线性代数期末考试试卷+答案合集-大一期末线性代数试卷.doc

大学生校园网VvSchool.CN 线性代数 综合测试题大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）1. 若,则_。2若齐次线性方程组只有零解，则应满足 。 3已知矩阵，满足，则与分别是 阶矩阵。4矩阵的行向量组线性 。5阶方阵满足，则 。二、判断正误(正确的在括号内填“”，错误的在括号内填“”。每小题2分，共10分）1。 若行列式中每个元素都大于零，则。( )2。 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3。 向量组中,如果与对应的分量成比例，则向量组线性相关。（ )4。 ，则。（ ）5。 若为可逆矩阵的特征值，则的特征值为。 （ ）三、单项选择题 （每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分,共10分） 1. 设为阶矩阵，且，则（ ）。 42。 维向量组 （3 s n）线性无关的充要条件是（ )。 中任意两个向量都线性无关 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 中任一个向量都不能用其余向量线性表示 中不含零向量3. 下列命题中正确的是( )。 任意个维向量线性相关 任意个维向量线性无关 任意个 维向量线性相关 任意个 维向量线性无关4。 设，均为n 阶方阵，下面结论正确的是（ )。 若,均可逆，则可逆 若，均可逆，则 可逆 若可逆，则 可逆 若可逆，则 ，均可逆5. 若是线性方程组的基础解系，则是的（ ） 解向量 基础解系 通解 A的行向量四、计算题 ( 每小题9分，共63分）1。 计算行列式。解2。 设,且 求。解。 ，3。 设 且矩阵满足关系式 求。4. 问取何值时,下列向量组线性相关？。5。 为何值时，线性方程组有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。 当且时，方程组有唯一解；当时方程组无解当时，有无穷多组解，通解为6。 设 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。7。 设，求的特征值及对应的特征向量。五、证明题 （7分)若是阶方阵，且 证明 .其中为单位矩阵。大学线性代数期末考试题答案一、填空题1。 5 2。 3. 4. 相关 5. 二、判断正误1。 2。 3。 4. 5. 三、单项选择题1。 2。 3。 4。 5. 四、计算题1。 2。 ，3。 4. 当或时,向量组线性相关。5. 当且时，方程组有唯一解；当时方程组无解当时,有无穷多组解,通解为6。 则 ,其中构成极大无关组，7。 特征值,对于11,，特征向量为五、证明题, 一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1、设，为n阶方阵,满足等式，则必有（ )(A）或； （B）; （C）或; (D).2、和均为阶矩阵,且,则必有( ）(A) ； （B)； （C） . （D） 。3、设为矩阵，齐次方程组仅有零解的充要条件是（ ）(A) 的列向量线性无关; (B） 的列向量线性相关；（C） 的行向量线性无关； （D） 的行向量线性相关。4、 阶矩阵为奇异矩阵的充要条件是( ）（A） 的秩小于； （B) ；（C) 的特征值都等于零; （D） 的特征值都不等于零；二、填空题（本题共4小题，每题4分,满分16分）5、若4阶矩阵的行列式，是A的伴随矩阵，则= 。6、为阶矩阵,且，则 。7、已知方程组无解，则 。8、二次型是正定的，则的取值范围是 .三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）9、计算行列式10、计算阶行列式四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。写出证明过程）11、若向量组线性相关，向量组线性无关。证明:(1) 能有线性表出；(2） 不能由线性表出。12、设是阶矩方阵,是阶单位矩阵，可逆，且.证明(1） ;（2） 。五、解答题（本题共3小题，每小题12分，满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤）13、设，求一个正交矩阵使得为对角矩阵.14、已知方程组与方程组有公共解。求的值。15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知，,是它的三个解向量，且，求该方程组的通解。解答和评分标准一、选择题1、C； 2、D； 3、A; 4、A。二、填空题5、125; 6、； 7、1； 8、.三、计算题9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：第二列减第一列,第四列减第三列得： （4分）按第一行展开得按第三列展开得。 （4分）10、解:把各列加到第一列,然后提取第一列的公因子，再通过行列式的变换化为上三角形行列式 (4分） (4分)四、证明题11、证明:(1）、 因为线性无关，所以线性无关。，又线性相关，故能由线性表出。 （4分），（2)、(反正法）若不，则能由线性表出，不妨设。由（1）知,能由线性表出，不妨设。所以，这表明线性相关，矛盾。 12、证明 （1) (4分）（2）由（1）得:,代入上式得 (4分）五、解答题13、解：（1)由得的特征值为，。 （4分）(2）的特征向量为,的特征向量为,的特征向量为。 （3分)（3）因为特征值不相等，则正交。 (2分）(4）将单位化得， （2分)（5）取(6） （1分）14、解：该非齐次线性方程组对应的齐次方程组为因,则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成，即任何一个非零解都是它的基础解系。 （5分）另一方面，记向量，则直接计算得，就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知，原方程组的通解为，。 （7分）15、解:将与联立得非齐次线性方程组：若此非齐次线性方程组有解， 则与有公共解, 且的解即为所求全部公共解。 对的增广矩阵作初等行变换得: 。 （4分）1当时，有,方程组有解， 即与有公共解, 其全部公共解即为的通解,此时，则方程组为齐次线性方程组，其基础解系为: ，所以与的全部公共解为,k为任意常数. (4分）2 当时,有,方程组有唯一解, 此时，故方程组的解为：, 即与有唯一公共解。 （4分)线性代数习题和答案第一部分 选择题 （共28分）一、 单项选择题(本大题共14小题，每小题2分,共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1。设行列式=m，=n,则行列式等于（ ） A. m+nB. -（m+n） C. n-mD. mn2.设矩阵A=，则A1等于（ ） A。 B. C. D。 3。设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ ) A. 6B. 6 C。 2D. 24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ ） A. A =0B。 BC时A=0 C. A0时B=CD。 A|0时B=C5。已知34矩阵A的行向量组线性无关,则秩（AT）等于（ ) A。 1B。 2 C. 3D。 46。设两个向量组1,2，,s和1，2,，s均线性相关，则（ ） A。有不全为0的数1,2，,s使11+22+ss=0和11+22+ss=0 B。有不全为0的数1，2,s使1（1+1）+2（2+2）+s（s+s）=0 C。有不全为0的数1，2,，s使1（11）+2（22）+s（ss）=0 D。有不全为0的数1，2，,s和不全为0的数1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=07。设矩阵A的秩为r,则A中（ ） A。所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0 C。至少有一个r阶子式不等于0D。所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，1,2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ） A。1+2是Ax=0的一个解B.1+2是Ax=b的一个解 C.1-2是Ax=0的一个解D。212是Ax=b的一个解9。设n阶方阵A不可逆，则必有（ ） A.秩(A）nB。秩（A）=n1 C。A=0D。方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ ） A。如存在数和向量使A=，则是A的属于特征值的特征向量 B。如存在数和非零向量，使(E-A）=0，则是A的特征值 C。A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量 D。如1，2，3是A的3个互不相同的特征值，1,2，3依次是A的属于1,2,3的特征向量，则1，2，3有可能线性相关11。设0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有（ ) A. k3B。 k312。设A是正交矩阵，则下列结论错误的是( ） A。A2必为1B。A必为1 C.A1=ATD。A的行(列）向量组是正交单位向量组13。设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则( ） A.A与B相似 B。 A与B不等价 C. A与B有相同的特征值 D。 A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为( ） A.B。 C.D.第二部分 非选择题（共72分)二、填空题(本大题共10小题,每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。15. 。16。设A=，B=。则A+2B= 。17.设A=（aij）33，A=2，Aij表示A|中元素aij的代数余子式（i，j=1,2，3），则（a11A21+a12A22+a13A23）2+（a21A21+a22A22+a23A23）2+（a31A21+a32A22+a33A23)2= 。18。设向量（2，-3，5）与向量（4，6，a）线性相关,则a= 。19。设A是34矩阵，其秩为3，若1，2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为 .20。设A是mn矩阵，A的秩为r(n），则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 。21.设向量、的长度依次为2和3，则向量+与的内积（+，-）= .22。设3阶矩阵A的行列式|A|=8,已知A有2个特征值1和4，则另一特征值为 .23。设矩阵A=，已知=是它的一个特征向量，则所对应的特征值为 .24.设实二次型f（x1，x2,x3，x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 。三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）25。设A=，B=.求(1）ABT；（2）4A|。26.试计算行列式。27.设矩阵A=，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B。28。给定向量组1=，2=，3=，4=。试判断4是否为1，2，3的线性组合；若是，则求出组合系数。29。设矩阵A=.求:(1）秩（A）；（2)A的列向量组的一个最大线性无关组。30.设矩阵A=的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T1AT=D。31。试用配方法化下列二次型为标准形 f(x1,x2，x3)=，并写出所用的满秩线性变换.四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32。设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）1=E+A+A2.33.设0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，1，2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明（1）1=0+1，2=0+2均是Ax=b的解； （2）0,1,2线性无关。答案：一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）1。D2.B3.B4。D5。C6。D7。C8.A9.A10。B11。A12。B13。D14.C二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）15。 6 16。 17。 4 18. 10 19。 1+c（21）（或2+c（2-1）,c为任意常数20。 n-r 21. 5 22. 2 23. 1 24. 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）25.解（1）ABT=.(2）|4A=43|A|=64A，而A|=。 所以|4A=64(-2）=12826.解 =27。解 AB=A+2B即(A2E）B=A，而(A-2E）-1=所以 B=(A-2E)-1A=28。解一 所以4=21+2+3,组合系数为（2,1，1)。解二 考虑4=x11+x22+x33，即 方程组有唯一解（2,1，1)T,组合系数为(2,1，1）.29.解 对矩阵A施行初等行变换A=B.（1）秩（B)=3，所以秩（A）=秩(B)=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。(A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30.解 A的属于特征值=1的2个线性无关的特征向量为1=（2,1,0）T, 2=（2，0，1）T。 经正交标准化,得1=，2=。=-8的一个特征向量为 3=，经单位化得3=所求正交矩阵为 T=. 对角矩阵 D=（也可取T=.）31。解 f(x1，x2，x3）=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x37x32=（x1+2x22x3）2-2（x2-x3）2-5x32.设，即，因其系数矩阵C=可逆，故此线性变换满秩.经此变换即得f(x1,x2,x3）的标准形 y12-2y22-5y32 .四、证明题(本大题共2小题，每小题5分,共10分）32.证 由于(E-A）(E+A+A2)=EA3=E,所以EA可逆，且（E-A）1= E+A+A2 。33.证 由假设A0=b，A1=0,A2=0.（1)A1=A（0+1）=A0+A1=b，同理A2= b, 所以1，2是Ax=b的2个解。(2）考虑l00+l11+l22=0， 即 （l0+l1+l2）0+l11+l22=0。则l0+l1+l2=0，否则0将是Ax=0的解，矛盾。所以l11+l22=0。 又由假设，1，2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而 l0=0 。所以0，1，2线性无关.共3页第8页