高等数学同步练习题.doc

高等数学同步练习题
第一部分 函数
1.求下列函数的定义域：
(1)；
(2) .
2.讨论下列哪些函数相同：
(1) 与； (2) 与；
(3) 与.
3.讨论下列函数奇偶性：
(1) ； (2) ；
4. (1) 设，求；
(2) 设，求；
(3)设，求.
5.设，，求和并作出这两个函数的图形。
第二部分 一元微分学
一、求导数
1. 若函数在a可导，计算
(1); (2);
(3); (4).
2. 求导数:
(1) ; (2) .
(3) (4)
3. 求下列曲线在指定点的切线及法线方程
(1) 处; (2) 处.
(3) 求在点处的切线
4. 若函数在处可导，计算.
5. 如果为偶函数，且存在，证明.
6. 计算函数 在点x=0的左右导数.
7. 计算函数在c的右导数，当a、b取何值时，函数在c处不
连续、连续及可导？
8. 已知.
9. 求下列函数的导数:
(1) ; (2) ; (3) ;
(4) ; (5) ; (6) ;
(7) ; (8) ; (9) ;
(10) ; (11) ; (12) ;
(13) ; (14) ; (15) ;
(16) ; (17) .
10. 求下列函数的导数:
(1) ; (2) ; (3) ;
(4) ; (5) ; (6) ;
(7) ; (8) ; (9) ;
(10) ; (11) ;
(12) ; (13) ; (14) ;
(15) ; (16) ; (17) ;
(18) ; (19) .
11. 设函数和可导，且，试求函数的导数.
12. 设可导，求下列函数y的导数
(1) (2)
13. 求下列各题的二阶导数:
(1) ; (2) ; (3) ;
(4) ; (5) .
14. 设存在，求下列函数y的二阶导数.
(1) ; (2) .
15. 求下列函数的n阶导数的一般表达式:
(1) ; (2) ;
(3) .
16.求由下列方程所确定的隐函数y的导数
(1) (2)
(3)
17.求由下列方程所确定的隐函数y的二阶导数
(1) ; (2);
(3); .
18.已知 证明
.
19.求由下列参数方程所确定的函数y的导数
(1) ; (2) .
20.求由下列参数方程所确定的函数y的二阶导数
(1) ; (2)
21.求下列函数的微分
(1) (2)
(3) (4)
22． 计算下列函数的导数：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
⑸ ; ⑹ ;
⑺
二、求极限

1.计算下列各极限：
(1) ； (2)；
(3)； (4)；
(5)； (6)；
(7); (8);
(9); (10);
2计算下列各极限：
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) ;
(5) ;
3.如果 ，求a与b的值。
4 已知，求a与b的值。
5.计算下列极限：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ；
(5)； (6)；
6.计算下列极限：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ；
(5)； (6)
7利用极限存在准则，证明下列极限：
(1) ;
(2) .
(3)设，证明：数列收敛，并求其极限
8当时，如果以为基本无穷小，指出下列各无穷小的阶，且找出等价无穷小：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ；
(5) .
9.利用等价无穷小代换求极限：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4)；
(5)； (6)；
(7)；
10.下列函数在哪些点处间断；说明这些间断点的类型。若是可去间断点，则重新定义函数在该点的值，使之连续。
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ；
(5)
11.设，要使在内连续，应当怎样选择数？
12.确定，使 在内连续。
13.设函数，问为何值时，
在它的定义域内的每点处连续。
14用洛必达法则求下列极限
（1） ; （2） ;
（3） ; （4） ;
（5） ; （6）;
（7）;
（8）; （9） .
15.设二阶导数存在,证.
16.讨论函数

在点处的连续性.
17． 求下列极限：
⑴ ⑵
⑶ ; ⑷ ；
三、导数的几何应用
1 求下列曲线在指定点的切线及法线方程
(1) 处; (2) 处.
(3) 求在点处的切线
2 研究下列函数的单调性:
(1) ; (2)
3 确定下列函数的单调区间:
(1) ; (2) ;
(3) .
4证明下列不等式:
(1)当时, ; (2)当时, .
(3)当时, ;
5．试证方程 只有一个实根.
6 求下列函数图形的凹、凸区间.
(1); (2).
7 利用函数的凹凸性,证明不等式:
.
8 试确定曲线中的a,b,c,d,使得点(-2,44)为驻点,点(1,-10)为拐点.
9 已知曲线以点(2,2.5)为拐点.试确定的值.
10 讨论方程有几个实根.
11 求下列函数的极值:
(1); (2);
(3);
12 试问:为何值时,函数在处取得极值?它是极小值还是极大值?并求此极值.
13 求下列函数在指定区间上的最大值,最小值:
(1); (2);
14绘下列函数的图形
（1） （2）
四、导数的理论问题
1.证明方程至少有一个根介于1和2之间。
2.证明方程，其中，至少有一个正根，并且它不超过.
3.若在闭区间上连续，，则在上必有使
.
4.证明若在内连续，且存在，则在内有界。
5.若在闭区间上连续，且，证明在内至少有一点，使.
6.设函数在闭区间上连续，且，证明在上至少存在一点，使.
7.函数在区间内连续，并且.证明在区间
内有零点。
8. 不用求出函数的导数,说明方程有几个实
根,并指出它们所在的区间.
9设是处处可导的奇函数,证明:对任一,总存在使得=.
10证明恒等式 (-1≤x≤1).
11. 证明不等式:
⑴ ＜ln＜ ;
⑵ .
12．若函数在内具有二阶导数且,其中
，证明:在内至少有一点,使得.
13. 若函数在上连续，在内二阶可导，,，弦AB交曲线于点C，证明，在内至少有一点,使得.
第三部分章 一元积分学
一、不定积分
1.单项选择题
(1)下列等式正确的是（ ）
(A) ; (B) ;
(C) ; (D) .
(2) 设，则（ ）
(A) 1; (B); (C) ; (D) .
(3) 设的一个原函数为，则( )
(A) ; (B) ; (C); (D).
2.求下列不定积分
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) （g是常数）;
(5) ; (6) ;
(7) ; (8) ；
(9) ; (10) ;
(11) ; (12) ；
3.求下列不定积分
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) ；
(5) ; (6) ;
(7) ; (8) ;
(9) ; (10) ;
(11) ; (12) ;
(13) ; (14) ;
(15) ; (16) ;
(17) ; (18) ;
(19) ; (20) ;
(21) ; (22) ;
(23) ; (24) ;
(25) ;
4.设的一个原函数为，计算.
5.设，计算.
6．求下列不定积分：
; ;

; ;
; ;
7．求下列不定积分：
⒈ ; ⒉ ;
⒊ ; ⒋ ;
⒌ ; ⒍ ;
⒎ ⒏
⒐ ⒑
⒒ ⒓
⒔ ⒕ ;
⒖ ⒗
二、定积分
⒈ 试用定积分表示：
⑴ 曲线与轴围成的图形的面积
⑵ 曲线与轴及所围成的图形的面积
⒉ 利用定积分的几何意义求下列积分：
⑴ ⑵ ;
⑶ ⑷
4． 求在上的最大值与最小值。

6．计算下列定积分：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
⑸ ⑹
⑺ 设，求
7． 设在[0，1]上连续，且单调递减，,证明在（0，1）内。
8． 设,求在内的表达式。
9． 设，且,
证明：⑴
⑵方程在内有且仅有一个根。
10.计算下列定积分：
（1）； ; （2）;
（3）；; （4）；
（5）； （6）；
（7） ; （8）；
（9） (10) 设，求.
11.利用函数的奇偶性计算下列积分：
（1）; （2）;
（3）.
12.证明：=.
13.设且求
14.设是以为周期的连续函数，证明：对任意的常数有:

15.设证明：
(1)若是奇函数，则是偶函数；(2)若是偶函数，则是奇函数.
16.计算下列定积分
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) .
17.设可导，且求
18.计算定积分.
19.计算.
20.计算下列定积分
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
21.下列反常积分是否收敛？如果收敛求出它的值.
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) ;
(5) ; (6) ;
(7) ; (8) ;
(9) ; (10) .
22.利用递推公式计算反常积分 .
1.求下列图形的面积:
(1)在区间[，2]上连续曲线轴及二直线所围成的平面图形;
(2)由两条曲线围成的平面图形;
(3)与直线及所围成的平面图形；
(4)直线与曲线所围成的平面图形;
(5)曲线的一拱与轴所围成的平面图形;
(6)求星形线所围成的平面图形;
(7)求曲线所围成的平面图形；
(8)圆与双纽线所围成的平面图形。
2.求下列立体的体积:
(1)曲线轴围成的平面图形分别绕轴及轴旋转所形成的立体;
(2)曲线及其上过原点的切线与轴所围成的平面图形绕轴旋转所形成的立体.
(3)圆盘绕轴旋转所得的旋转体；
(4) 摆线及所围的图形绕直线旋转所得的旋转体；
(5) 底面半径为的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体。
3.曲线方程为:
(1)把曲线， 轴，轴，直线所围成的平面图形绕 轴旋转一周，求此旋转体的体积求满足的.
(2)在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积。
4.下列各弧长:
(1)曲线到的一段弧;
(2)半立方抛物线的一支上到的一段弧；
(3)星形线的全长;
(4) 求心脏线的全长.

第四部分 多元函数微分学
1.求下列函数表达式:
(1)，求 (2)，求
2.求下列极限:
(1) (2)
(3) (4)
3.证明下列函数当时极限不存在:
(1) (2)
4.求下列函数的一阶偏导数:
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) (8)
5.求下列函数的高阶偏导数:
(1)， 求，，
(2)，求，，，
(3)， 求，
6.设 ，求和.
7.设， 求证
8.设， 证明
9.求下列函数的全微分
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
10.研究函数在点处的可微性.
11.求下列复合函数的一阶偏导数（是类函数）
(1) (2)
(3) (4)
12.设且具有二阶连续偏导数，求
13.已知，其中有二阶连续导数，求
14.设，其中有连续二阶偏导数，求
15．求下列方程所确定的隐函数的一阶偏导数
(1) (2)
(3) (4)
16．求下列方程所确定的隐函数的指定偏导数
(1)设
(2)设
(3)设
(4)设
17．设，而是由方程所确定的隐函数，求
18．求下列函数的极值
（1）
（2）
19．求下列函数在约束方程下的最大值与最小值
（1）
（2）
20．从斜边之长为的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.
21．求两曲面交线上的点与面距离最小值.
22．求抛物线到直线之间的最短距离.
23．抛物面被平面截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离.
第五部分 二重积分
1． 画出积分区域并计算下列二重积分
(1)，其中是由及所围成的闭区域
(2)，其中是顶点分别为（0,0），（2,4），（6,0）的三角形闭区域
(3)，其中是由及所围成的区域
(4)，是由及所围成
(5)，是由及轴围成的右半闭区域
(6)，是由所确定的闭区域
2．按两种不同次序化二重积分为二次积分.其中为
(1)由直线及抛物线所围成的闭区域
(2)由直线及双曲线所围成的闭区域
(3)由轴及半圆周所围成的闭区域
(4)由所确定的闭区域
3．改变下列二次积分的次序
(1) (2)；
(3) (4)；
(5)
4．求下列积分
(1) (2)
5．设平面薄片所占的闭区域由及轴所围成，它的面密度为
，求此薄片的质量
6．设在区域上连续，且，其中是由，
及所围成的区域，求
7．画出积分区域,将积分表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区域是
（1） （2）
8．把下列积分化为极坐标形式,求积分的值
(1) (2)
(3)
9．利用极坐标计算下列各题
(1)其中是由圆周及坐标轴所围成的位于第一象限的闭
区域
(2),其中是由圆周及直线所
成的在第一象限内的闭区域
10．用适当的坐标计算下列各题
(1),其中是由直线及曲线所围成的闭区域
(2),其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域
(3), 其中是由 及在第一象限围成的区域
(4), D:
(5)
（6）计算
11．求位于圆周的内部及心形线的外部的区域的面积.
12．求由曲面与围成的立体的体积
第六部分 微分方程
1.求下列微分方程的通解：
(1); (2)
(3); (4)
2.求出下列微分方程满足所给初始条件的特解：
(1); (2)
(3); (4)
3.一曲线通过点（2,3）,它在两坐标轴之间的任意切线段均被切点所平分，求这曲线的方程。
4.求满足方程的可微函数。
5. 求下列齐次方程的通解：
(1); (2)

(3)
6. 求下列初值问题的解：
(1);
(2)
7.化下列方程为齐次方程,并求出通解:
(1); (2).
8.求下列微分方程的通解：
(1); (2)
(3); (4)
(5) (6)
9.求下列微分方程满足初值条件的特解：
(1); (2)
(3); (4), .
10.已知连续函数满足条件求.
11. 求下列微分方程的通解：
(1); (2);
(3); (4)
12. 设曲线L位于xoy平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴相交，其交点记
为A，如果点A和点O与点M始终等距，且L通过点，试求L的方程。
13.求一曲线的方程，该曲线通过原点，并且它在点处的切线斜率等于.
14判断下列那些方程为全微分方程，并求其通解。
（1）
（2）
（3）
（4）
15. 求下列微分方程的通解：
(1); (2)
(3); (4)
(5); (6)
16. 求下列微分方程的特解：
(1);
(2);
(3); (4)
17. 试求的经过点M（0,1）且在此点与直线相切的积分曲线。
18．设线性无关的函数都是方程的解，是任意常数，则该方程的通解是（ ）

19.求下列微分方程的通解：

;
(a为常数)

20求下列初值问题的解：

21.求下列微分方程的通解：

22.求下列初值问题的解：

23.试求的经过点，且在此点与直线相切的积分曲线。
24.设函数连续，且满足,求