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3．3 空间两点间的距离公式
时间：45分钟 满分：80分
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．若A(1,3，－2)，B(－2,3,2)，则A，B两点间的距离为( )
A. B．25
C．5 D.
答案：C
解析：|AB|＝＝5.
2．已知A(2,1,1)，B(1,1,2)，C(2,0,1)，则△ABC为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上都不对
答案：A
解析：由两点间的距离公式，得|AB|＝，|BC|＝，|AC|＝1，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，∴△ABC为直角三角形．
3．已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为( )
A．19 B．－
C. D.
答案：C
解析：|AB|＝＝＝，∴当x＝时，|AB|最小．
4．在坐标平面xOy上，到点A(3,2,5)，B(3,5,1)的距离相等的点有( )
A．1个 B．2个
C．不存在 D．无数个
答案：D
解析：在坐标平面xOy内，设点P(x，y,0)，依题意得
＝，整理得y＝－，
x∈R，所以符合条件的点有无数个．
5．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)的坐标满足方程(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－3)2＝1，则点P的轨迹是( )
A．圆 B．直线
C．球面 D．线段
答案：C
解析：(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－3)2＝1表示(x，y，z)到点(2，－1,3)的距离的平方为1，它表示以(2，－1,3)为球心，以1为半径的球面．
6．已知A(1,2，－1)，B(1，t，t)(t∈R)，则|AB|的最小值为( )
A. B．5
C. D.
答案：D
解析：∵|AB|＝ ＝ ，∴当t＝时，|AB|min＝.
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知点P到线段AB中点的距离为3，其中A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则z＝________.
答案：0或－4
解析：由中点坐标公式，得线段AB中点的坐标为.又点P到线段AB中点的距离为3，所以
＝3，解得z＝0或z＝－4.
8．已知A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则线段AB在yOz平面上的射影长为________．
答案：
解析：点A(3,5，－7)，B(－2,4,3)在yOz平面上的射影分别为A′(0,5，－7)，B′(0,4,3)，∴线段AB在yOz平面上的射影长|A′B′|＝＝.
9．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是____________．
答案：(0，－1,0)
解析：设M(0，y,0)，由|MA|＝|MB|得(1－0)2＋(0－y)2＋(2－0)2＝(1－0)2＋(－3－y)2＋(1－0)2，解得y＝－1.∴M(0，－1,0)．
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|CA|＝|CB|＝1，∠BCA＝90°，|AA1|＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点，求MN的长．
解：
以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.
∵|CA|＝|CB|＝1，|AA1|＝2，∴N(1,0,1)，M.
由两点间的距离公式，得
|MN|＝＝，
∴MN的长为.
11．已知三点A(－1,1,2)，B(1,2，－1)，C(a,0,3)，是否存在实数a，使A、B、C共线？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。
解：AB＝ ＝ ，
AC＝
＝ ，
BC＝
＝ ，
因为BC＞AB，所以，若A，B，C三点共线，有BC＝AC＋AB或AC＝BC＋AB，
若BC＝AC＋AB，整理得：5a2＋18a＋19＝0，此方程无解；
若AC＝BC＋AB，整理得：5a2＋18a＋19＝0，此方程也无解．
所以不存在实数a，使A、B、C共线．
12.
如图，以棱长为a的正方体的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标O－xyz，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上。
(1)当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究PQ的最小值；
(2)当点P在对角线AB上运动，点Q为棱CD的中点时，探究PQ的最小值；
解：由已知A(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0，a，a)，B(0,0，a)，
(1)当点P为对角线AB的中点时，点P坐标为(，，)，
设Q(0，a，z)，则PQ＝ ，
当z＝时，PQ取到最小值为a，此时Q为CD的中点．
(2)当点Q为棱CD的中点时，点Q的坐标为(0，a，)，设AP∶AB＝k，则xp＝a(1－k)，yp＝a(1－k)，zP＝ak，所以p点的坐标为(a(1－k)，a(1－k)，ak)，
所以PQ＝ ，当k＝，即P为AB的中点时，PQ取到最小值a.
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