数列求和经典例题.doc

数列通项的方法
⑴利用观察法求数列的通项.
⑵利用公式法求数列的通项：①；②等差、等比数列公式.
⑶应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①；②
⑶构造等差、等比数列求通项：
① ；②；③；④.

[示例]已知下列各数列的前n项和的公式为，求的通项公式。

题型一 利用公式法求通项

[例]数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)等差数列{bn}的各项为正数，前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.

[练3]数列{an}是公差大于零的等差数列，,是方程的两根。数列的前项和为,且，求数列,的通项公式。

3.已知数列{a}中，a＝－1，a·a＝a－a，则数列通项a＝___________。

[例]已知的首项，，求的通项公式，并求的值。

题型二 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项

[练1]数列中，，则数列的通项( )

[练2]已知为数列的前项和，，，求数列的通项公式.

[例]数列中，,且，则( )

题型三 构造等比数列求通项
[练1]数列中，，求通项公式。

[例]已知数列中，，求数列的通项公式.

[练2]设数列的前项和为，已知，设，求数列的通项公式．

数列求和方法
1. 基本数列的前项和
⑴ 等差数列的前项和：
⑵ 等比数列的前项和：
①当时，；②当时，；
2. 数列求和的常用方法：公式法；性质法；拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法.

题型一 公式法、性质法求和
1.已知为等比数列的前项和，公比，则

2.等差数列中，公差，且，则 .

[例1]求数列的前项和.

题型二 拆项分组法求和

[练2]在数列中，已知a1=2，an+1=4an－3n＋1，n∈.
（1）求数列的通项公式;（2）设数列的前n项和为Sn，求Sn。

[练].求数列的前项和.

[例].求和：.

题型三 裂项相消法求和

[例].求和：.

[例]求和：

]

[练4]已知数列满足
(1) 求数列的通项公式。（2）若数列满足，求数列的通项公式。（3）若，求数列的前n项和。

【示例】以a1为首项等比数列，q为公比，前n项和S n的推导

题型四 错位相减法求和
[例].设数列为求此数列前项的和

[例].设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.

[练1]已知数列、满足，，，。
（1） 求数列的通项公式；
（2）数列满足，求。

[练4]等比数列中，已知对任意自然数n,,求的值

课后练习
1设正项等比数列的首项，前n项和为，且。
（Ⅰ）求的通项；（Ⅱ）求的前n项和。

2数列的前项和记为求的通项公式；

3在数列{an}与{bn}中,a1=1,b1=4,数列{an}的前n项和Sn满足nSn+1-(n+3)Sn=0, n∈N*.
(1)求a2,的值; (2)求数列{an}通项公式;

4设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。
求数列的通项公式

5设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，an+Sn=4096.
(1)求数列{an}的通项公式：
(2)设数列{log2an}的前n项和为Tn.对数列{Tn}，从第几项起Tn＜-509？

6设数列｛an｝的前n项和 …。
(1)求首项a1 求证 是等比数列
（2）求数列{an}的通项公式

7(17)设等差数列{}的前项和为，公比是正数的等比数列{}的前项和为，
已知的通项公式.

8已知数列{} 的前n项和，数列{}的前n项和
（Ⅰ）求数列{}与{}的通项公式；
（Ⅱ）设，证明：当且仅当n≥3时，.

9等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.
（1）求r的值；
（11）当b=2时，记 求数列的前项和

10设数列的前n项和为对任意的正整数n，都有成立，记
求数列与数列的通项公式；