高等数学练习题附答案.doc

第一章 自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1. .2. .3.已知，其中为常数，则 ， .4. 若在上连续，则 .5. 曲线的水平渐近线是 ，铅直渐近线是 .6. 曲线的斜渐近线方程为 . 二、单项选择题（每小题3分，共18分）1. “对任意给定的，总存在整数，当时，恒有”是数列收敛于的 .A. 充分条件但非必要条件 B. 必要条件但非充分条件C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件2. 设，则 .A. B. C. D. 3. 下列各式中正确的是 .A B. C. D. 4. 设时，与是等价无穷小，则正整数 .A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 曲线 . A. 没有渐近线 B. 仅有水平渐近线C. 仅有铅直渐近线 D. 既有水平渐近线又有铅直渐近线6下列函数在给定区间上无界的是 . A. B. C. D. 三、求下列极限（每小题5分，共35分）1.23.45. 设函数，求.67四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）1.2五、讨论函数在处的连续性，若不连续，指出该间断点的类型.（本题6分）六、设，求的间断点并判定类型. （本题7分）七、设在上连续，且.证明：一定存在一点，使得.（本题6分）第二章 自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.设在可导，且，则 .2.设，则 . 3. .4.设，其中可导，则 .5.设，则 .6.曲线在点的切线方程为 .二、单项选择题（每小题3分，共15分）1.下列函数中，在处可导的是 .A. B. C. D.2.设在处可导，且，则 .A. B. C. D.3.设函数在区间内有定义，若当时恒有，则是的 .A.间断点 B.连续而不可导的点C.可导的点，且 D.可导的点，且4.设，则在处的导数 .A. B. C. D.不存在5.设函数可导，当自变量在处取得增量时，相应的函数增量的线性主部为，则 .A. B. C. D.三、解答题（共67分）1.求下列函数的导数（每小题4分，共16分）(1)(2)(3) (4)2.求下列函数的微分（每小题4分，共12分）(1)(2)(3)3.求下列函数的二阶导数（每小题5分，共10分）（1）（2）4.设在可导，试求与.（本题6分）5.设，求.（本题6分）6.设函数由方程所确定，求.（本题6分）7.设由参数方程，求.（本题6分）8.求曲线在处的切线方程和法线方程.（本题5分）第三章 自测题一、 填空题（每小题3分，共15分）1.若均为常数，则 .2. .3. .4.曲线的凹区间 ，凸区间为 .5.若，则在点 处取得极小值.二、单项选择题（每小题3分，共12分）1.设为方程的两根，在上连续，内可导，则在内 .A.只有一个实根 B.至少有一个实根C.没有实根 D.至少有两个实根2.设在处连续，在的某去心邻域内可导，且时，则是 .A.极小值 B.极大值C.为的驻点 D.不是的极值点3.设具有二阶连续导数，且，则 .A.是的极大值 B.是的极小值C是曲线的拐点 D不是的极值，不是曲线的拐点4.设连续，且，则，使 .A.在内单调增加. B.在内单调减少.C.，有 D.，有.三、解答题(共73分)1.已知函数在上连续，内可导，且，证明在内至少存在一点使得.（本题6分）2.证明下列不等式（每小题9分，共18分）（1）当时，.（2）当时，.3.求下列函数的极限（每小题8分，共24分）（1）（2）（3）4.求下列函数的极值（每小题6分，共12分）（1）（2）5.求的极值点、单调区间、凹凸区间和拐点.（本题6分）6.证明方程只有一个实根.（本题7分）第一章 自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1. 2. 3. ， 4. 5. 水平渐近线是，铅直渐近线是 6. 二、单项选择题（每小题3分，共18分）1. C 2. D 3. D 4. A 5. D 6C三、求下列极限（每小题5分，共35分）解：1.2.3. ，又.4.5.6，所以，原式.7.四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）解：1.据题意设，则，令得，令得，故2左边，右边故，则五、解：，故在处不连续，所以为得第一类（可去）间断点六、解：，而，故，都是的间断点，故为的第一类（可去）间断点，均为的第二类间断点七、证明：设，显然在上连续，而， ，故由零点定理知：一定存在一点，使，即第二章 自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1. 2. 3. 4. 5. 6.或 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1. D 2. A 3. C 4. D 5. D三、解答题（共67分）解：1.(1) .(2) .(3) .(4) 两边取对数得，两边求导数得，.2.求下列函数的微分（每小题4分，共12分）(1) .(2).(3) .3.求下列函数的二阶导数（每小题5分，共10分）（1）， . （2），.4.首先 在处连续，故，故，其次，由于在 处可导，故，故，.5.，故，由于在，时均可导，故.6.方程可变形为 ，两边求微分得，故.7.，.8.，故.当时，.故曲线在处的切线方程为，即，法线方程为，即. 第三章 自测题一、 填空题（每小题3分，共15分）1 2 3 4.， 5.二、单项选择题（每小题3分，共12分）1B 2A 3B，提示：由题意得，当时，；即当时，当时，从而在取得极小值4. C，提示：由定义，由极限的保号性得，当时，即三、解答题(共73分)证明：1.令，则在上连续，内可导，且；由罗尔定理知，至少存在一点，使得，故，即2.（1）令，则在区间上满足拉格朗日中值定理的条件由拉格朗日中值定理得，至少存在一点，使得即，又，得到，从而（2）令，则，从而当时单调递增，即，故；令，则，即当时单调递减，即，故；从而当时，解：3.（1）.（2）.（3）.4. 函数的定义域为；，令得驻点，不可导点；当时，；当时，；当时，；当时，；故为极大值点，极大值为；为极小值点，极小值为. ，令得驻点，为不可导点.当时，；当时，；当时，；故为极大值点，极大值为；为极小值点，极小值为.5.定义域为；，令得驻点，令得；列表得：-+-+-单减 凸单减 凹极小值点单增 凹拐点单增 凸6证明：令，显然，；令得唯一驻点，且；故在上当时取得极小值；当时，所以方程只有一个实根