线性代数B期末试卷及答案.doc

2008 – 2009学年第二学期《线性代数B》试卷
2009年6月22日
一
二
三
四
五
六
总分
得 分

一、填空题（共6小题，每小题 3 分，满分18分）
1. 设，则＝　　　　。
2. 为阶方阵,且 。
3．设方阵 B为三阶非零矩阵，且AB=O，则 .
4. 设向量组线性无关,向量b不能由它们线性表示，则向量组b 的秩为 　 　。
5．设A为实对称阵，且|A｜≠0,则二次型f =x TA x化为f =yTA-1 y的线性变换是x= ．
６．设的两组基为，，;T，,则由基到基
的过渡矩阵为 。
得 分

二、单项选择题(共6小题，每小题3分，满分18分)
1. 设Dn为n阶行列式,则Dn＝0的必要条件是［ ]。
（A） Dn中有两行元素对应成比例；　
(B） Dn中各行元素之和为零；
(C） Dn中有一行元素全为零；
（D）以Dn为系数行列式的齐次线性方程组有非零解．
2．若向量组a，b，g 线性无关,a,b，s 线性相关，则[ ］.
(A) a必可由b，g，s 线性表示；
(B) b必可由a,g，s 线性表示；
（C） s必可由b，g，a 线性表示;
（D） g必可由b,a，s 线性表示.
３．设3阶方阵A有特征值0，－1,1,其对应的特征向量为P1，P2，P3，令P＝(P1，P2，P3)，则P－1AP＝[ ］.
(A）； （B） ;
(C) ; (D) ．
４．设α1,α2,α3线性无关，则下列向量组线性相关的是［ ］.
（A)α1,α2，α3 - α1; （B)α1，α1+α2,α1+α3；
(C)α1+α2，α2+α3，α3+α1; （D)α1—α2,α2-α3，α3-α1。
５．若矩阵A3×4有一个3阶子式不为0，则A的秩Ｒ(） =［ ］。
(A） 1; (B） 2；
(C) 3； (D) 4．
６．实二次型f＝xTAx为正定的充分必要条件是 [ ].
(A） A的特征值全大于零; (B) A的负惯性指数为零;
（C） ｜A| 〉 0 ； (D) R（A) = n 。
得 分

三、解答题（共5小题,每道题8分，满分40分）
1。求的值。
２。 求向量组,,，的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出.
３.设A、P均为3阶矩阵，且若P=（α1,α2，α3）,
Q=（α1+α2，α2,α3），求QTAQ．
4．设是阶实对称矩阵，，若,求.
5.设矩阵相似于对角矩阵L，求a。
得 分

四、（本题满分10分）对线性方程组
(1） 若两两不等，问方程组是否有解，为什么?
(2）若， （b0）,且已知方程的两个解, ,试给出方程组的通解．
得 分

五、（本题满分8分）设二次曲面方程（）经正交变换，化成，求、的值及正交矩阵Q。
得 分

六、（本题满分6分）设A为n阶实矩阵，α为A的对应于实特征值λ的特征向量，β为AT的对应于实特征值μ的特征向量，且λ≠μ，证明α与β正交．
2008 – 2009学年第二学期《线性代数B》试卷参考答案
2009年6月22日
一
二
三
四
五
六
总分
得 分

一、填空题（共6小题，每小题 3 分，满分18分）
1。 设，则＝　　　2　　　。
2. 为阶方阵，且 0 .
3．设方阵 B为三阶非零矩阵，且AB=O，则 —3 .
4。 设向量组线性无关，向量b不能由它们线性表示，则向量组b 的秩为 　m+1　。
5．设A为实对称阵，且｜A|≠0，则二次型f =x TA x化为f =yTA—1 y的线性变换是x=______ ．
６．设的两组基为，，;，，则由基到基的过渡
矩阵P=．
得 分

二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）
1。 设为n阶行列式,则＝0的必要条件是[　D　］。
(A） 中有两行元素对应成比例;　(B） 中各行元素之和为零;
（C）中有一行元素全为零；（D)以为系数行列式的齐次线性方程组有非零解．
2．若向量组a，b,g 线性无关，a，b,s 线性相关，则［ C ].
(A) a必可由b，g，s 线性表示。 （B） b必可由a，g，s 线性表示。
(C) s必可由b，g，a 线性表示。 （D） g必可由b，a，s 线性表示。
３．设3阶方阵A有特征值0，－1，1，其对应的特征向量为P1，P2，P3，令P＝(P1，P2，P3)，则P－1AP＝[ B ］。
(A）； (B） ; （C) ；(D） ．
４．设α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的是[ D ]．
（A)α1,α2，α3 - α1； （B）α1，α1+α2，α1+α3；
（C）α1+α2，α2+α3，α3+α1; （D）α1-α2,α2-α3，α3—α1.
５．若矩阵有一个3阶子式不为0，则［ C ］.
(A)Ｒ（)=1； （B) Ｒ(）=2； (C) Ｒ(）=3；（D) Ｒ（)=4 ．
６．实二次型f＝x¢Ax为正定的充分必要条件是 ［ A ]．
(A) A的特征值全大于零； (B） A的负惯性指数为零；
（C） |A｜ 〉 0 ； （D) R（A） = n.
得 分

三、解答题（共5小题，每道题8分,满分40分)
1.求的值
解:
２。 求向量组，,，的一个极大无关组,并把其余的向量用该极大无关组线性表出.
解：极大无关组， ,.
３.设A、P均为3阶矩阵，且若
P=(α1,α2,α3)，Q=（α1+α2,α2，α3)，求QTAQ．
解:由于
Q=(α1+α2,α2,α3）= （α1,α2,α3）
于是QTAQ=
4．设是阶实对称矩阵，，若，求.
解： 由知， 的特征值-2或0,又，且是阶实对称矩阵，则(k个—2)，故．
5。设矩阵相似于对角矩阵L，求a.
解： 由｜A—λE|=0，得A的三个特征值λ1=λ2=6，λ3= —2.由于A相似于对角矩阵，R（A—6E）=1,即
，
显然，当a=0时，R（A-6E)=1，A的二重特征值6对应两个线性无关的特征向量．
得 分

四、（本题满分10分）对线性方程组
（1) 若两两不等，问方程组是否有解，为什么？
(2)若, (b0），且已知方程的两个解， ，试给出方程组的通解．
解：（1）因为
,故，无解．
（2），，故通解
．
得 分

五、(本题满分8分）设二次曲面的方程)经正交变换，化成，求、的值及正交矩阵Q。
解:设，由知．
当时，，，
当时，
得 分

故正交阵。
六、（本题满分6分)设A为n阶实矩阵，α为A的对应于实特征值λ的特征向量,β为AT的对应于实特征值μ的特征向量，且λ≠μ，证明α与β正交．
证 :依题意得Aα=λα, ATβ=μβ，将Aα=λα的两边转置得，αTAT =λαT，在上式的两边右乘β得，αTATβ =λαTβ，即μαTβ=λαTβ,亦即（μ-λ）αTβ=0，由于λ≠μ,所以αTβ=0，故α与β正交．
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