全国通用版高中数学第六章平面向量及其应用笔记重点大全.pdf

(名师选题名师选题)全国通用版高中数学第六章平面向量及其应用笔记重点大全全国通用版高中数学第六章平面向量及其应用笔记重点大全 单选题 1、对任意量给非零向量，定义新运算：=|sin,|已知非零向量，满足|3|，且向量，的夹角 (4,2)，若4()和4()都是整数，则 的值可能是（）A2B3C4D174 答案：B 分析：由 =|sin|=4(Z)结合|3|0可得0 413，从而求得,可得|=4sin，确定34sin 3|0，所以0|13 因为 (4,2)，所以22 sin 1，所以0|sin 13，即0 413，解得0 43因为 Z，所以=1，所以 =|sin|=14，则|=4sin，则|=14sin13，得34 sin 1，故 =|sin|=4sin2 (94,4),符合该条件的是 3，故选：B 2、已知向量 =(1,2)，=(3,0)，若()，则实数=（）A0B35C1D3 答案：B 分析：根据平面向量的坐标运算，结合两向量垂直，数量积等于零，求得的值.因为向量 =(1,2)，=(3,0)，且()，所以()=0，即 2 =0，所以有5 3=0，解得=35，故选：B.小提示：方法点睛：该题考查的是有关向量的问题，解题方法如下：（1）根据向量垂直向量数量积等于零，建立等式；（2）根据向量数量积运算法则进行化简；（3）利用向量数量积坐标公式求得结果.3、某人先向东走 3km，位移记为，接着再向北走 3km，位移记为，则+表示（）A向东南走32kmB向东北走32km C向东南走33kmD向东北走33km 答案：B 分析：由向量的加法进行求解.由题意和向量的加法，得+表示先向东走 3km，再向北走 3km，即向东北走32km.故选：B.4、在 中，点D在边AB上，=2记=，=，则=（）A3 2 B2 +3 C3 +2 D2 +3 答案：B 分析：根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出 因为点D在边AB上，=2，所以=2，即=2()，所以=3 2=3 2 =2 +3 故选：B 5、在 中，角,的对边分别是,，若=45,=60,=23，则 等于（）A624B6+24C6 2D6+2 答案：D 分析：先求出，再由正弦定理求解即可.解：在 中，=180 45 60=75 由正弦定理可知sin=sin，所 以sin75=23sin60，故=23sin75sin60=4sin75=4sin(30+45)=4 6+24=6+2 故选：D.6、下列命题：（1）零向量没有方向；（2）单位向量都相等；（3）向量就是有向线段；（4）两向量相等，若起点相同，终点也相同；（5）若四边形为平行四边形，则=,=其中正确命题的个数是（）A1B2 C3D4 答案：A 分析：零向量的方向是任意的可判断（1）；单位向量方向不一定相同可判断（2）；有向线段只是向量的一种表示形式可判断（3）；根据向量的二要素可判断（4）；由相等向量的定义可判断（5），进而可得正确答案.对于（1）：零向量不是没有方向，而是方向是任意的，故（1）不正确 对于（2）：单位向量只是模均为单位1，而方向不相同，所以单位向量不一定都相等，故（2）不正确 对于（3）：有向线段只是向量的一种表示形式，向量是可以自由移动，有向线段不可以自由移动，不能把两者等同起来，故（3）不正确，对于（4）：两向量相等，若起点相同，终点也相同；故（4）正确；对于（5）：如图：若四边形为平行四边形，则=，且方向相同，=但方向相反，所以与不相等，故（5）不正确；所以正确的有一个，故选：A.7、已知向量,满足|=1,，则向量 2在向量 方向上的投影向量为（）A B1 C-1D 答案：A 分析：根据给定条件，求出(2)，再借助投影向量的意义计算作答.因|=1,，则(2)=2 2 =1，令向量 2与向量 的夹角为，于是得|2|cos|=(2)|=，所以向量 2在向量 方向上的投影向量为.故选：A 8、向量，满足 =(1,3)，|=1，|+|=3，则在 方向上的投影为（）A-1B12C12D1 答案：B 解析：根据题条件，先求出 ，再由向量数量积的几何意义，即可求出结果.因为向量，满足 =(1,3)，|=1，|+|=3，所以|2+2 +|2=3，即4+2 +1=3，则 =1，所以在 方向上的投影为|cos=|=12.故选：B.9、在 中，若+2=0，则 的形状一定是（）A等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形 答案：B 分析：先利用数量积运算化简得到cos=2，再利用余弦定理化简得解.因为+2=0，所以cos()+2=0，所以cos=2，所以 2+222=2，所以2+2=2，所以三角形是直角三角形.故选：B 10、在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45，a=6，b=32，则B的大小为（）A30B60 C30或 150D60或 120 答案：A 分析：先由正弦定理求出 sinB=12，可得B=30或B=150，再由ab，得AB，从而可求出B=30.由正弦定理得sin=sin，即32sin=6sin45，解得 sinB=12，又B为三角形内角，所以B=30或B=150，又因为ab，所以AB，即B=30.故选：A.11、已知，是不共线的向量，=+，=3 2，=2 3，若,三点共线，则实数，满足（）A=5B=+5C=1D=+1 答案：B 解析：根据向量的线性运算方法，分别求得=(3 )(2+)，=；再由/，得到3 =(2+)，即可求解.由=+，=3 2，=2 3，可得=(3 )(2+)，=；若,三点共线，则/，可得3 =(2+)，化简得=+5.故选：B.12、如图，四边形ABCD是平行四边形，则12+12=（）ABCD 答案：D 分析：由平面向量的加减法法则进行计算.由题意得=+，=，所以12+12=12(+)=.故选：D.填空题 13、已知向量 +=0，|=1，|=|=2，+=_ 答案：92 分析：由已知可得(+)2=0，展开化简后可得结果.由已知可得(+)2=2+2+2+2(+)=9+2(+)=0，因此，+=92.所以答案是：92.14、若=，=，则平分线上的向量可以表示为_ 答案：(|+|)，分析：根据题意，以|，|为邻边作平行四边形则四边形为菱形，根据平面向量加法的平行四边形法则得=|+|=|+|，由，共线，最后根据向量共线定理得=，从而得出答案.解：=，=，|=|，|=|，以|，|为邻边作平行四边形则为菱形，平分，根据向量加法的平行四边形法则可得：=|+|=|+|，共线，由共线定理可得存在唯一的实数使得：=(|+|).所以答案是：(|+|)，.小提示：本题考查平面向量加法的平行四边形法则和向量共线定理，解题的关键是利用菱形的对角线平分对角这一重要性质.15、给出下列命题：零向量没有确定的方向；在正方体ABCD-A1B1C1D1中，=11；若向量 与向量的模相等，则，的方向相同或相反；在四边形ABCD中，必有+=.其中正确命题的序号是_.答案：分析：根据零向量、相等向量、向量和及向量模等概念逐一判断.正确；正确，因为与11的大小和方向均相同；|=|，不能确定其方向，所以 与的方向不能确定；只有当四边形ABCD是平行四边形时，才有+=.综上可知，正确命题为.故答案为:16、若点A(2，0)，B(3，4)，C(2，a)共线，则a_.答案：165 分析：由向量平行的坐标表示计算即可.因为A(2，0)，B(3，4)，C(2，a),所以=(5,4),=(4,),因为A，B，C三点共线，所以/，故 5a160，所以a165.所以答案是：165.17、已知=(,2)，=(1,2)，=(1 ,1)，且相异三点、共线，则实数=_.答案：14 分析：本题首先可根据向量的运算法则得出、，然后通过题意得出/，最后通过向量平行的相关性质即可得出结果.=(1 ,2 2)，=(1 2,3)，因为相异三点、共线，所以/，则3 (1 )(2 2)(1 2)=0，解得=14或=1，当=1时，=，、重合，舍去，故=14，所以答案是：14.小提示：关键点点睛：本题考查通过三点共线求参数，主要考查向量平行的相关性质，若 =(1,1)，=(2,2)，/，则12 21=0，求出的值后要注意检验，考查计算能力，是中档题.解答题 18、中，内角、的对边分别为、，且cos2 cos2=2sin(sin sin)(1)若:=1:3，试判断 的形状，并说明理由；(2)若 为锐角三角形，其外接圆半径为3，求 周长的取值范围 答案：(1)直角三角形，理由见解析(2)(3+33,9 分析：（1）利用二倍角公式、正弦定理以及余弦定理可求得cos的值，结合角的取值范围可求得角的值，再利用三角形的内角和定理以及已知条件可求得角、的值，即可判断出 的形状；（2）利用正弦定理可得出sin=sin=23，利用三角恒等变换可得出+=6sin(+6)，求出角的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得+的取值范围.（1）解：因为2sin(sin sin)=cos2 cos2=(1 2sin2)(1 2sin2)，即sin2+sin2 sin2=sinsin，由正弦定理可得2+2 2=，由余弦定理可得cos=2+222=12，(0,)，则=3，由已知=3+=23，可得=6，=2，此时，为直角三角形.（2）解：由正弦定理可得sin=sin=23，则+=23sin+23sin=23sin+23sin(+3)=23sin+23(12sin+32cos)=33sin+3cos=6sin(+6)，因为 为锐角三角形，则0 2，可得6 2，所以，3 +623，则32 sin(+6)1，且=23sin3=3，因此，+=3+6sin(+6)(3+33,9.19、如图，在梯形中，=25.（1）用，表示，；（2）若=2，且=9，求的大小.答案：（1）=，=+25，=35；（2）3.分析：（1）利用向量的线性运算直接求解即可；（2）根据=()(+25)，结合向量数量积的定义和运算律可构造方程求得cos，由此求得.（1）=，=+=+25，=25()=35；（2）=25，=2，=5.=()(+25)=2+35+252，且=9，22+35 2 5 cos+25 52=9，解得：cos=12，(0,)，=3.20、在 中，A，B为锐角，C为钝角，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且=34(2+2 2)(1)求角B；(2)求的取值范围 答案：(1)=3；(2)(2,+)分析：（1）利用B角的余弦定理代入=34(2+2 2)得到sin(3)=0，结合B的范围求出答案；（2）利用正弦定理边化角得到12+321tan，接着根据题意求出A角的范围，继而求出答案（1）因为2+2 2=2cos，所以=34(2+2 2)=34 2cos=32cos=12sin，从而sin 3cos=0，即sin(3)=0，因为 (0,)，所以 3(3,23)所以 3=0，即=3；（2）因为sin=sin，sin=sin(+)=sincos+sincos=12sin+32cos，所以=sinsin=12+32cossin=12+321tan，因为=3，C是钝角，B为锐角，所以0 22 ，即0 2223 ，解得0 6，所以0 tan 3，从而=12+321tan 2，因此的取值范围是(2,+)