1、1南京工业大学南京工业大学线性代数线性代数课程考试试卷(课程考试试卷(A A A A)(江浦、浦江 2005-2006 学年第 1 学期)所在系(院)班 级学号姓名题分一二三四五六七八总分一一填空题填空题(每空 3 分,共 15 分)1、若n阶 方 阵 A 满 足02=+EAA(E为 单 位 阵),则A的 逆 矩 阵=1A_.2、设矩阵B是由矩阵A划去某一列所得,则秩(B)_秩(A).3、若1111320=zyx,则=222431111zyx_.4、若向量=0112k与=110k正交,则=k_.5、已知三阶矩阵A的特征值为,2,1,1设,223AAB=则B的三个特征值为_.二二单项选择题单项选
2、择题(每题3分,共15分)1、齐次线性方程组0=xA的一个基础解系为123212131,100010001 =,则A的秩为()5)()(=ARA4)()(=ARB3)()(=ARC2)()(=ARD2、设有m个n维向量)(nm,则()2)(A必线性相关)(B必线性无关)(C不一定)(D无法确定3、设A为n阶方阵,则下列方阵中为对称矩阵的是()()AAA()BCAC(C为任意n阶方阵)()CAA()()DAA B(B为任意n阶方阵)4、设A与B均为n阶方阵,若A与B相似,则下面论断错误的是())(A存在M,且0M,并有AMMB=)(B A与B有相同的特征值BEAEC=)()(D A与B均可对角化
3、5、若向量组321,线性无关,向量组421,线性相关,则())(A4必不可由321,线性表示)(B4必可由321,线性表示)(C2必不可由431,线性表示)(D2必可由431,线性表示三.(12 分)求n阶行列式:)1(100000220000111321nnnn。3四(12 分)设=410011103A,且有关系式 AX=A+2X,求矩阵 X.五(12 分)求向量组1234(1,1,0,1),(2,0,1,3),(0,2,1,1),(0,1,1,1),=5(6,1,3,9)=的秩和它的一个极大线性无关组,并把其余向量表示为所求的极大线性无关组的线性组合。4六(16 分)已知二次型222123
4、12323(,)4332f x xxxxxx x=+。(1)写出二次型f的矩阵A;(2)用正交变换把二次型f化为标准形,并写出相应的正交矩阵;(3)判别二次型的正定性5七1.(江浦学生做江浦学生做)(12分)问a为何值时,线性方程组=+=+=+=+773922323215432142143214321xxxxxxxaxxxxxxxx无解,有解?有解时求其通解。2(浦江学生做浦江学生做)(12 分)判别非齐次线性方程组1234123412341234512333819377xxxxxxxxxxxxxxxx+=+=+=+=是否有解,若有解,求其通解。6八.1.(江浦学生做江浦学生做)(6 分)设A
5、是 3 阶矩阵,321,是 3 维向量,若向量组321,线 性无 关,且321122+=A,321222=A,321322=A.(1)求矩阵A的特征值;(2)设EAB=*2,其中E是 3 阶单位矩阵,*A是A的伴随矩阵,求B的行列式B的值。2.(浦江学生做浦江学生做).(6 分)假如321,是某齐次线性方程组0AX=的一个基础解系,问213213,2,是不是齐次线性方程组0AX=基础解系?为什么?7南京工业大学南京工业大学线性代数线性代数课程考试试卷(课程考试试卷(A A A A)解答)解答(江浦、浦江 2005-2006 学年第 1 学期)一、1、AE,2、,3、2,4、1=k,5、-4,-
6、6,-12二、1、D,2、A,3、C,4、D,5、B,三第n,3,2 列加到第1列:)1(100000220000101322)1(+=nnnnnnD4 4 4 4=100220(1)200(1)n nn+4 4 4 4=2)!1()1(1+nn4 4 4 4四(12 分)解:(2)AE XA=3 3 3 31(2)321130122111031110145224323223XAEA=五(12 分)解:81234512006120061021101102(,)01113000111311900000 =6 6 6 6秩为3;(8 8 8 8)极大线性无关组为134,;(10101010)213
7、51342,62=。(12121212)六.(16分)解:(1)400031013A=4 4 4 4(2)2|(4)(2)AE=,得特征值 2,4,4。7 7 7 7对于=2,得特征向量10011,2112p=单位特征向量为;12323000000001140110011 000,0110011000100,1.01xxx =当时,解方程此方程组的基础解系为这是一组正交向量组230110,2012pp =将特征向量单位化得101010109取正交变换1230101102211022yXPYyy=。则222123244fyyy=+12121212(3)因为特征值都大于 0,所以二次型是正定二次型
8、16161616七(江浦学生江浦学生)(12)解:15111151110722107221(,)072440000301448800000aaA ba+6 6 6 6(1)当3a时,方程组无解;8 8 8 8(2)当3a=时,有无穷多组解,10101010通解为1213313777424777010001Xkk=+。12121212七(浦江学生浦江学生)(12 分)解:15111151110722407224(,)072440000001448800000A b6 6 6 6,()(ArAr=b b b b)=24,方程组有无穷多解。9 9 9 910通解为121331377742477701
9、0001Xkk=+。12121212八(江浦学生江浦学生)(6 分)(1)123123122(,)(,)212221A =2 2 2 22(1)(5)EA=+,A的特征值为 1,1,5;2 2 2 2(2)5,AA=的特征值为:,B 的特征值为:(11),(11),1.,(11)(11)1121.B=2 2 2 2八.(浦江学生浦江学生).(6 分)解.是2 2 2 2(1)由于321,是某齐次线性方程组0AX=的解.则它们线性组合213213,2,是0AX=的解;1 1 1 1(2)由于321,线性无关,可得213213,2,线性无关;2 2 2 2(3)由于0AX=基础解系中含 3 个解向量,从而213213,2,是组0AX=基础解系.