高等数学练习题(附答案).doc

《高等数学》

专业 年级 学号 姓名

一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）
（ ）1. 收敛的数列必有界.
（ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量.
（ ）3. 闭区间上的间断函数必无界.
（ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数.
（ ）5. 若在点可导，则也在点可导.
（ ）6. 若连续函数在点不可导，则曲线在点没有切线.
（ ）7. 若在[]上可积，则在[]上连续.
（ ）8. 若在（）处的两个一阶偏导数存在，则函数在（）处可微.
（ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.
（ ）10. 设偶函数在区间内具有二阶导数，且 , 则为的一个极小值.
二、填空题.（每题2分，共20分）
1. 设，则 .
2. 若，则 .
3. 设单调可微函数的反函数为, 则 .
4. 设, 则 .
5. 曲线在点切线的斜率为 .
6. 设为可导函数,,则 .
7. 若则 .
8. 在[0,4]上的最大值为 .
9. 广义积分 .
10. 设D为圆形区域 .
三、计算题（每题5分，共40分）
1. 计算.
2. 求在（0，+）内的导数.
3. 求不定积分.
4. 计算定积分.
5. 求函数的极值.
6. 设平面区域D是由围成，计算.
7. 计算由曲线围成的平面图形在第一象限的面积.
8. 求微分方程的通解.
四、证明题（每题10分，共20分）
1. 证明： .
2. 设在闭区间[上连续，且

证明：方程在区间内有且仅有一个实根.

《高等数学》参考答案

一、判断题. 将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分）
1.√ ；2.× ；3.×； 4.× ；5.×； 6.× ；7.× ；8.× ；9.√ ；10.√.

二、 填空题.（每题2分，共20分）
1.； 2. 1； 3. 1/2； 4.；
5. 2/3 ； 6. 1 ； 7. ； 8. 8 ； 9. 1/2 ； 10. 0.
三、计算题（每题5分，共40分）
1.解：因为
且 ，=0
由迫敛性定理知： =0
2.解：先求对数

3.解：原式=
=
=2
4.解：原式=
=
=
=
=4/5
5.解：
故 或
当 时，，
且A=
（0，0）为极大值点 且
当 时， ，
无法判断
6.解：D=
=
=
=
=
=
7.解：令，；则，

8.解：令 ，知
由微分公式知：

四.证明题（每题10分，共20分）
1.解：设
=0

令 即：原式成立。
2.解： 上连续
且 <0,>0
故方程在上至少有一个实根.
又

即 在区间上单调递增
在区间上有且仅有一个实根.

《高等数学》
专业 学号 姓名

一、判断题（对的打√，错的打×；每题分，共分）
1.在点处有定义是在点处连续的必要条件.
2. 若在点不可导，则曲线在处一定没有切线.
3. 若在上可积，在上不可积，则在上必不可积.
4. 方程和在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点.
5. 设是一阶线性非齐次微分方程的一个特解，是其所对应的齐次方程的通解，则
为一阶线性微分方程的通解.
二、填空题（每题分，共分）
1. 设则 .
2. 设，当 时，在点连续.
3. 设，则 .
4. 已知在处可导，且，则　　 .
5. 若，并且，则　　　　　　　.
6. 若在点左连续，且 ，
则与大小比较为　　　　
7. 若，则　　　　；　　　　　　.
8. 设，则　　　　　　.
9. 设，则　　　　　　　　　.
10. 累次积分化为极坐标下的累次积分为　　 　.
三、计算题（前题每题分，后两题每题分，共分）
1. ; 2. 设　，求; 3. ;
4. ; 5. 设, 求　.
6. 求由方程所确定的函数的微分.
7. 设平面区域是由围成，计算.
8. 求方程在初始条件下的特解.
四、（分）
已知在处有极值，试确定系数、，并求出所有的极大值与极小值.

五、应用题（每题分，共分）
1. 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比. 已知当速度为时，燃料费为每小时元，而其它与速度无关的费用为每小时元. 问轮船的速度为多少时, 每航行所消耗的费用最小？
2. 过点向曲线作切线，求：（1）切线与曲线所围成图形的面积；（2）图形绕
轴旋转所得旋转体的体积.

六、证明题（分）
设函数在上的二阶导数存在，且, . 证明在上单调增加.

高等数学参考答案

一、判断题 1.√； 2.×； 3.√ ； 4.× ； 5.√.

二、填空题
1. 36 ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. ； 6.；
7. ； 8. ； 9. ； 10..
三、计算题
1. 原式

2.

3．原式=

4．设 则
原式=

5．

6．两边同时微分得：

即
故
（本题求出导数后，用解出结果也可）
7．

8．原方程可化为
通解为

代入通解得
故所求特解为：
四、解：
因为在处有极值，所以必为驻点
故
又
解得：
于是

由 得 ，从而
， 在处有极小值
，在处有极大值
五、1.解：设船速为，依题意每航行的耗费为

又 时， 故得， 所以有
，
令 ， 得驻点
由极值第一充分条件检验得是极小值点.由于在上该函数处处可导，且只有唯一的极值点，当它为极小值点时必为最小值点，所以求得船速为时，每航行的耗费最少，其值为（元）

2.解：（1）设切线与抛物线交点为，则切线的斜率为，
又因为上的切线斜率满足，在上即有
所以，即
又因为满足，解方程组
得
所以切线方程为
则所围成图形的面积为：

（2）图形绕轴旋转所得旋转体的体积为：

六、证：
在上，对应用拉格朗日中值定理，则存在一点，使得

代入上式得
由假设知为增函数，又，则,
于是,从而，故在内单调增加.

《高等数学》试卷
专业 学号 姓名
一、填空题（每小题1分，共10分）
1．函数的定义域为_______________。
2．函数 上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。
3．设在可导且，则＝ _______。
4．设曲线过，且其上任意点的切线斜率为，则该曲线的方程是_________。
5．＝_____________。
６．＝___________。
7．设，则＝____________。
8．累次积分化为极坐标下的累次积分为________。
9．微分方程的阶数为____________。
10．设级数 发散，则级数 _______________。
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（ ）内，（1～10每小题1分，11～17每小题2分，共24分）
1．设函数 ，则＝ （ ）
① ② ③ ④ｘ
2． 时， 是 （ ）
①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量
3．下列说法正确的是 （ ）
①若在 连续， 则在可导
②若在不可导，则在不连续
③若在 不可微，则在极限不存在
④若在 不连续，则在不可导
4．若在内恒有，则在内曲线弧为 （ ）.
①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧
5．设，则 （ ）
① 为常数 ②为常数
③ ④ｘ
6． ＝ （ ）
① ０ ② １ ③ ２ ④ ３
7．方程在空间表示的图形是 （ ）
①平行于面的平面 ②平行于轴的平面
③过轴的平面 ④直线
8．设，则 （ ）
① ② ③ ④ 9．设，且 ＝ｐ，则级数 （ ）
①在时收敛，时发散 ②在时收敛，时发散
③在时收敛，时发散 ④在时收敛，时发散
10．方程是 （ ）
①一阶线性非齐次微分方程 ②齐次微分方程
③可分离变量的微分方程 ④二阶微分方程
11．下列函数中为偶函数的是 （ ）
① ② ③ ④
12．设在可导，，则至少有一点使 （ ）
① ②
③ ④
13．设在 的左右导数存在且相等是在 可导的 （ ）
①充分必要的条件 ②必要非充分的条件
③必要且充分的条件 ④既非必要又非充分的条件
14．设 ，则，则 （ ）
① ② ③ ④
15．过点（１，２）且切线斜率为 的曲线方程为ｙ＝ （ ）
①ｘ4 ②ｘ4＋ｃ ③ｘ4＋１ ④
16．设幂级数 在（）收敛， 则 在 （ ）
①绝对收敛 ②条件收敛 ③发散 ④收敛性与有关
17．设Ｄ域由所围成，则 （ ）
①； ②；
③； ④.
三、计算题（1～3每小题5分，4～9每小题6分，共51分）
１．设 求 .

２．求 .

３．计算 .

４．设，求 .

５．求过点 Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直线方程.

６．设 ，求 ｄｕ .

７．计算.

８．求微分方程 的 通解 .
９．将 展成的幂级数.
四、应用和证明题（共15分）
１．（８分）设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度
（ 比例常数为 ）求速度与时间的关系。
２．（７分）借助于函数的单调性证明：当时， 。

高等数学参考答案

一、填空题（每小题1分，共10分）
１．（－１，１） ２．２ｘ－ｙ＋１＝０ ３．５Ａ ４．ｙ＝ｘ2＋１
５． ６．１ ７．ｙｃｏｓ（ｘｙ）
８． ９．三阶 １０．发散

二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（ ）内，1～10每小题1分，11～17每小题2分，共24分）
1．③ 2．③ 3．④ 4．④ 5．② 6．② 7．② 8．⑤ 9．④ 10．③
11．④ 12．④ 13．⑤ 14．③ 15．③ 16．① 17．②

三、计算题（1～3每小题5分，4～9每小题6分，共51分）
１． 解：

２．解： 原式＝
＝＝８
３．解： 原式＝
＝-
＝
＝
４．解：因为

５．解：所求直线的方向数为｛１，０，－３｝
所求直线方程为
６．解：

７．解：原积分＝
＝
８．解：两边同除以 得
两边积分得
亦即所求通解为
９．解：分解，得 ＝

＝ （ 且 ）
＝ （ ）
四、应用和证明题（共１５分）
１．解：设速度为ｕ，则ｕ满足
解方程得
由ｕ│t=0＝０定出ｃ，得
２．证：令 则在区间［１，＋∞］连续
而且当时，
因此在［１，＋∞］单调增加
从而当时，＝０
即当时，
《高等数学》

专业 学号 姓名

一、判断正误（每题2分，共20分）
1. 两个无穷大量之和必定是无穷大量.
2. 初等函数在其定义域内必定为连续函数.
3. 在点连续，则在点必定可导.
4. 若点为的极值点，则必有.
5. 初等函数在其定义域区间内必定存在原函数.
6. 方程表示一个圆.
7. 若在点可微，则在点连续.
8. 是二阶微分方程.
9. .
10. 若为连续函数，则必定可导.

二、填空题（每题4分，共20分）
. .
. .
. 设，且，则.
. ，则.
. .

三、计算题与证明题（共计60分）
.，（5分）；
，（5分）。
. 求函数的导数。（10分）
. 若在上.证明：在区间和上单调增加.（10分）
. 对物体长度进行了次测量，得到个数。现在要确定一个量，使之与测得的数值之差的平方和最小.应该是多少？（10分）
. 计算.（5分）
6. 由曲线与两直线所围成的平面图形的面积是多少.（5分）
. 求微分方程满足条件的特解。（5分）
. 计算二重积分是由圆及围成的区域.（5分）
高等数学参考答案

一、判断正误（每题2分，共20分）
1-5．╳ ， ╳ ， ╳ ， ╳ ， √. 6-10. ╳ ， √ ， ╳， ╳ ， √ .

二、填空题（每题4分，共20分）
； ； ； ； .
三、计算题与证明题。（共计60分）
. =
=
==
=
2. 令 则

同理

3.
=
令 则

则 当时
当时
故命题成立。

4.令

则 令

5. ==
=
6.
7. 方程变形为
而 =
初始条件：

8、

《高等数学》

专业 学号 姓名

一、判断（每小题 2 分，共 20 分）
1. f(x)在点x处有定义是f(x)在点x处连续的必要条件. ( )
2. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量. ( )
3. y=f(x)在x处可导,则y=|f(x)|在x处也可导. ( )
4. 初等函数在其定义域内必连续. ( )
5. 可导函数f(x)的极值点一定是f(x) 的驻点. ( )
6. 对任意常数k,有=k. ( )
7. 若f(x)在[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上有界. ( )
8. 若f(x,y)在区域D上连续且区域D关于y轴对称,则当f(x,y) 为关于x的奇函数时,=0. ( )
9. =-2x-e的通解中含有两个独立任意常数. ( )
10. 若z=f(x,y)在P的两个偏导数都存在,则z=f(x,y)在P连续. ( )

二、填空（每空 2 分，共20 分）
1. [xsin+sinx+()]= .
2. 函数f(x)=x在[0,3]上满足罗尔定理的条件,定理中的数值= .
3. 设f(x)= 当a= 时,f(x)在x=0处连续.
4. 设z=e ,则dz| (0,0)= .
5. 函数f(x)=e-x-1在 内单调增加;在 内单调减少.
6. 函数满足条件 时, 这函数没有极值.
7.dx = 其中a,b为常数.
8. (x)=1且,则= .
9.若I=dxdy交换积分次序后得 .

三、计算（每小题 5 分,共 40 分）
1. 求(-) ； 2. +=2,求dy；
3. 求； 4. 求 ； 5. 求；
6. 设z=ln(x+y) 求,；
7. 计算 I=.其中D是由圆x+y=4围成的区域；
8. 求微分方程-ydx+(x+y)dy=0的通解.

四、应用题(每题7分,共14分)
1. 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成的长方形的长,宽各为多少才能使这间小屋面积最大.
2. 求由y=,x=1,x=2与x轴所围成的图形的面积及该图绕x轴旋转一周的旋转体的体积.

五、证明(本题6分)
证明:当x0时,不等式1+成立.

高等数学参考答案

一、判断正误（每题2分，共20分）
1 √ ； 2 √ ； 3 ╳ ； 4 ╳ ； 5 √ ； 6╳ ； 7 √ ； 8 √ ； 9 ╳ ； 10 ╳.

二、填空题（每题4分，共20分）
1. ； 2. 2 ； 3. 1 ； 4. ； 5.， ； 6. ；
7.0； 8. ； 9. .

三、计算题与证明题（共计60分）
.

2. 方程两边同时对求导得：
则

3.

4、 令
当 时；当时
原式

5.

6.

7.令 ，

8.解：

原方程的通解为：
四、（每题7分，共14分）
1.解：设长方形的长和宽分别为和，面积为，则即

，得

当长M；宽M时，面积最大。

五、（本题6分）
令

即

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