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人教版2024高中数学必修一第五章三角函数(二十四)

1

单选题
1、若fx=cosx-π3在区间-a,a上单调递增，则实数a的最大值为（    ）
A．π3B．π2C．2π3D．π
答案：A
分析：先求出函数的增区间，进而建立不等式组解得答案即可.
易知将函数y=cosx的图象向右平移π3得到函数fx=cosx-π3的图象，则函数fx=cosx-π3的增区间为-23π+2kπ,π3+2kπk∈Z，而函数又在-a,a上单调递增，所以-a≥-23πa≤π3⇒a≤π3，于是0<a≤π3，即a的最大值为π3.
故选：A.
2、已知函数f(x)=2sinωx-π6（ω>12，x∈R），若f(x)的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π,4π)，则ω的取值范围是（    ）
A．12,23∪89,76B．12,1724∪1718,2924
C．59,23∪89,1112D．1118,1724∪1718,2324
答案：C
分析：由已知得12×2πω≥4π-3π，kπ+π2≤3ωπ-π6，且kπ+π+π2≥4ωπ-π6，解之讨论k，可得选项.
因为f(x)的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π,4π)，所以12×2πω≥4π-3π，所以12<ω≤1，故排除A，B；
又kπ+π2≤3ωπ-π6，且kπ+π+π2≥4ωπ-π6，解得3k+29≤ω≤3k+512,k∈Z，
当k=0时，29≤ω≤512,不满足12<ω≤1，
当k=1时，59≤ω≤23,符合题意，
当k=2时，89≤ω≤1112,符合题意，
当k=3时，119≤ω≤149,不满足12<ω≤1，故C正确，D不正确，
故选：C.
小提示：关键点睛：本题考查根据正弦型函数的对称性求得参数的范围，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，解之讨论可得选项.
3、已知角α的终边经过点P-3,4，则sinα-cosα-11+tanα的值为（    ）
A．-65B．1C．2D．3
答案：A
分析：由三角函数的定义可得sinα=45，cosα=-35，tanα=-43，将其代入即可求解.
由-32+42=5，得sinα=45，cosα=-35，tanα=-43，代入原式得=45--35-11+-43=-65．
故选：A
4、sin1860°等于（    ）
A．12B．-12C．32D．-32
答案：C
分析：用诱导公式先化简后求值.
sin1860°=sin5×360°+60°=sin60°=32,
故选: C
5、海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：m）记录表
时刻
0：00
3：00
6：00
9：00
12：00
15：00
18：00
21：00
24：00
水深值
5.0
7.0
5.0
3.0
5.0
7.0
5.0
3.0
5.0
已知港口的水的深度随时间变化符合函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B，现有一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有2m的安全间隙（船底与海底的距离），该船计划在中午12点之后按规定驶入港口，并开始卸货，卸货时，其吃水深度以每小时0．25m的速度减小，4小时卸完，则其在港口最多能停放（    ）A．4小时B．5小时C．6小时D．7小时
答案：B
分析：由已知表格中数据求得f(x)=2sinπ6x+5,根据驶入港口f(x)大于等于6,离开时f(x)大于等于5，分析即可得答案.
由表格中的数据可知，f(x)max=7,f(x)min=3，则A=f(x)max-f(x)min2=7-32=2,B=f(x)max+f(x)min2=7+32=5.
由T=12，∴ω=2πT=π6，故f(x)=2sin(π6x+φ)+5，
当x=3时，f(x)=7，则2sin(π6x+φ)+5=7∴2cosφ=2，即cosφ=1，得φ=0.
∴f(x)=2sinπ6x+5.
由f(x)=2sinπ6x+5=6，得sinπ6x=12，
即π6x=π6+2kπ,k∈Z或π6x=5π6+2kπ,k∈Z
∴x=12k+1,k∈Z或x=12k+5,k∈Z.
又该船计划在中午12点之后按规定驶入港口，
∴k=1时，x=13，即该船应在13点入港并开始卸货，
卸货时，其吃水深度以每小时0．25m的速度减小，4小时卸完，卸完后的吃水深度为4-0.25×4=3，
所以该货船需要的安全水深为3+2=5米，由f(x)=2sinπ6x+5=5，得sinπ6x=0，
即π6x=0+2kπ,k∈Z或π6x=π+2kπ,k∈Z
∴x=12k,k∈Z或x=12k+6,k∈Z.
所以可以停留到18点，此时水深为5米，货船需要离港，则其在港口最多能停放5小时.
故选：B
6、在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化，太阳直射点回归运动的一个周期就是一个回归年.某科研小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）.设第x天时太阳直射点的纬度值为y，该科研小组通过对数据的整理和分析.得到y与x近似满足y=23.4392911sin0.01720279x.则每1200年中，要使这1200年与1200个回归年所含的天数最为接近.应设定闰年的个数为（    ）（精确到1）参考数据π0.01720279≈182.6211
A．290B．291C．292D．293
答案：B
分析：设闰年个数为x，根据闰年个数对应天数一致的原则建立关系式366x+3651200-x=365.2422×1200，求解x即可.
解：T=2πω=2π0.01720279=2×182.6211=365.2422，
所以一个回归年对应的天数为365.2422天
假设1200年中，设定闰年的个数为x，则平年有1200-x个，
所以366x+3651200-x=365.2422×1200 
解得：x=0.2422×1200=290.64.
故选：B.
7、若sin(π-α)+cos(-α)=15，α∈(0,π)，则tan32π-α的值为（    ）
A．-43或-34B．-43C．-34D．34
答案：C
分析：根据同角三角函数的基本关系及诱导公式求解.
由sin(π-α)+cos(-α)=15可得：sinα+cosα=15，
平方得：sin2α+2sinαcosα+cos2α=125
所以tan2α+2tanα+1tan2α+1=125，
解得tanα=-43或tanα=-34，
又sinα+cosα=15，
所以|sinα|>|cosα|，
故tanα=-43，
故选：C
8、已知函数fx=sin2x+π3，为了得到函数gx=cos2x+π3的图象只需将y=fx的图象（    ）
A．向左平移π4个单位B．向右平移π4个单位
C．向左平移π2个单位D．向右平移π2个单位
答案：A
分析：利用三角函数的平移结合诱导公式即可求解.
解：因为
sin2x+π3+π2=cos2x+π3
所以sin(2x+π3)→sin(2x+π2+π3)，只需将f(x)的图象向左平移π4个单位，
故选：A.
多选题
9、设函数fx=|cosx+a|+|cos2x+b|，a,b∈R，则（    ）
A．fx的最小正周期可能为π2B．fx为偶函数
C．当a=b=0时，fx的最小值为22D．存a，b使fx在0,π2上单调递增
答案：BCD
解析：A．分析fx=fx+π2是否恒成立；B．分析函数定义域，根据f-x,fx的关系判断是否为偶函数；C．采用换元法，将fx写成分段函数的形式，然后分析每一段函数的取值范围，由此确定出最小值；D．分析a=b=-1时的情况，根据复合函数的单调性判断方法进行分析判断.
A．因为fx+π2=cosx+π2+a+cos2x+π2+b=-sinx+a+-cos2x+b，
所以f0=a+1+b+1,fπ2=a-1+b，所以f0=fπ2不一定成立，
所以fx=fx+π2不恒成立，所以fx的最小正周期不可能为π2，故错误；
B．因为fx的定义域为R，关于原点对称；
又因为f-x=cos-x+a+cos-2x+b=cosx+a+cos2x+b=fx，
所以fx为偶函数，故正确；
C．因为a=b=0，所以fx=cosx+cos2x，所以fx=cosx+2cos2x-1
令cosx=t∈-1,1，记y=t+2t2-1,t∈-1,1，所以y=2t2-t-1,t∈-1,-22-2t2-t+1,t∈-22,0-2t2+t+1,t∈0,222t2+t-1,t∈22,1，
当t∈-1,-22时，y=2t2-t-1=2t-142-98>2-22-142-98=22，
当t∈-22,0时，y=-2t2-t+1=-2t+142+98≥-2-22+142+98=22，
当t∈0,22时，y=-2t2+t+1=-2t-142+98>-222-142+98=22，
当t∈22,1时，y=2t2+t-1=2t+142-98≥222+142-98=22，
综上可知：fx=cosx+2cos2x-1的最小值为22，取最小值时t=cosx=±22，故正确；
D．取a=b=-1，所以fx=|cosx-1|+|cos2x-1|，所以fx=1-cosx+1-cos2x，
所以fx=-2cos2x-cosx+3，所以fx=-2cosx+142+258，
又因为y=cosx在0,π2上单调递减，且x∈0,π2时，cosx∈0,1，且y=-2t+142+258在t∈0,1时单调递减，
根据复合函数的单调性判断方法可知：fx=-2cosx+142+258在0,π2上单调递增，
所以存在a=b=-1使fx在0,π2上单调递增，故正确，
故选：BCD.
小提示：思路点睛：复合函数fgx的单调性的判断方法：
（1）先分析函数定义域，然后判断外层函数的单调性，再判断内层函数的单调性；
（2）当内外层函数单调性相同时，则函数为递增函数；
（3）当内外层函数单调性相反时，则函数为递减函数.
10、设函数fx=sin2x+2π3，则下列结论中正确的是（    ）
A．y=fx的图象关于点π6,0对称B．y=fx的图象关于直线x=-π12对称
C．fx在0,π3上单调递减D．fx在-π6,0上的最小值为0
答案：ABC
分析：AB选项，代入检验是否是对称中心和对称轴，C选项，求出u=2x+2π3∈2π3,4π3，由fu=sinu数形结合验证单调性，D选项，求出u=2x+2π3∈π3,2π3，结合fu=sinu求出最小值.
当x=π6时，fπ6=sinπ=0，所以y=fx的图象关于点π6,0对称，A正确；
当x=-π12时，f-π12=sinπ2=1，所以y=fx的图象关于直线x=-π12对称，B正确；
当x∈0,π3时，u=2x+2π3∈2π3,4π3，fu=sinu在2π3,4π3上单调递减，故C正确；
当x∈-π6,0时，u=2x+2π3∈π3,2π3，fu=sinu在π3,2π3上的最小值为32，D错误.
故选：ABC
11、已知函数f(x)=sin(2x+φ)-π2<φ<π2，则f(x)在区间π6,π3上为减函数的充分条件是（    ）
A．φ=-π3B．f(x)的图象关于直线x=π6对称
C．f(x)是奇函数D．f(x)的图象关于点5π6,0对称
答案：BD
分析：根据条件，利用正弦函数的性质得到函数f(x)，再利用正弦函数的单调性判断.
A. 当φ=-π3时，f(x)=sin(2x-π3)，由x∈π6,π3，得2x-π3∈0,π3，因为y=sinx在0,π3上递增，故错误；
B. 若f(x)的图象关于直线x=π6对称，则2×π6+φ=kπ+π2,k∈Z，解得φ=kπ+π6,k∈Z，取φ=π6，则f(x)=sin(2x+π6)，
由x∈π6,π3，得2x+π6∈π2,5π6，因为y=sinx在π2,5π6上递减，故正确；
C. 若f(x)是奇函数，则φ=kπ,k∈Z，取φ=0，则f(x)=sin2x，由x∈π6,π3，得2x∈π3,2π3，因为y=sinx在π3,2π3不单调，故错误；
D. 若f(x)的图象关于点5π6,0对称，则2×5π6+φ=kπ,k∈Z，解得φ=kπ-5π3,k∈Z，取φ=π3，则f(x)=sin(2x+π3)，
由x∈π6,π3，得2x+π3∈2π3,π，因为y=sinx在2π3,π上递减，故正确；
故选：BD
12、已知函数f(x)=|sinx|+3|cosx|，下列结论正确的是（    ）
A．f(x)的最小正周期为πB．f(x)为偶函数
C．函数y=f(x)的图像关于直线x=π6对称D．函数y=f(x)的最小值为1
答案：ABD
分析：画出f(x)在[0,2π]上的函数图象，数形结合，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
f(x)=|sinx|+3|cosx|在[0,2π]上的函数图像如下所示：

数形结合可知：f(x)的最小正周期为π，且其不关于x=π6对称，
f(x)的最小值为fπ2=1；
又f-x=sin-x+3cos(-x)=sinx+3cosx=f(x)，
又其定义域R关于原点对称，故其为偶函数.
综上所述，正确的选项是：ABD.
故选：ABD.
填空题
13、已知一扇形的弧所对的圆心角为π3，半径r=20cm，则扇形的弧长为___________cm.
答案：20π3##203π
分析：由弧长公式直接求解即可.
由弧长公式可得，弧长为π3×20=20π3 cm.
所以答案是：20π3.
14、将函数y=sin(2x+φ)的图像向左平移π12个单位后所得函数图像关于原点中心对称，则sin2φ=_________．
答案：-32
解析：先根据函数平移变换得平移后的解析式为y=sin2x+φ+π6，再根据其图象关于原点中心对称得φ=-π6+kπ,k∈Z，进而计算得sin2φ= -32.
解：根据题意得函数y=sin(2x+φ)的图像向左平移π12个单位后得到的函数解析式为：y=sin2x+φ+π6，
由函数y=sin2x+φ+π6图象关于原点中心对称，
故φ+π6=kπ,k∈Z，即φ=-π6+kπ,k∈Z
所以sin2φ=sin-π3+2kπ=sin-π3=-32.
所以答案是：-32
小提示：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言. 
函数y=Asinωx+φ,x∈R是奇函数⇔φ=kπ(k∈Z) ；
函数y=Asinωx+φ,x∈R是偶函数⇔φ=kπ+π2(k∈Z)；
函数y=Acosωx+φ,x∈R是奇函数⇔φ=kπ+π2(k∈Z)；
函数y=Acosωx+φ,x∈R是偶函数⇔φ=kπ(k∈Z).
15、若函数f(x)=sin(x+φ)+cosx的最大值为2，则常数φ的一个取值为________．
答案：π2（2kπ+π2,k∈Z均可）
分析：根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得f(x)=cos2φ+(sinφ+1)2sin(x+θ)，可得cos2φ+(sinφ+1)2=2，即可解出.
因为f(x)=cosφsinx+(sinφ+1)cosx=cos2φ+(sinφ+1)2sin(x+θ)，
所以cos2φ+(sinφ+1)2=2，解得sinφ=1，故可取φ=π2.
所以答案是：π2（2kπ+π2,k∈Z均可）.
小提示：本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.

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