线性代数模拟试卷及答案.doc

线性代数(文)模拟试卷(一）参考答案
一。填空题(每小题3分，共12分）
1.设，,，,则=。
解 =
=.
2.已知向量，,设，其中是的转置,则=.
解 注意到,故
=
=
=。
注 若先写出，再求，…，将花比前更多的时间.
3。若向量组，，线性相关,则=。
解 由,，线性相关,则有
===。
由此解得.
4.若阶矩阵与相似,矩阵的特征值为,，，,则行列式
=.
解 因为与相似，所以,有相似的特征值,从而有特征值，，，。故.
注 本题解答中要用到以下结论：
（1)若可逆，的特征值为,则的特征值为.
（2）若是的特征值,则的特征值为,其中为任意关于的多项式.
(3)若阶矩阵有个特征值,,…，,则。
二.单项选择题(每小题3分,共18分）
1。矩阵在( )时,其秩将被改变。
（) 乘以奇异矩阵 (） 乘以非奇异矩阵
() 进行初等行变换 （） 转置
2.要使，都是线性方程组的解,只要系数矩阵为( )。
（） ()
（） ()
解 我们知道,若，,…，是齐次线性方程组的个线性无关的解向量，的任一解为向量,,…,的线性组合，则,,…,为的基础解系，且所含解向量的数目,其中为矩阵的列数.
由于,为的解,知。又因与是线性无关的，故.因而,而()、（)、（）、（)四个选项中满足的矩阵只有()项中的。
3。设向量组Ⅰ:,，…可由向量组Ⅱ:,，…线性表示，则( ).
(） 当时，向量组Ⅱ必线性相关
(） 当时，向量组Ⅱ必线性相关
(） 当时,向量组Ⅰ必线性相关
(） 当时，向量组Ⅰ必线性相关
解 根据定理“若,，…可由，,…线性表出,并且,则,
,…,必线性相关”，即若多数向量可以由少数向量线性表出,则这多数向量必线性相关，故应选（）.
4。设是矩阵，是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ ）。
(） 若仅有零解，则有唯一解
(） 若有非零解，则有无穷多解
（) 若有无穷多个解，则仅有零解
（） 若有无穷多个解,则有非零解
解 方程组与其对应的齐次线性方程组的解之间有密切的关系.正确作答本题要求掌握以下结论:
(1)非齐次线性方程组有解的充要条件为方程组的增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩.
（2)在非齐次线性方程组有解的条件下,解惟一的充分必要条件是齐次线性方程组只有零解。
(3）非齐次线性方程组的任意两个解之差是齐次线性方程组=
的解.
由于题干及（)、（）项中均未指明有解,即的秩不一定等于增广矩阵的秩，故（）、（)两项为干扰项。由结论（3）知(）为正确选项。
5.若矩阵与相似，则( )。
(） ()
（） ,有相同的特征向量 （) 与均与一个对角矩阵相似
解 由与相似，知存在可逆矩阵，使得。由此可得
==。
6.设矩阵的秩为，为阶单位矩阵,下述结论中正确的是( )。
（） 的任意个列向量必线性无关
() 的任意阶子式不等于零
（） 若矩阵满足,则
（) 通过初等行变换,必可以化为的形式
解 应选（）.
由于，表明矩阵的秩等于行数，即的行向量必线性无关.根据矩阵秩的性质:行向量的秩等于列向量的秩,因此的列向量的秩等于.由于(列数),故一定存在个列向量线性无关,但并不是任意个列向量线性无关,故()不成立。
根据矩阵秩的等价定义，表明至少存在一个阶子式不等于零,但并不要求任意一个阶子式均不等于零,故（)不成立.
()也是不成立的.若（)成立,则存在个行变换，,，,使
=,即A=,说明的后列均为零向量,显然题目未作这种要求.
()为正确选项.设的个列向量为,，，,则，,,线性无关,因此，方程组仅有零解。若,是维行向量满足,即，即故.
三.(本题6分）
设行列式，求第四行各元素余子式之和的值。
解 设（)为第四行各元素余子式,对应代数余子式记为
（=），则
=
==
=
=.
四。（本题10分)
设,且满足，求矩阵。
解 由可得.矩阵
。
又
,
故可逆，从而。
下面用初等行变换法求.
=
.
于是
。
因此
。
注 因为,也可以不求而用初等行变换直接求出.方法如下:
=
=.
即
.
五.(本题12分）
已知,为3阶矩阵,且满足，其中是3阶单位矩阵.
（1）证明:矩阵可逆，并求其逆矩阵;
（2）若,求矩阵。
解 (1）由知
，
从而或，故可逆，且=.
(2）由（1)知,而
，
故 。
注 如果只要证明可逆,那么由
得 。
因为可逆,知，故
,
由此证出可逆。
六。(本题10分）
设向量组,,，，
(1)求向量组的秩；
（2)求向量组的一个极大无关组,并把其余向量分别用此极大无关组线性表出.
解
=
。
所以向量组的秩为3。
,,为其一个极大无关组,且.
七。(本题12分）
问，为何值时,线性方程组
有惟一解,无解,有无穷多组解?并求出有无穷多组解时的通解.
解 对方程组的增广矩阵进行初等行变换：
=
.
当时，，方程组有惟一解。
当，时，，方程组无解.
当，时,，方程组有无穷多组解，这时，得同解方程组：
令，由此得到一个特解为：.
另外,原方程组的对应齐次线性方程组的同解方程组为:
依次令,；，得到一个基础解系:,
=.
于是原方程组的通解为:
.
八。（本题15分)
若矩阵相似于对角阵,试求常数的值,并求可逆矩阵使.
解 由矩阵的特征多项式
=，
得知的特征值为,.
由于相似于对角阵,而是二重特征值,故应有两个线性无关的特征向量,因此矩阵的秩必为,从而由
知.
当时,由，
，
得到矩阵属于特征值的特征向量为
， .
当时,由，
，
得到属于特征值的特征向量为
。
那么，令
,
则
.
九。（本题5分）
设向量可由向量组,,…线性表示，但不能由向量组,，…线性表示,证明:不能由向量组，,…线性表示。
证 用反证法。若
, （1）
又已知
, (2）
将（2）代入（1），整理得
。
这与不能由向量组，，…线性表示的假设矛盾，所以得证不能由向量组,，…线性表示。
线性代数(文）模拟试卷（二)参考答案
一.单项选择题（每小题2分,共16分）
1。若,则等于（ ）.
（) () () (）
解 根据行列式的性质，有
==.
故选(）。
2。下列阶行列式的值必为零的是（ )。
（）主对角元全为零
（)三角形行列式中有一个主对角元为零
（）零元素的个数多余个
（)非零元素的个数小于零元素的个数
3。已知矩阵，,则下列运算可行的是( )。
(） () (） （）
解 两矩阵可以相乘的条件是:矩阵的列等于矩阵的行,依此条件，应选().
4。若,均为阶非零矩阵,且，则必有（ )。
（），为对称矩阵 （）
（） (）
解 因为，矩阵的乘法一般不满足交换律，只有当（与可交换）时,上式成立,故选(）.
5。设齐次线性方程组有非零解，则的值为（ )。
（) (） （) (）
解 该齐次线性方程组有个方程,个未知数，则根据克莱姆法则，当系数行列式
=
时，有非零解。故选(）。
6。若向量组线性相关，则一定有( ）.
()线性相关
()线性相关
（)线性无关
(）线性无关
解 本题要求掌握以下结论:
(1)若在向量组中，由部分向量构成的向量组线性相关，则整个向量组必线性相关（部分相关整体必相关）；
(2)若向量组线性无关，则任意抽取部分向量构成的向量组必无关(整体无关部分必无关）。
因此,()、（）均不能肯定,（)也是不一定的。故选()。
7。设是同阶实对称矩阵,则是( ）。
（)对称矩阵 ()非对称矩阵
（)反对称矩阵 ()以上均不对
8。设为一个可逆矩阵,则其特征值中（ ）.
()有零特征值 （）有二重特征值零
(）无零特征值 ()以上均不对
解 因为,若可逆,则，所以均不能为零,故选(）。
二。填空题（每小题3分，共18分）
1。行列式。
解法1 利用反对角行列式=。
解法2 由于此行列式只有4阶,也可以按某一行（列)展开后计算结果.
2.,均为3阶方阵，,且，则.
解 因为,所以。
3.若，为可逆矩阵，则分块矩阵的逆矩阵为。
解 应记住以下几个常用结论:
(1)若,且均可逆,则。
(2）若,且均可逆,则.
（3)若，且，均可逆，则。
(4）若,且,均可逆,则。
（5)若,且,可逆,则。
(6)若,且，可逆，则.
4。设,则。
解 因为
,
所以的秩为2。
5。设,,,则线性 相 关.
解 因为
,
所以线性相关.
6.设,则的所有特征值为.
解 设的特征值为,特征向量为，则
=， =.
因为=，则=，即。又为非零向量，所以，即=。
三。(本题6分）
计算行列式的值.
解 原式=。
四.（本题6分）
设，，，求。
解 ==,
∴ .
五。（本题8分)
解矩阵方程，其中，。
解 由,可得,而
，
X=。
六.(本题10分）
试求向量组，，,
，的一个最大无关组,并写出其余向量用此最大无关组的线性表示式。
解 由
()
.
所以,取，,,为一个最大无关组，且.
七.（本题12分)
设方程组
,
解此方程组，并用其导出组的基础解系表示全部解。
解 。
令，由此得到原方程组的一个特解:
。
令,；，得到导出组的一个基础解系:
， 。
所以，原方程组的解为,其中，为任意常数。
八。（本题14分）
设,求的特征值,特征向量。
解 因为的特征多项式为
,
所以的特征值为，
当时,
,
所以
。
对应的特征向量 （,不同时为零）.
当时，
。
所以
。
对应的特征向量为 ().
九.（本题5分）
设是齐次线性方程组的一个基础解系,证明:，
也是的一个基础解系.
证 令，即
，
。
因为是的一个基础解系，则线性无关,所以
.
解得
所以线性无关，且基础解系中所含的向量的个数为3,命题得证。
十。（本题5分)
证明：如果,但不是单位矩阵,则必为奇异矩阵。
证 用反证法。
假设可逆,且其逆矩阵为.因为.所以
，
即 。
由此得，=,这与不是单位矩阵矛盾！因此不可逆,即,所以必为奇异矩阵。
线性代数（文）模拟试卷（三)参考答案
一.填空题（每小题2分,共20分)
1.设四阶行列式,则=。
解
2..
解 按第一行或第一列展开即可。
3。设.
解 设，,则
， 。
于是
。
4。三阶矩阵按列分块为，且,则
=.
解 交换该行列式中两列的位置，则
原式==
==.
5.为三阶矩阵,为的伴随矩阵,已知，则。
解 。
6.设，则=。
解
，
。
7.为三阶矩阵，且,则=.
解 原式=.
8.设,，,,且有
,则;;.
9.若向量组,，线性相关，则.
解 因为向量组,，线性相关，则有
,
解得。
10.设的特征值为，,，则=。
解 矩阵的特征多项式为
.
因为是的特征根,所以,是的两个根，把代入得.
二。单项选择题（每小题3分，共15分）
1.设是的解,是的解,则（ )。
()是的解 ()是的解
(）是的解 ()是的解
解 根据非齐次方程组解的性质可知选（C）.
2。向量组线性无关的充分条件是( )。
(）均不是零向量
（）中有部分向量线性无关
(）中任意一个向量均不能由其余个向量线性表示
（）有一组数,使得
解 选项()，（)都只是向量组线性无关的必要条件,而不是充分条件.选项()是错误的,若将“有一组数"改为“当且仅当”时才为正确。所以选（）。
3.设是阶可逆矩阵,是阶不可逆矩阵，则( )。
()是可逆矩阵 ()是不可逆矩阵
（）是可逆矩阵 （)是不可逆矩阵
解 由题设知,，所以，即是不可逆矩阵，应选（）.但是当可逆,不可逆时,是否可逆不能一概而论,例如,
若取,，则可逆,不可逆，但是不可逆的。若取,则不可逆的,但是可逆的。故是不正确的。
4。与相似的矩阵为（ ）。
（） （) () （)
解 因为中矩阵的特征值为,,所以不能与相似。
（）中矩阵的特征值为，,但对二重根,因,所以不能对角化，也不能与相似.
（)中矩阵的特征值为，对二重根,因,
所以可对角化，故成立。
5.已知为可逆阵,则=( )。
（) （） () ()
解 =,故选（）.
三。（本题5分）
计算行列式的值。
解 原式
.
四。(本题6分)
已知,求.
解 =
=
=
=.
五。(本题10分)
设向量组,，,,
.求它们的秩，及其一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组表示.
解
.
所以,所求向量组的秩为,取为其一个极大无关组,且
, 。
六。（本题6分）
已知,,求。
解 。
七。（本题6分)
设,求.
解 由和，又因为的逆矩阵,可以求得
，
.
八.（本题6分)
已知线性无关，设，，
,判断是线性相关的。
解 若是线性相关的，则存在一组不全为零的数使得
,
即方程组
有非零解.又因为该方程组的系数矩阵
，
所以，的秩为，方程组有非零解.所以存在一组不全为零的数。故
是线性相关的。
九。（本题12分)
对于线性方程组
,
讨论取何值时,方程组无解,有唯一解和有无穷多组解。在方程组有无穷多组解时，试用其导出组的基础解系表示全部解.
解 因为系数行列式
。
(1）当时，由克莱姆法则知方程组有唯一解.
(2)当时，对增加广矩阵作高斯消元,有
，
第一个方程矛盾，故方程组无解。
（3)当时,有
,
可见,故方程组有无穷多组解。又由此可得与原方程组同解的方程组为.令，得其特解.
与原方程组的导出组同解的方程组为。由此可得基础解系为，。
原方程组的全部解为
,其中是任意常数。
十。(本题8分)
设矩阵，问能否对角化?若能，试求可逆阵阵，使得
为对角阵。
解 因为是实对称矩阵，所以可对角化。由
,
得矩阵的特征值为.
求得的特征向量为
， 。
的特征向量为
.
令，则有。
十一。证明题(本题6分）
已知可逆,试证也可逆,且.
分析 本题因为已经给出，故只需验证
即可.
证 因为
=
=
=.
故可知是可逆，且。
注 本题若没有给出条件：已知可逆，一般的证法如下:
因为，故
而
=
=
=。
由此知也可逆，且。
线性代数（工科)模拟试卷(一）参考答案
一.填空题（每小题2分，共20分）
1.若，则.
解 将第三行的3倍加到第一行，第三行的倍加到第二行，可得原行列式的转置行列式.
2。设阶方阵，且,则.
解 .
3.方阵为幂等矩阵，即，则。
解 由,由此可得：
即 ，
则有.
4。设矩阵,且的秩,而.
解 因可逆,则。
5。设阶矩阵的各行元素之和均为零，且的秩为，则线性方程组的通解为.
解 因的各行元素之和均为零,所以可得是方程组的一个解，而的秩为,故方程组的基础解系只含有一个解向量,即方程组的通解为。
6。设，,,若线性相关,则满足关系式。
解 。
7.设二次型是正定的,则的取值为.
解 此二次型的矩阵为,则的各顺序主子式为
, ,
解得 .
8。已知是的一个基,多项式关于这个基下的坐标是.
解 。
9.在中线性变换,那么关于基
，,下的矩阵是。
解 即
.
10。已知阶方阵的特征值为(二重），则。
解 已知阶方阵的特征值为（二重)，可得阶方阵的特征值为，则
.
二。选择题（每小题分,共分）
1.设为阶非零矩阵满足,则和的秩为( ）.
必有一个等于零 都小于
都等于 一个小于一个等于
解 因,且与为阶非零矩阵,可得与都为不可逆矩阵,即和的秩都小于。
现说明与都为不可逆矩阵.
用反证法。假设是可逆的，则一定有存在，对等式两边左乘有,即得,与已知矛盾。故是不可逆.同理可证也是不可逆.
2。非齐次线性方程组中未知量的个数为，方程个数为，而
是它所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是（ ）.
若仅有零解时,则方程组有唯一解
若有非零解时,则方程组有无穷多组解
若有无穷多组解时,则方程组只有零解
若有无穷多组解时，则方程组有非零解
解 若仅有零解时,能得，但也有可能,从而
方程组无解；
例:方程组,,此方程组只有零解,
方程组,,此方程组无解。
是不正确的；同样也不正确;而有无穷多组解时,得
,即方程组有非零解。
3.设，均为阶行列式，则( ).
解 和显然是错误的；而，即也是不正确的。
4。设阶方阵为正定矩阵,下列结论不对的是( ）。
可逆 也是正定矩阵
所有的元素全为正数
解 由为正定矩阵，可知的所有特征值均大于零,则的行列式大于零所以是正确的;从而也可得可逆,即也正确；又因的特征值和的特征值互为倒数,所以的特征值全部大于零，故也是正定矩阵,正确。
三.（本题8分)计算行列式
.
解 根据行列式数字的特点,可作第列提出公因数,然后把从第2列开始的每列的-1倍加至第1列,把行列式变为上三角行列式，即
四.（本题12分）
设向量组，,,
，问:
(1）为何值时,该向量组线性无关?并在此时将向量用向量组线性表示;
(2）为何值时，该向量组线性相关?并此时求它的秩和一个极大无关组.
解
.
（1)当时,线性无关，并可求得：
.
(2)当时,，则线性相关，向量组
为其一个极大无关组.
五。(本题8分）
设矩阵，矩阵满足,其中是的伴随矩阵,求矩阵。
解 在的两边左乘，得
， 即有 ,
移项得
,于是。
因 ，
故
.
六.（本题10分)
求非齐次线性方程组
的通解。
解 对增广矩阵作初等行变换：
,
从最后的阶梯形矩阵可知，其导出组的通解为:
，
其一个特解为 .
故原方程组的通解为 +。
七.(本题12分）
求一正交变换,将二次型
化为标准形.
解 此二次型的矩阵.解特征方程
得特征值为，。
解齐次线性方程组 与 ，即
与
得与二重特征值0对应的线性无关的特征向量为；
与特征值9对应的特征向量为。
将正交化、单位化。
因实对称矩阵不同特征值对应的特征向量必相互正交，所以与必相互正交,
取,；
取，;
取,.
作矩阵 ,为正交矩阵，有
正交变换 使
=.
八.(本题12分）
设线性空间，
（1）求在基底:
,，
下的坐标向量；
（2)验证:主对角线上的元素之和等于0的阶矩阵的全体是线性空间
的一个子空间，并写出它的一个基。
解 (1）设,即
,
所以有方程组：
。
解得 .则
.
（2）由于矩阵的主对角线上元素之和为零，所以，非空集。
下面再证对于矩阵的加法和数乘运算封闭.
设，，，且有，.
对于因
，所以。
对于因所以。
故是子空间.
可选：作为的一个基.
九.（本题6分）
设为阶可逆方阵，且。证明:的伴随矩阵.
证 因为可逆方阵,可得。又已知,即有
，
故得 .
又因为 ,由此可得。
线性代数(工科）模拟试卷(二）参考答案
一。是非题(每小题2分,共16分)
1.(√)设为实对称矩阵，若则.
2.(×)若矩阵的秩为,则的所有阶子式全不为零。
3。(×)若向量组任两个都线性无关，则也线性无关。
4。(√)若为正交矩阵,则伴随矩阵也是正交矩阵.
5.（√）若是矩阵的属于不同特征值的特征向量,则必不是的特征向量。
6。(√）若为可逆的对称阵,则为正定阵。
7.（×）线性方程组，其中是矩阵,当时必有无穷多解.
8。(√)奇数阶反对称矩阵必不可逆。
二.填空题（每小题2分,共14分)
1。四阶矩阵的行列式，则=。
2.设,则。
3。矩阵，不可逆的条件是.
4。向量组,，的秩为.
5.。
6.向量与的夹角为.
7。设,则.
三。计算题（共64分)
1.计算阶行列式。 (分)
解 把第二列至最后一列全部加到第一列
原式=
=.
2.设矩阵=有一特征值,对应的特征向量为，求矩阵 （6分)。
解 由，将代入，得:
,
从而得方程组：，解得：
因此,=.
3。下列线性方程组中，当取何值时无解？有惟一解?有无穷多解?在有无穷多解时求出全部解（用向量表示)。
。 (分)
解 ==。
（1）当且时有唯一解;
（2)当但时，
=
有无穷多解:，为任意实数.
(3）当时,
=,
无解.
4。解矩阵方程，其中=, (6分）。
解 ，
=
.
因此：.
5.求下面向量组的秩和一个极大线性无关组,并将其余向量用此极大线性无关组线性表示:
，,，。 (10分)
解
极大无关组为.其余向量用此极大线性无关组线性表示的表示式为
， .
6。设上的变换定义为:，其中,是中任意矩阵。
（1）验证是上的线性变换;
（2）求在基,，，下的矩阵。 (10分）
(1)证 ,,有
=
=，
，
所以是上的线性变换.
（2）解 =, =，
=, ,
所以在基，,，下的矩阵为：。
7.用正交变换把二次型
=
化为标准形,并指出它是否正定. （12分）
解 ,
=,
特征根为,，.
当时，=,
特征向量为，，与正交.
当时,,特征向量为.
当时，,特征向量为。
正交矩阵为:,
标准形为。
因为有负的特征值,所以二次型非正定.
四.证明题(6分）
设,，…，。
证明：向量组与向量组有相同的秩 （）.
证 因为=,
其中：，
而，因此可逆，即也可被线性表出,所以与可相互表出，即有相同的秩。
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