）求通项公式.

类型6
解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。
课后练习题 设数列：，求.

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