线性代数测试试卷及答案.doc

线性代数(A卷） 一选择题(每小题3分，共15分)1。 设是任意阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) （A) (B） （C） （D）2. 如果元齐次线性方程组有基础解系并且基础解系含有个解向量,那么矩阵的秩为（ ） (A) （B） （C) （D) 以上答案都不正确3。如果三阶方阵的特征值为，那么及分别等于（ ) (A） (B) （C) (D） 4。 设实二次型的矩阵为，那么( ） (A） （B） （C) (D） 5。 若方阵A的行列式，则( ) (A） A的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A的行向量组和列向量组均线性无关 （D)A的列向量组线性相关,行向量组线性无关二填空题（每小题3分,共30分）1 如果行列式有两列的元对应成比例，那么该行列式等于 ；2。 设，是的伴随矩阵，则 ；3. 设，是非齐次线性方程组的解,若也是它的解， 那么 ;4。 设向量与向量正交，则 ;5。 设为正交矩阵，则 ；6. 设是互不相同的三个数，则行列式 ;7。 要使向量组线性相关,则 ；8。 三阶可逆矩阵的特征值分别为，那么的特征值分别为 ；9. 若二次型是正定的，则的取值范围为 ;10. 设为阶方阵，且满足，这里为阶单位矩阵,那么 .三计算题（每小题9分，共27分)1. 已知，求矩阵使之满足。2. 求行列式的值.3 求向量组的一个最大无关组和秩。四(10分）设有齐次线性方程组问当取何值时, 上述方程组(1)有唯一的零解(2)有无穷多个解，并求出这些解. 五(12分)求一个正交变换,把下列二次型化成标准形:. 六(6分)已知平面上三条不同直线的方程分别为试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为.线性代数（A卷）答案一1. D 2. C 3. B 4. A 5. A二1。 0 2. 3。 1 4。 3 5。 1或-16. 7。 0 8. 9。 10。 三1. 解 由得. (2分）下面求. 由于 （4分)而 . (7分）所以. （9分）2。 解 （4分） （8分） （9分） 。3. 解 由于 (6分)故向量组的秩是 3 ，是它的一个最大无关组。(9分)四解 方程组的系数行列式 （2分）当,即且时，方程组有唯一的零解; (4分）当时, ，方程组的系数矩阵为，它有一个二阶子式,因此秩(）（这里）,故方程组有无穷多个解。对施行初等行变换,可得到方程组的一般解为 其中可取任意数； （7分)当时， ,方程组的系数矩阵为,显然，秩（）(这里),所以方程组也有无穷多个解.对施行初等行变换可得方程组的一般解为 其中可取任意数。 (10分)五 解 二次型的矩阵为, （2分）因为特征多项式为,所以特征值是（二重)和. (4分）把特征值代入齐次线性方程组得解此方程组可得矩阵的对应于特征值的特征向量为. 利用施密特正交化方法将正交化：, ,再将单位化得 ,， （8分)把特征值代入齐次线性方程组得解此方程组可得矩阵的对应于特征值的特征向量为.再将单位化得. （10分)令则是一个正交矩阵,且满足.所以,正交变换为所求,它把二次型化成标准形。 (12分)六证明：必要性由交于一点得方程组有解,可知 （2分）由于，所以 (3分）充分性:, (5分） 因此方程组有唯一解，即交于一点。 (6分)线性代数习题和答案第一部分 选择题 (共28分)一、 单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1。设行列式=m，=n,则行列式等于( ） A。 m+nB。 -(m+n) C。 nmD. m-n2。设矩阵A=，则A-1等于（ ） A。 B. C. D。 3。设矩阵A=,A*是A的伴随矩阵,则A 中位于（1，2）的元素是（ ） A. 6B。 6 C。 2D. 24。设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ ) A。 A =0B. BC时A=0 C. A0时B=CD。 A|0时B=C5.已知34矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（ ） A. 1B. 2 C. 3D. 46.设两个向量组1，2，,s和1，2，,s均线性相关，则( ） A。有不全为0的数1，2,s使11+22+ss=0和11+22+ss=0 B。有不全为0的数1,2，s使1（1+1）+2（2+2）+s（s+s）=0 C.有不全为0的数1，2，s使1(1-1)+2（2-2)+s（ss）=0 D.有不全为0的数1，2，s和不全为0的数1，2,s使11+22+ss=0和11+22+ss=07。设矩阵A的秩为r,则A中( ) A。所有r-1阶子式都不为0B.所有r1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0D。所有r阶子式都不为08。设Ax=b是一非齐次线性方程组,1，2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ） A.1+2是Ax=0的一个解B。1+2是Ax=b的一个解 C.12是Ax=0的一个解D。21-2是Ax=b的一个解9。设n阶方阵A不可逆，则必有( ) A.秩(A）nB。秩(A）=n1 C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10。设A是一个n(3）阶方阵，下列陈述中正确的是( ) A.如存在数和向量使A=，则是A的属于特征值的特征向量 B。如存在数和非零向量,使（E-A）=0,则是A的特征值 C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量 D。如1，2，3是A的3个互不相同的特征值，1,2，3依次是A的属于1，2，3的特征向量，则1，2,3有可能线性相关11。设0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（ ） A。 k3B。 k3 C。 k=3D. k312。设A是正交矩阵,则下列结论错误的是（ ） A.|A2必为1B.|A必为1 C.A-1=ATD。A的行（列）向量组是正交单位向量组13。设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（ ） A.A与B相似 B。 A与B不等价 C. A与B有相同的特征值 D. A与B合同14。下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） A.B。 C.D。第二部分 非选择题（共72分）二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分.15. 。16.设A=，B=.则A+2B= .17.设A=(aij）33，A|=2，Aij表示|A中元素aij的代数余子式(i,j=1，2，3），则（a11A21+a12A22+a13A23)2+（a21A21+a22A22+a23A23）2+（a31A21+a32A22+a33A23)2= 。18.设向量(2，-3,5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= 。19。设A是34矩阵，其秩为3，若1,2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为 。20。设A是mn矩阵，A的秩为r（n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .21。设向量、的长度依次为2和3,则向量+与-的内积(+，-)= 。22。设3阶矩阵A的行列式A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为 。23。设矩阵A=，已知=是它的一个特征向量，则所对应的特征值为 。24.设实二次型f(x1，x2，x3，x4,x5）的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 。三、计算题（本大题共7小题,每小题6分，共42分）25.设A=,B=。求（1）ABT;(2）4A.26。试计算行列式.27.设矩阵A=，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.28。给定向量组1=，2=，3=，4=.试判断4是否为1，2，3的线性组合；若是，则求出组合系数。29.设矩阵A=.求：（1）秩（A)；（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。30.设矩阵A=的全部特征值为1，1和-8。求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D。31。试用配方法化下列二次型为标准形 f(x1,x2,x3）=，并写出所用的满秩线性变换.四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32。设方阵A满足A3=0，试证明EA可逆,且（E-A)-1=E+A+A2。33。设0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解,1,2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明（1）1=0+1，2=0+2均是Ax=b的解； （2）0，1，2线性无关。答案:一、单项选择题(本大题共14小题，每小题2分，共28分）1。D2。B3。B4。D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12。B13。D14.C二、填空题（本大题共10空，每空2分,共20分）15。 616. 17。 418. 1019. 1+c(2-1)（或2+c（2-1)，c为任意常数20. nr21。 522。 223。 124. 三、计算题(本大题共7小题，每小题6分，共42分）25.解(1)ABT=。（2）|4A=43|A|=64A|，而A|=.所以4A|=64（2）=-12826。解 =27.解 AB=A+2B即（A-2E）B=A,而(A2E）-1=所以 B=（A-2E)-1A=28.解一 所以4=21+2+3，组合系数为(2,1,1）.解二 考虑4=x11+x22+x33，即 方程组有唯一解（2,1,1)T，组合系数为（2，1,1).29。解 对矩阵A施行初等行变换A=B。(1)秩（B）=3，所以秩（A)=秩（B)=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。(A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30。解 A的属于特征值=1的2个线性无关的特征向量为1=(2，1，0）T， 2=(2,0，1）T。经正交标准化，得1=，2=。=-8的一个特征向量为3=，经单位化得3=所求正交矩阵为 T=.对角矩阵 D=（也可取T=.)31。解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x22x3）22x22+4x2x3-7x32=（x1+2x22x3)22（x2-x3）2-5x32.设， 即,因其系数矩阵C=可逆,故此线性变换满秩。经此变换即得f(x1，x2，x3）的标准形 y12-2y22-5y32 。四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32.证 由于(EA）（E+A+A2)=E-A3=E，所以EA可逆，且(EA)-1= E+A+A2 。33.证 由假设A0=b,A1=0,A2=0.(1)A1=A(0+1）=A0+A1=b,同理A2= b，所以1,2是Ax=b的2个解。（2）考虑l00+l11+l22=0,即 （l0+l1+l2)0+l11+l22=0.则l0+l1+l2=0,否则0将是Ax=0的解，矛盾。所以l11+l22=0。 又由假设，1,2线性无关,所以l1=0，l2=0,从而 l0=0 。所以0，1，2线性无关。第6页共4页