线性代数4试卷及答案.doc

线性代数（经管类）试题B试卷满分100分 考试时间120分钟(出卷人：廖磊)试卷说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式。一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1若行列式|A|=0，则A中（）A必有一行全为0B行向量组线性相关C有两列成比例D所有元素全为02设行列式D=3，D1=，则D1的值为（）A-15B-6C6D153设A，B，C，D均为n阶矩阵，E为n阶单位方阵，下列命题正确的是（ ）A若，则B若，则或C若，且，则D若，则4设A、B为n阶方阵，满足A2=B2，则必有（）AA=BBA= -BC|A|=|B|D|A|2=|B|25设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为（）ABCD6.设A，B为同阶可逆方阵，则下列等式中错误的是（）A.|AB|=|A| |B|B. (AB)-1=B-1A-1C. (A+B)-1=A-1+B-1D. (AB)T=BTAT7设2阶矩阵A，则A*()A BC D8设2阶矩阵A，则A（）ABCD9设矩阵A，则A中()A所有2阶子式都不为零B所有2阶子式都为零C所有3阶子式都不为零D存在一个3阶子式不为零10设是，的两个解，则（）A是，的解B是，的解C2是，的解D2是，的解11设均为n维向量，又线性相关，线性无关，则下列正确的是（ ）A线性相关B线性无关C可由线性表示D可由线性表示12设向量，则下列命题中正确的是（）A若线性相关，则必有线性相关B若线性无关，则必有线性无关C若线性相关，则必有线性无关D若线性无关，则必有线性相关13设A为mn矩阵，齐次线性方程组Ax0有非零解的充分必要条件是()AA的列向量组线性相关BA的列向量组线性无关CA的行向量组线性相关DA的行向量组线性无关14设1，2，3，4为向量空间V的一个基，则V的维数=（）A1B2C3D415.设A与B是两个相似n阶矩阵，则下列说法错误的是（）A.B.秩（A）=秩（B）C.存在可逆阵P，使P-1AP=BD.E-A=E-B16正交矩阵的行列式为（）A0B+1C-1D117矩阵A的非零特征值为()A4 B3C2 D118当矩阵A满足A2=A时，则A的特征值为（）A0或1B1C都是0D都是119二次型的正惯性指数p为（）A0B1C2D320.设有二次型则（ ）A.正定B.负定C.不定D.半正定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。21若则行列式=_.22三阶行列式，则_.23.设A=,B=则AB=_.24行列式中元素9的代数余子式A32=_25. 若则k=_.26设A，B均为n阶矩阵，则=_.27若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式的值为_.28.设矩阵A=，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则数t=_.29设矩阵A=，矩阵B=A-E，则矩阵B的秩r(B)=_.30.已知A有一个特征值-2,则B=A+2E必有一个特征值_.31.方程组的通解是_.32.已知向量=（2，1，0，3）T，=（1，-2，1，k）T，与的内积为2，则数k=_.33.设向量=（b,）T为单位向量，则数b=_.34设为一个4元齐次线性方程组，若为它的一个基础解系，则秩（A）=_.35已知某个3元非齐次线性方程组Axb的增广矩阵经初等行变换化为：，若方程组无解，则a的取值为 36已知3维向量，则内积=_.37.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似,则=_.38.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似,则=_.39.矩阵A=所对应的二次型是_.40设3元实二次型经正交变换化成的标准形为，则矩阵A的特征值为_.三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）41.计算四阶行列式的值. 42设A=,B=求矩阵AB.43.已知矩阵A=，B=，（1）求A的逆矩阵A-1；（2）解矩阵方程AX=B.44设A=,求A.45.设A=,B=,且A,B,X满足(E-BA)求X,X46求向量组=（1，2，1，3），=（4，-1，-5，-6），=（1，-3，-4，-7）的秩和其一个极大线性无关组.47设向量组，求该向量组的秩，并判断其线性相关性。48求线性方程组的通解.49.设矩阵A=，（1）求矩阵A的特征值与对应的全部特征向量.（2）判定A是否可以与对角矩阵相似，若可以，求可逆矩阵P和对角矩阵，使得P-1AP=.50已知二次型f(x1，x2，x3)2x3x3x2ax2x3通过正交变换可化为标准形fy2y5y，求a四、证明题（本大题10分）51.设是齐次方程组A x =0的基础解系.证明：，一定是Ax =0的基础解系52设A，B均为正交矩阵，且，试证.21、 22、 （A,E）=.3分 .1分 2分.1分 2分所以1分23、令A=（=.2分.2分.2分所以向量组的秩为2.2分极大线性无关组为或或.2分24、.2分2分.1分所以非齐次方程的一般解为 1分所以齐次方程组的一个特解为.1分对应的齐次方程组为得基础解系为.2分所以原方程组的通解为,其中为任意常数.1分25、（1）项式=（所以特征值.1分当时，即，所以特征向量为.1分对应特征值全部特征向量为，为任意非零常数.1分当时，即，所以得到对应的特征向量.1分对应特征值的全部特征向量为，为任意非零常数.1分（2）因为矩阵A有两不同的特征值1和9,(或者说存在两个线性无关的特征向量),所以矩阵A可以对角化.2分可逆矩阵P=,即P=,分且有，所以对角矩阵为分2、证明：首先， 的个数与所给的基础解系个数相同，都为，即n-r=31分其次,所以，都是方程组Ax =0的解2最后，根据提设条件可以写出矩阵等式=2分把它记为.因为标出矩阵的行列式=1.1分P是可逆矩阵.1分所以，这说明线性无关2分所以，必是Ax =0的基础解系.1分21、解：D= =22、解：(1) (2）23、解： 24、解：令 所以向量组的秩为3。因为未知数的个数大于向量组的秩，所以向量组线性相关。4分25、解：的矩阵为 2分先求A的特征值， （1） 2分由已知，二次型可通过正交变换可化为标准形fy2y5y，得矩阵A的特征值为1，2，5。 2分将1=1代入（1）式，得 四、证明题26、证：由已知可知 2分 4分再由，又正交阵的行列式为 1分不妨设，则则 ，故 3分