线性代数测试试卷及答案.doc

线性代数(A卷）
　 一﹑选择题(每小题3分，共15分)
1。 设﹑是任意阶方阵,那么下列等式必成立的是( )
（A) (B） （C） （D）
2. 如果元齐次线性方程组有基础解系并且基础解系含有个解向量,那么矩阵的秩为（ ）
(A) （B） （C) （D) 以上答案都不正确
3。如果三阶方阵的特征值为，那么及分别等于（ )
(A） (B) （C) (D）
4。 设实二次型的矩阵为，那么( ）
(A） （B） （C) (D）
5。 若方阵A的行列式，则( )
(A） A的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A的行向量组线性相关,列向量组线性无关
(C) A的行向量组和列向量组均线性无关 （D)A的列向量组线性相关,行向量组线性无关
二﹑填空题（每小题3分,共30分）
1 如果行列式有两列的元对应成比例，那么该行列式等于 ；
2。 设，是的伴随矩阵，则 ；
3. 设，是非齐次线性方程组的解,若也是它的解， 那么 ;
4。 设向量与向量正交，则 ;
5。 设为正交矩阵，则 ；
6. 设是互不相同的三个数，则行列式 ;
7。 要使向量组线性相关,则 ；
8。 三阶可逆矩阵的特征值分别为，那么的特征值分别为 ；
9. 若二次型是正定的，则的取值范围为 ;
10. 设为阶方阵，且满足，这里为阶单位矩阵,那么 .
三﹑计算题（每小题9分，共27分)
1. 已知，，求矩阵使之满足。
2. 求行列式的值.
3 求向量组的一个最大无关组和秩。
四﹑(10分）设有齐次线性方程组
问当取何值时, 上述方程组(1)有唯一的零解﹔(2)有无穷多个解，并求出这些解.
五﹑(12分)求一个正交变换,把下列二次型化成标准形:
.
六﹑(6分)已知平面上三条不同直线的方程分别为
试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为.
线性代数（A卷）答案
一﹑1. D 2. C 3. B 4. A 5. A
二﹑1。 0 2. 3。 1 4。 3 5。 1或-1
6. 7。 0 8. 9。 10。
三﹑1. 解 由得. (2分）
下面求. 由于
（4分)
而
. (7分）
所以
. （9分）
2。 解 （4分）
（8分） （9分） 。
3. 解 由于
(6分)
故向量组的秩是 3 ，是它的一个最大无关组。(9分)
四﹑解 方程组的系数行列式
（2分）
①当,即且时，方程组有唯一的零解; (4分）
②当时, ，方程组的系数矩阵为
，
它有一个二阶子式,因此秩(）（这里）,故方程组有无穷多个解。对施行初等行变换,可得到方程组的一般解为
其中可取任意数； （7分)
③当时， ,方程组的系数矩阵为
,
显然，秩（）(这里),所以方程组也有无穷多个解.对施行初等行变换
可得方程组的一般解为
其中可取任意数。 (10分)
五﹑ 解 二次型的矩阵为
, （2分）
因为特征多项式为
,
所以特征值是（二重)和. (4分）
把特征值代入齐次线性方程组得
解此方程组可得矩阵的对应于特征值的特征向量为
.
利用施密特正交化方法将正交化：
, ,
再将单位化得
,， （8分)
把特征值代入齐次线性方程组得
解此方程组可得矩阵的对应于特征值的特征向量为
.
再将单位化得
. （10分)
令
则是一个正交矩阵,且满足
.
所以,正交变换为所求,它把二次型化成标准形
。 (12分)
六﹑证明：必要性
由交于一点得方程组
有解,可知
（2分）
由于，所以 (3分）
充分性:
, (5分） 因此方程组
有唯一解，即交于一点。 (6分)
线性代数习题和答案
第一部分 选择题 (共28分)
一、 单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。
1。设行列式=m，=n,则行列式等于( ）
A。 m+n B。 -(m+n)
C。 n—m D. m-n
2。设矩阵A=，则A-1等于（ ）
A。 B.
C. D。
3。设矩阵A=,A*是A的伴随矩阵,则A ＊中位于（1，2）的元素是（ ）
A. –6 B。 6
C。 2 D. –2
4。设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ )
A。 A =0 B. BC时A=0
C. A0时B=C D。 ｜A|0时B=C
5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
6.设两个向量组α1，α2，…,αs和β1，β2，…,βs均线性相关，则( ）
A。有不全为0的数λ1，λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0
B。有不全为0的数λ1,λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0
C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1(α1-β1)+λ2（α2-β2)+…+λs（αs—βs）=0
D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0
7。设矩阵A的秩为r,则A中( )
A。所有r-1阶子式都不为0 B.所有r—1阶子式全为0
C.至少有一个r阶子式不等于0 D。所有r阶子式都不为0
8。设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ）
A.η1+η2是Ax=0的一个解 B。η1+η2是Ax=b的一个解
C.η1—η2是Ax=0的一个解 D。2η1-η2是Ax=b的一个解
9。设n阶方阵A不可逆，则必有( )
A.秩(A）〈n B。秩(A）=n—1
C.A=0 D.方程组Ax=0只有零解
10。设A是一个n(≥3）阶方阵，下列陈述中正确的是( )
A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量
B。如存在数λ和非零向量α,使（λE-A）α=0,则λ是A的特征值
C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量
D。如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1,α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2,α3有可能线性相关
11。设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（ ）
A。 k≤3 B。 k〈3
C。 k=3 D. k>3
12。设A是正交矩阵,则下列结论错误的是（ ）
A.|A｜2必为1 B.|A｜必为1
C.A-1=AT D。A的行（列）向量组是正交单位向量组
13。设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（ ）
A.A与B相似
B。 A与B不等价
C. A与B有相同的特征值
D. A与B合同
14。下列矩阵中是正定矩阵的为（ ）
A. B。
C. D。
第二部分 非选择题（共72分）
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分.
15. 。
16.设A=，B=.则A+2B= .
17.设A=(aij）3×3，｜A|=2，Aij表示|A｜中元素aij的代数余子式(i,j=1，2，3），则（a11A21+a12A22+a13A23)2+（a21A21+a22A22+a23A23）2+（a31A21+a32A22+a33A23)2= 。
18.设向量(2，-3,5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= 。
19。设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为 。
20。设A是m×n矩阵，A的秩为r（<n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .
21。设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α+β与α-β的内积(α+β，α-β)= 。
22。设3阶矩阵A的行列式｜A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为 。
23。设矩阵A=，已知α=是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为 。
24.设实二次型f(x1，x2，x3，x4,x5）的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 。
三、计算题（本大题共7小题,每小题6分，共42分）
25.设A=,B=。求（1）ABT;(2）｜4A｜.
26。试计算行列式.
27.设矩阵A=，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.
28。给定向量组α1=，α2=，α3=，α4=.
试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。
29.设矩阵A=.
求：（1）秩（A)；
（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。
30.设矩阵A=的全部特征值为1，1和-8。求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D。
31。试用配方法化下列二次型为标准形
f(x1,x2,x3）=，
并写出所用的满秩线性变换.
四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
32。设方阵A满足A3=0，试证明E—A可逆,且（E-A)-1=E+A+A2。
33。设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解,ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明
（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解；
（2）η0，η1，η2线性无关。
答案:
一、单项选择题(本大题共14小题，每小题2分，共28分）
1。D 2。B 3。B 4。D 5.C
6.D 7.C 8.A 9.A 10.B
11.A 12。B 13。D 14.C
二、填空题（本大题共10空，每空2分,共20分）
15。 6
16.
17。 4
18. –10
19. η1+c(η2-η1)（或η2+c（η2-η1))，c为任意常数
20. n—r
21。 –5
22。 –2
23。 1
24.
三、计算题(本大题共7小题，每小题6分，共42分）
25.解(1)ABT=
=。
（2）|4A｜=43|A|=64｜A|，而
｜A|=.
所以｜4A|=64·（—2）=-128
26。解
=
=
27.解 AB=A+2B即（A-2E）B=A,而
(A—2E）-1=
所以 B=（A-2E)-1A=
=
28.解一
所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为(2,1,1）.
解二 考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，
即
方程组有唯一解（2,1,1)T，组合系数为（2，1,1).
29。解 对矩阵A施行初等行变换
A
=B。
(1)秩（B）=3，所以秩（A)=秩（B)=3.
（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。
(A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）
30。解 A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为
ξ1=(2，—1，0）T， ξ2=(2,0，1）T。
经正交标准化，得η1=，η2=。
λ=-8的一个特征向量为
ξ3=，经单位化得η3=
所求正交矩阵为 T=.
对角矩阵 D=
（也可取T=.)
31。解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2—2x3）2—2x22+4x2x3-7x32
=（x1+2x2—2x3)2—2（x2-x3）2-5x32.
设， 即,
因其系数矩阵C=可逆,故此线性变换满秩。
经此变换即得f(x1，x2，x3）的标准形
y12-2y22-5y32 。
四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
32.证 由于(E—A）（E+A+A2)=E-A3=E，
所以E—A可逆，且
(E—A)-1= E+A+A2 。
33.证 由假设Aη0=b,Aξ1=0,Aξ2=0.
(1)Aη1=A(η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b,同理Aη2= b，
所以η1,η2是Ax=b的2个解。
（2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0,
即 （l0+l1+l2)η0+l1ξ1+l2ξ2=0.
则l0+l1+l2=0,否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以
l1ξ1+l2ξ2=0。
又由假设，ξ1,ξ2线性无关,所以l1=0，l2=0,从而 l0=0 。
所以η0，η1，η2线性无关。
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