线性代数B期末试卷及答案.doc

2008 2009学年第二学期线性代数B试卷 2009年6月22日 一二三四五六总分得 分 一、填空题（共6小题，每小题 3 分，满分18分）1. 设，则。2. 为阶方阵,且 。3设方阵 B为三阶非零矩阵，且AB=O，则 .4. 设向量组线性无关,向量b不能由它们线性表示，则向量组b 的秩为 。5设A为实对称阵，且|A0,则二次型f =x TA x化为f =yTA-1 y的线性变换是x= 设的两组基为，;T，,则由基到基的过渡矩阵为 。得 分 二、单项选择题(共6小题，每小题3分，满分18分)1. 设Dn为n阶行列式,则Dn0的必要条件是 。（A） Dn中有两行元素对应成比例；(B） Dn中各行元素之和为零； (C） Dn中有一行元素全为零；（D）以Dn为系数行列式的齐次线性方程组有非零解2若向量组a，b，g 线性无关,a,b，s 线性相关，则 .(A) a必可由b，g，s 线性表示；(B) b必可由a,g，s 线性表示；（C） s必可由b，g，a 线性表示;（D） g必可由b,a，s 线性表示.设3阶方阵A有特征值0，1,1,其对应的特征向量为P1，P2，P3，令P(P1，P2，P3)，则P1AP .(A）； （B） ; (C) ; (D) 设1,2,3线性无关，则下列向量组线性相关的是 .（A)1,2，3 - 1; （B)1，1+2,1+3；(C)1+2，2+3，3+1; （D)12,2-3，3-1。若矩阵A34有一个3阶子式不为0，则A的秩(） = 。 (A） 1; (B） 2； (C) 3； (D) 4 实二次型fxTAx为正定的充分必要条件是 . (A） A的特征值全大于零; (B) A的负惯性指数为零; （C） A| 0 ； (D) R（A) = n 。得 分 三、解答题（共5小题,每道题8分，满分40分）1。求的值。 求向量组,，的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出.设A、P均为3阶矩阵，且若P=（1,2，3）,Q=（1+2，2,3），求QTAQ4设是阶实对称矩阵，若,求.5.设矩阵相似于对角矩阵L，求a。得 分 四、（本题满分10分）对线性方程组(1） 若两两不等，问方程组是否有解，为什么?(2）若， （b0）,且已知方程的两个解, ,试给出方程组的通解得 分 五、（本题满分8分）设二次曲面方程（）经正交变换，化成，求、的值及正交矩阵Q。得 分 六、（本题满分6分）设A为n阶实矩阵，为A的对应于实特征值的特征向量，为AT的对应于实特征值的特征向量，且，证明与正交2008 2009学年第二学期线性代数B试卷参考答案 2009年6月22日 一二三四五六总分得 分 一、填空题（共6小题，每小题 3 分，满分18分）1。 设，则2。2. 为阶方阵，且 0 .3设方阵 B为三阶非零矩阵，且AB=O，则 3 .4。 设向量组线性无关，向量b不能由它们线性表示，则向量组b 的秩为 m+1。5设A为实对称阵，且A|0，则二次型f =x TA x化为f =yTA1 y的线性变换是x=_ 设的两组基为，;，则由基到基的过渡矩阵P=得 分 二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1。 设为n阶行列式,则0的必要条件是D。(A） 中有两行元素对应成比例;(B） 中各行元素之和为零; （C）中有一行元素全为零；（D)以为系数行列式的齐次线性方程组有非零解2若向量组a，b,g 线性无关，a，b,s 线性相关，则 C .(A) a必可由b，g，s 线性表示。 （B） b必可由a，g，s 线性表示。 (C) s必可由b，g，a 线性表示。 （D） g必可由b，a，s 线性表示。设3阶方阵A有特征值0，1，1，其对应的特征向量为P1，P2，P3，令P(P1，P2，P3)，则P1AP B 。(A）； (B） ; （C) ；(D） 设1,2,3线性无关,则下列向量组线性相关的是 D （A)1,2，3 - 1； （B）1，1+2，1+3；（C）1+2，2+3，3+1; （D）1-2,2-3，31.若矩阵有一个3阶子式不为0，则 C . (A)（)=1； （B) (）=2； (C) (）=3；（D) （)=4 实二次型fxAx为正定的充分必要条件是 A (A) A的特征值全大于零； (B） A的负惯性指数为零； （C） |A 0 ； （D) R（A） = n.得 分 三、解答题（共5小题，每道题8分,满分40分)1.求的值解:。 求向量组，,，的一个极大无关组,并把其余的向量用该极大无关组线性表出.解：极大无关组， ,.设A、P均为3阶矩阵，且若P=(1,2,3)，Q=（1+2,2，3)，求QTAQ解:由于Q=(1+2,2,3）= （1,2,3） 于是QTAQ=4设是阶实对称矩阵，若，求.解： 由知， 的特征值-2或0,又，且是阶实对称矩阵，则(k个2)，故5。设矩阵相似于对角矩阵L，求a.解： 由AE|=0，得A的三个特征值1=2=6，3= 2.由于A相似于对角矩阵，R（A6E）=1,即，显然，当a=0时，R（A-6E)=1，A的二重特征值6对应两个线性无关的特征向量得 分 四、（本题满分10分）对线性方程组（1) 若两两不等，问方程组是否有解，为什么？(2)若, (b0），且已知方程的两个解， ，试给出方程组的通解解：（1）因为,故，无解（2），故通解得 分 五、(本题满分8分）设二次曲面的方程)经正交变换，化成，求、的值及正交矩阵Q。解:设，由知当时，当时，得 分 故正交阵。六、（本题满分6分)设A为n阶实矩阵，为A的对应于实特征值的特征向量,为AT的对应于实特征值的特征向量，且，证明与正交证 :依题意得A=, AT=，将A=的两边转置得，TAT =T，在上式的两边右乘得，TAT =T，即T=T,亦即（-）T=0，由于,所以T=0，故与正交(共 6 页 第5页)