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自学考试线性代数试卷及答案

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10月高等教育自学考试全国统一命题考试
04184线性代数（经管类）试卷
本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。
说明：本试卷中，表示矩阵的转置矩阵，表示矩阵的伴随矩阵，是单位矩阵，表示方阵的行列式，表示矩阵的秩。
一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1. 设3阶行列式=2，若元素的代数余子公式为（i,j=1,2,3)，则 【 】
A. B.0 C.1 D.2
2. 设为3阶矩阵，将的第3行乘以得到单位矩阵，
则=【 】
A. B. C. D.2
3. 设向量组的秩为2，则中 【 】
A. 必有一个零向量
B. B.任意两个向量都线性无关
C.存在一个向量可由其余向量线性表出
D.每个向量均可由其余向量线性表出
4. 设3阶矩阵,则下列向量中是的属于特征值的特征向量为 【 】
A. B. C. D.
5. 二次型的正惯性指数为 【 】
A.0 B.1 C.2 D.3
二、 填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错误、不填均无分、
6. 设，则方程的根是
7. 设矩阵,则=
8. 设为3阶矩阵，,则行列式=
9. 设矩阵,,若矩阵满足,则=
10. 设向量,,,则由线性表出
的表示式为
11. 设向量组线性相关，
则数
12. 3元齐次线性方程组的基础解系中所含解向量的个数
为
13. 设3阶矩阵满足，则必有一个特征值为
14. 设2阶实对称矩阵的特征值分别为和1，则
15. 设二次型正定，
则实数的取值范围是

三、 计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）
16. 计算4阶行列式的值。

17. 已知矩阵，求。

18. 设矩阵,且矩阵满足,求。

19. 设向量
,试确定当取何值时能由线性表出，并写出表示式。

20. 求线性方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）。

21. 设矩阵与对角矩阵相似，求数与可逆矩阵，使得。

22. 用正交变换将二次型化为标准形，写出标准形和所作的正交变换。

四、证明题（本题7分）
23.设向量组线性相关，且其中任意两个向量都线性无关。证明：存在全不为零的常数使得。

10月高等教育自学考试全国统一命题考试
线性代数（经管类）试题答案及评分参考
（课程代码04184）
一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
1. D 2.A 3.C 4.B 5.C
二、 填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
6. 5
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15. ＜＜
三、 计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）
16. 解 = ......3分
......9分
17. 解 ......2分
..........7分
从而 ......9分
18. 解 由,得 ......2分
又由可逆 ......5分
由,可得
两边左乘,得到
......9分
19解 设， ......2分
该线性方程组的增广矩阵为
......6分
由于能有线性表出，则必有
此时，方程组有唯一解
表示式为 ......9分
20. 解 方程组的增广矩阵
......2分
可知＜＜4，方程组有无穷多解 ......4分
由同解方程组
求出方程组的一个特解,
导出组的一个基础解系为 ......7分
从而方程组的通解为

为任意常数） ......9分
21. 解 由条件可知矩阵的特征值为 ......2分
由，得 ......4分
对于，由线性方程组求得一个特征向量为

对于，由线性方程组求得两个线性无关的特征向量为

令,则 ......9分
22. 解 二次型的矩阵 ......2分
由
故的特征值为 ......4分
对于，求解齐次线性方程组，得到基础解系

将其单位化，得 ......7分
令,则为正交矩阵，
经正交变换，化二次型为标准形 ......9分
四、 证明题（本题7分）
23. 证 由于向量组线性相关，故存在不全为零的常数，使得
......2分
其中必有。否则，如果，则上式化为
其中不全为零，由此推出线性相关，与向量组中任意两个向量都线性无关的条件矛盾 ......5分
类似地，可证明 ........7分