南昌大学线性代数期末考试试卷及答案.pdf

第 1 页 共 12 页南昌大学南昌大学 20072008 学年第二学期期末考试试卷学年第二学期期末考试试卷 试卷编号：试卷编号：教教 57(A)卷卷课程编号：课程编号：H55010001 课程名称：课程名称：线线 性性 代代 数数 考试形式：考试形式：闭闭 卷卷 适用班级：适用班级：理工类（本科）理工类（本科）姓名：姓名：学号：学号：班级：班级：学院：学院：专业：专业：考试日期：考试日期：2008 年年 7 月月 3 日日 题号题号一一二二三三四四五五六六七七八八九九十十总分总分题分题分151591111111297 100累分人累分人 签签名名得分得分考生注意事项：1、本试卷共 7 页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、一、填空题填空题(每空每空 3 分，共分，共 15 分分)得分得分评阅人评阅人 1 1、行列式11101101_101101112 2、若线性方程组 有解，则常数应满足条件121232343414xxaxxaxxaxxa 1234,a a a a_3 3、设四阶方阵的秩为，则其伴随矩阵的秩为A2A_4 4、设有三阶方阵，三维列向量.122212304A11k 已知与线性相关，则A_k 5 5、若二次型是正定的，2221231231223,22f x x xxxxx xtx x则 的取值范围是t_第 2 页 共 12 页二、选择题二、选择题(每小题每小题 3 分，共分，共 15 分分)得分得分评阅人评阅人 1、的充分必要条件是（）12021kk 且 且 A1k 3k B1k 3k 且 且 C1k 3k D1k 3k 2、若存在一组数，使得成立，则120mkkk11220mmkkk向量组（）12,m 线性相关 线性无关 A B 可能线性相关，也可能线性无关 部分线性相关 C D3、均为阶方阵，下列各式中成立的为（）,A Bn A111ABA B BABBA 设，则或 C0AB 0A 0B DABBA4、设阶方阵的秩，则在的个行向量中（）nArnAn 必有 个行向量线性无关。任意 个行向量均可构成最大无关组。Ar Br 任意 个行向量均线性无关。任一行向量均可由其它 个行向量线性表 Cr Dr示5、阶方阵可与对角矩阵相似的充分必要条件是（）nA 有个线性无关的特征向量 有个不同的特征值 AAn BAn 的个列向量线性无关 有个非零的特征值 CAn DAn三、三、（9 分）已知，.103021001A100021301B求：；1ABAB 222.AB得分得分评阅人评阅人 第 3 页 共 12 页四、四、（11 分）已知向量组.12341,1,3,1,1,1,1,3,5,2,8,9,1,3,1,7 求的一个最大无关组。11234,将其余向量用此最大无关组线性表示。2得分得分评阅人评阅人 第 4 页 共 12 页五、五、（11 分）设矩阵，求矩阵的逆阵。223110121AA1A得分得分评阅人评阅人 第 5 页 共 12 页六、六、（11 分）讨论取何值时，线性方程组无解？有解？1234123412342202132xxxxxxxxxxxx在有解的情况下求其一般解。得分得分评阅人评阅人 第 6 页 共 12 页七、七、（12 分）求矩阵的特征值和特征向量。121121153A得分得分评阅人评阅人 第 7 页 共 12 页八、八、（9 分）设矩阵与相似.求：与11111A000010002B得分得分评阅人评阅人 九、九、设，均为阶方阵，为阶单位矩阵，若，ABCnEnBEABCACA证明：.（7 分）BCE得分得分评阅人评阅人 第 8 页 共 12 页南昌大学南昌大学 0708 学年第二学期线性代数期末考试（学年第二学期线性代数期末考试（A 卷）评分标卷）评分标一一、1；2 2 ；3 3 ；4 4 ；5 5 _31234_0aaaa_0_1。_22t 二、二、1（B）；2（C）；3（D）；4（A）；5（A）。三三；2 分 1203042302AB003000300AB 4 分906600609ABAB ；8 分2106043001A2100343601B 9 分22006300600AB 四、四、令并对矩阵作初等行变换 11234,AA 3 分115111511123027431810274139704148A 6 分3101115120274701220000000000000000则，为该向量组的一个最大无关组。7 分12 9 分 23123722 11 分4122第 9 页 共 12 页准准第 10 页 共 12 页五、五、方法（一）方法（一）3 分1A 5 分112131112223213233311AAAAAAAAAAAAA 11 分143143153153164164 方法（二）方法（二）2 分223100110010110010121001121001223100 6 分110010011011043120110010011011001164 10 分110010100143010153010153001164001164 11 分1143153164A六、六、对方程组的增广矩阵作初等行变换，得：2 分1212012120,211110515131210515A b 4 分121200515100001 由此可见：当时，11 2R A,3RA b此时原方程组无解。5 分当时，（未知量的个数）21,24R ARA b此时原方程组有无穷多个解。6 分 当时，阶梯形矩阵为：7 分1121201303105151051510000000000 求得非齐次方程的一个特解和对应齐次方程的基础解系：第 11 页 共 12 页 ；，10 分1010 13150 23051 一般解是：（为任意实数）11 分1 122xkk12,k k七、七、=2 分121121153EA2110解得特征值为：，3 分122131 对应于根据，有 12,0EA X，即 123123123204050 xxxxxxxxx132330 xxxxx取，则易求得。31x 121,0 xx得基础解系为，1,0,1的属于特征值的全部特征向量为，A1211,0,1k （其中为任意非零常数）6 分1k对应于根据，有 21,0EA X，即 231231232030520 xxxxxxxx1222322xxxxxx 取，则易求得。21x 131,2xx 得基础解系为 1,1,2的属于特征值的全部特征向量为A2121,1,2k （其中为任意非零常数）9 分2k对应于根据，有 31,0EA X，即 1231231232200540 xxxxxxxxx1323331434xxxxxx 取，则易求得。34x 131,3xx 得基础解系为 1,3,4的属于特征值的全部特征向量为A31 31,3,4k （其中为任意非零常数）12 分3k第 12 页 共 12 页八、八、2 分123|(1)(2)00,1,2EB 与相似，4 分ABEAEB当时，有，1020EA 即 5 分0 1 当时，有，2120EA 即 6 分0 2 当时，有，3220EA 即 7 分0 3 由、知：9 分 1 2 30九、九、由知 2 分BEABEA BE从而可逆，3 分EA1BEA由知，5 分CACAC EAA1CA EA从而 11BCEAA EA 7 分1EAEAE