高等数学练习题附答案.doc

第一章 自测题
一、填空题（每小题3分，共18分）
1. .
2. .
3.已知，其中为常数，则 ， .
4. 若在上连续，则 .
5. 曲线的水平渐近线是 ，铅直渐近线是 .
6. 曲线的斜渐近线方程为 .
二、单项选择题（每小题3分，共18分）
1. “对任意给定的，总存在整数，当时，恒有”是数列收敛于的 .
A. 充分条件但非必要条件 B. 必要条件但非充分条件
C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件
2. 设，则 .
A. B. C. D.
3. 下列各式中正确的是 .
A． B.
C. D.
4. 设时，与是等价无穷小，则正整数 .
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 曲线 .
A. 没有渐近线 B. 仅有水平渐近线
C. 仅有铅直渐近线 D. 既有水平渐近线又有铅直渐近线
6．下列函数在给定区间上无界的是 .
A. B.
C. D.
三、求下列极限（每小题5分，共35分）
1.

2．

3.

4．

5. 设函数，求.

6．

7．

四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）
1.

2．

五、讨论函数在处的连续性，若不连续，指出该间断点的类型.（本题6分）

六、设，求的间断点并判定类型. （本题7分）

七、设在上连续，且.证明：一定存在一点，使得.（本题6分）

第二章 自测题
一、填空题（每小题3分，共18分）
1.设在可导，且，则 .
2.设，则 . 3. .
4.设，其中可导，则 .
5.设，则 .
6.曲线在点的切线方程为 .
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1.下列函数中，在处可导的是 .
A. B. C. D.
2.设在处可导，且，则 .
A. B. C. D.
3.设函数在区间内有定义，若当时恒有，则是的 .
A.间断点 B.连续而不可导的点
C.可导的点，且 D.可导的点，且
4.设，则在处的导数 .
A. B. C. D.不存在
5.设函数可导，当自变量在处取得增量时，相应的函数增量的线性主部为，则 .
A. B. C. D.
三、解答题（共67分）
1.求下列函数的导数（每小题4分，共16分）
(1)

(2)

(3)

(4)

2.求下列函数的微分（每小题4分，共12分）
(1)

(2)

(3)

3.求下列函数的二阶导数（每小题5分，共10分）
（1）

（2）

4.设在可导，试求与.（本题6分）

5.设，求.（本题6分）

6.设函数由方程所确定，求.（本题6分）

7.设由参数方程，求.（本题6分）

8.求曲线在处的切线方程和法线方程.（本题5分）
第三章 自测题
一、 填空题（每小题3分，共15分）
1.若均为常数，则 .
2. .
3. .
4.曲线的凹区间 ，凸区间为 .
5.若，则在点 处取得极小值.
二、单项选择题（每小题3分，共12分）
1.设为方程的两根，在上连续，内可导，则在内 .
A.只有一个实根 B.至少有一个实根
C.没有实根 D.至少有两个实根
2.设在处连续，在的某去心邻域内可导，且时，，则是 .
A.极小值 B.极大值
C.为的驻点 D.不是的极值点
3.设具有二阶连续导数，且，，则 .
A.是的极大值 B.是的极小值
C．是曲线的拐点 D．不是的极值，不是曲线的拐点
4.设连续，且，则，使 .
A.在内单调增加. B.在内单调减少.
C.，有 D.，有.
三、解答题(共73分)
1.已知函数在上连续，内可导，且，
证明在内至少存在一点使得.（本题6分）

2.证明下列不等式（每小题9分，共18分）
（1）当时，.

（2）当时，.

3.求下列函数的极限（每小题8分，共24分）
（1）

（2）

（3）

4.求下列函数的极值（每小题6分，共12分）
（1）

（2）

5.求的极值点、单调区间、凹凸区间和拐点.（本题6分）

6.证明方程只有一个实根.（本题7分）

第一章 自测题
一、填空题（每小题3分，共18分）
1. 2. 3. ， 4.
5. 水平渐近线是，铅直渐近线是 6.
二、单项选择题（每小题3分，共18分）
1. C 2. D 3. D 4. A 5. D 6．C
三、求下列极限（每小题5分，共35分）
解：1..
2．
.
3. ，
又.
4．.
5.
.
6．，

，
所以，原式.
7．.
四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）
解：1.据题意设，则，令得
，令得，故．
2．左边，右边
故，则．
五、解：，故在
处不连续，所以为得第一类（可去）间断点．
六、解：，而
，故，都是
的间断点，，故为的第一类（可去）间断点，
均为的第二类间断点．
七、证明：设，显然在上连续，
而，，
，
故由零点定理知：一定存在一点，使，即．
第二章 自测题
一、填空题（每小题3分，共18分）
1. 2. 3. 4.
5. 6.或
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1. D 2. A 3. C 4. D 5. D
三、解答题（共67分）
解：1.(1) .
(2) .
(3)
.
(4) 两边取对数得，两边求导数得
，.
2.求下列函数的微分（每小题4分，共12分）
(1) .
(2).
(3) .
3.求下列函数的二阶导数（每小题5分，共10分）
（1），
.
（2），.
4.首先 在处连续，故，故，
其次，，
，
由于在 处可导，故，故，.
5.，，
故，由于在，时均可导，故.
6.方程可变形为 ，两边求微分得
，故.
7.，
.
8.，故.当时，.
故曲线在处的切线方程为，即，
法线方程为，即.

第三章 自测题
一、 填空题（每小题3分，共15分）
1． 2． 3． 4.， 5.
二、单项选择题（每小题3分，共12分）
1．B 2．A
3．B，提示：由题意得，，当时，；即当时，，当时，，从而在取得极小值
4. C，提示：由定义，由极限的保号性得，当时，，即
三、解答题(共73分)
证明：1.令，则在上连续，内可导，且；由罗尔定理知，至少存在一点，使得，
故，即．
2.（1）令，则在区间上满足拉格朗日中值定理的条件．由拉格朗日中值定理得，至少存在一点，使得即，又，得到，从而．
（2）令，则，从而当时单调递增，即，故；令，则，即当时单调递减，即，故；从而当时，．
解：3.（1）.
（2）.
（3）
.
4.⑴ 函数的定义域为；，令得驻点，不可导点；当时，；当时，；当时，；当时，；故为极大值点，极大值为；为极小值点，极小值为.
⑵ ，令得驻点，为不可导点.
当时，；当时，；当时，；故为极大值点，极大值为；为极小值点，极小值为.
5.定义域为；，，令得驻点，令得；列表得：

-
-

+
+
+

-
+
+
+

-

单减 凸
单减 凹
极小值点
单增 凹
拐点
单增 凸
6．证明：令，显然，；令得唯一驻点，且；故在上当时取得极小值；当时，，所以方程只有一个实根．