全国通用高中数学第三章函数的概念与性质(五).docx

全国通用高中数学第三章函数的概念与性质(五)1单选题1、函数fx=1x2x30的定义域是（）A2,+B2,+C2,33,+D3,+答案：C分析：由分母中根式内部的代数式大于0，0指数幂的底数不为0联立不等式组求解由x20x30，解得x2且x3函数的定义域为(2,3)(3,+)故选：C2、下列图形是函数图像的是（）ABCD答案：C分析：根据函数的定义，对四个选项一一判断.按照函数的定义，一个自变量只能对应一个函数值.对于A：当x=0时，y=1，不符合函数的定义.故A错误；对于B：当x=0时，y=1，不符合函数的定义.故B错误；对于C：每一个x都对应唯一一个y值，符合函数的定义.故C正确；对于D：当x=1时，y可以取全体实数，不符合函数的定义.故D错误；故选:C3、已知fx2=x2+1，则f5=（）A50B48C26D29答案：A分析：利用赋值法，令x=7即可求解.解：令x=7，则f5=f72=72+1=50故选：A.4、下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是（）ABCD答案：B分析：根据函数的定义判断即可.B中，当x0时，y有两个值和x对应，不满足函数y的唯一性，A，C，D满足函数的定义，故选：B5、设fx是定义域为R的奇函数，且f1+x=fx.若f13=13，则f53=（）A53B13C13D53答案：C分析：由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得f53的值.由题意可得：f53=f1+23=f23=f23，而f23=f113=f13=f13=13，故f53=13.故选：C.小提示：关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.6、已知函数f(x)在定义域R上单调，且x(0,+)时均有f(f(x)+2x)=1，则f(2)的值为（）A3B1C0D1答案：A分析：设f(x)+2x=t，则f(x)=2x+t，即可由f(f(x)+2x)=1得f(t)=2t+t=1，解出t，从而得到f(x)=2x1，进而求出f(2)的值根据题意，函数f(x)在定义域R上单调，且x(0,+)时均有f(f(x)+2x)=1，则f(x)+2x为常数，设f(x)+2x=t，则f(x)=2x+t，则有f(t)=2t+t=1，解可得t=1，则f(x)=2x1，故f(2)=41=3；故选：A.7、函数fx=x+4x+1在区间12,2上的最大值为（）A103B152C3D4答案：B分析：利用换元法以及对勾函数的单调性求解即可设t=x+1，则问题转化为求函数gt=t+4t1在区间12,3上的最大值根据对勾函数的性质，得函数gt在区间12,2上单调递减，在区间2,3上单调递增，所以gtmax=maxg12,g3=max152,103=152故选：B8、若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有f(a)-f(b)a-b0成立，则必有（）Af(x)在R上是增函数Bf(x)在R上是减函数C函数f(x)先增后减D函数f(x)先减后增答案：A分析：根据条件可得当ab时，f(a)b时，f(a)f(b)，从而可判断.由f(a)-f(b)a-b0知f(a)-f(b)与a-b同号，即当ab时，f(a)b时，f(a)f(b)，所以f(x)在R上是增函数.故选：A.9、已知对fx定义域内的任意实数x1，x2，且x1x2，fx1fx2x1x20恒成立，设a=f13，b=f3，c=f5，则（）AbacBcbaCbcaDab0可得函数fx在R上是增函数，所以f13f30的解集是（）Ax|3x3Bx|1x5Cx|0x5Dx|x1答案：B分析：根据函数的性质推得其函数值的正负情况，由xfx20可得到相应的不等式组，即可求得答案.因为fx是偶函数且在0,+)上单调递增，f3=0，故f3=0，所以当x3时，fx0，当3x3时，fx0等价于x0x23或x23或x03x25或1x0，所以不等式的解集为x|1x5，故选：B11、已知函数f（x2+1）x4，则函数yf（x）的解析式是（）Afx=x12,x0Bfx=x12,x1Cfx=x+12,x0Dfx=x+12,x1答案：B分析：利用凑配法求得fx解析式.fx2+1=x4=x2+122x2+1+1，且x2+11，所以fx=x22x+1=x12,x1.故选：B12、已知函数f1x+1=2x+3则f2的值为（）A6B5C4D3答案：B分析：根据题意，令1x+1=2可得x的值，将x的值代入f(1x+1)=2x+3，即可得答案解：根据题意，函数f(1x+1)=2x+3，若1x+1=2，解可得x=1，将x=1代入f1x+1=2x+3，可得f2=5，故选：B多选题13、已知函数f(x)=2x1,xf3x23的是（）A(2,1)B32,1C32,2D1,32答案：BCD分析：画出函数f(x)的图象，由图象可知函数f(x)在(,+)上为增函数，再利用函数f(x)的单调性简化不等式，即可得到结果因为函数f(x)=2x1,xf3x23得x2+x+33x23，即2x2x60解得32xx1fx2+x2fx1，下列结论正确的是（）A函数fx在R上是单调递减函数Bf2f1f2Cfx+1fx+2的解为xx1fx2+x2fx1，可得x1x2fx1fx20，所以可判断出fx在R上为增函数，然后逐个分析判断即可解：由x1fx1+x2fx2x1fx2+x2fx1，得x1x2fx1fx20，所以f(x)在R上单调递增，所以A错，因为f(x)为R上的递增函数，所以f2f1f2，所以B对，因为fx在R上为增函数，fx+1fx+2x+1x+2x12，所以C对函数R上为增函数时，不一定有f0=0，如f(x)=2x在R上为增函数，但f(0)=1，所以D不一定成立，故D错故选：BC15、已知f(x)=1+x21x2，则f(x)满足的关系是（）Af(x)=f(x)Bf1x=f(x)Cf1x=f(x)Df1x=f(x)答案：ACD分析：根据f(x)=1+x21x2，将f(x)，f1x，f1x化简即可得出答案.解：由f(x)=1+x21x2，得：f(x)=1+x21x2=1+x21x2=fx，故A正确，B错误；f1x=1+1x211x2=1+x21+x2=f(x)，故C正确；f1x=1+1x211x2=1+x21+x2=f(x)，故D正确.故选：ACD.16、已知偶函数y=f(x)(xR)，有x1，x2(,0时，x1x2fx1fx20成立，则f(2ax)f2x2+1对任意的xR恒成立的一个必要不充分条件是（）A2a2B1a1C0a2D2a2答案：AD分析：由题意可判断函数在,0为单调递减函数，在0,+上单调递增函数，只需2ax2x2+1恒成立,分离参数，利用基本不等式即可求出a的取值，再结合必要不充分条件的概念可解.当x1,x2(,0时，x1x2fx1fx20成立，则函数在,0为单调递减函数，又函数y=f(x),xR为偶函数，则函数y=f(x)在0,+上单调递增函数，f(2ax)f2x2+1对任意的xR恒成立，所以2ax2x2+1，当x=0时，不等式恒成立，当x0时，2a2x2+1x=2x+1x，又2x+1x22x1x=22，当且仅当2x=1x时取等号，则2a22，即a2，解得2a0，解得m=3，所以fx=x3，所以fx=x3=x3=fx，故fx=x3为奇函数，函数图象关于原点对称，所以fx在,0上单调递增；故选：ABD18、已知函数fx，gx的定义域都为R，且fx是奇函数，gx是偶函数，则下列结论正确的是（）Afxgx是奇函数Bfxgx是奇函数Cfxgx是偶函数Dfxgx是偶函数答案：AD分析：根据奇偶函数的定义可得fx=fx，gx=gx，则分别判别四个选项，可得答案.因为fx是奇函数，gx是偶函数，所以fx=fx，gx=gx易得fxgx=fxgx，故fxgx是奇函数，A正确；fxgx=fxgx=fxgx，故fxgx是偶函数，B错误；fxgx=fxgx，故fxgx是奇函数，C错误；fxgx=fxgx=fxgx，故fxgx是偶函数，D正确故选：AD19、下列给出的式子是分段函数的是（）Af（x）x2+1,1x52x,x1Bf（x）x+1,xRx2,x2Cf（x）2x+3,1x5x2,x1Df（x）x2+3,x0x1,x5答案：AD分析：根据函数的定义一一判断即可；解：对于A：fx=x2+1,1x52x,x1，定义域为1,5,1=,5，且1,5,1=，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系，故A正确；对于B：fx=x+1,xRx2,x2，定义域为R2,+=R，但R2,+=2,+不满足函数的定义，如当x=2时，f2=3和4，故不是函数，故B错误；对于C：fx=2x+3,1x5x2,x1，定义域为1,5,1=,5，且1,5,1=1，且f1=5和1，故不是函数，故C错误；对于D：fx=x2+3,xx10，则fx1+fx22fx1+x22答案：AC解析：先代点求出幂函数的解析式f(x)=x12，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，由x9时，可得x3可判断C，利用fx1+fx222f2x1+x22=x1+x222x1+x222展开和0比即可判断D.设幂函数f(x)=x将点(4,2)代入函数f(x)=x得：2=4，则=12.所以f(x)=x12，显然f(x)在定义域0,+)上为增函数，所以A正确.f(x)的定义域为0,+)，所以f(x)不具有奇偶性，所以B不正确.当x9时，x3，即f(x)3，所以C正确.当若0x1x2时，fx1+fx222f2x1+x22=x1+x222x1+x222=x1+x2+2x1x24x1+x22=2x1x2x1x24=x1x2240.即fx1+fx22fx1+x22成立，所以D不正确.故选：AC小提示：关键点睛：本题主要考查了幂函数的性质，解答本题的关键是由fx1+fx222f2x1+x22=x1+x222x1+x222，化简得到x1x224，从而判断出选项D的正误，属于中档题.21、已知函数f(x)=x,x0，则有（）A存在x00，使得fx0=x0B存在x00，使得fx0=x02C函数fx与f(x)的单调区间和单调性相同D若fx1=fx2且x1x2，则x1+x20答案：BC分析：根据函数解析式，分别解AB选项对应的方程，即可判定A错，B正确；求出fx的解析式，判定fx与f(x)的单调区间与单调性，即可得出C正确；利用特殊值法，即可判断D错.因为f(x)=x,x0，当x00时，f(x0)=x02，由fx0=x0可得x02=x0，解得x0=0或1，显然都不满足x00，故A错；当x00时，f(x0)=x0，由fx0=x02可得x0=x02，解得x0=0或1，显然x0=1满足x00，故B正确；当x0时，f(x)=x2显然单调递增，即f(x)的增区间为0,+；又f(x)=x,x0=x,x0x2,x0，因此fx在,0上单调递减，在0,+上单调递增；即函数fx与f(x)的单调区间和单调性相同，故C正确；D选项，若不妨令x10，故D错；故选：BC.小提示：关键点点睛：求解本题的关键在于根据解析式判定分段函数的性质，利用分段函数的性质，结合选项即可得解.22、下列函数中满足“对任意x1，x2（0，），都有f(x1)f(x2)x1x20”的是（）Af（x）2xBf（x）3x1Cf（x）x24x3Df（x）x1x答案：ACD分析：先由题意判断f（x）为（0，）上的增函数.再对四个选项一一验证:对于A：利用反比例函数的单调性直接判断;对于B：利用一次函数的单调性直接判断;对于C：利用二次函数的单调性直接判断;对于D：先判断出y1=x和y2=1x在（0，）上的单调性,即可判断因为“对任意x1，x2（0，），都有f(x1)f(x2)x1x20”所以不妨设0x1x2,都有f(x1)x2x+1成立，求实数a的取值范围答案：(1)B=2,14(2)1316,+分析：（1）f13x的定义域x14,1可以求出213x14，即fx的定义域；（2）令gx=x2x+1，若xB，使得agx成立，即可转化为agxmin成立，求出gxmin即可.（1）f13x的定义域为A=14,1，14x1213x14，则B=2,14（2）令gx=x2x+1，xB，使得ax2x+1成立，即a大于gx在2,14上的最小值gx=x122+34，gx在2,14上的最小值为g14=1316，实数a的取值范围是1316,+24、我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为Rx万美元，且R(x)=400kx,040.当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元.（1）写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式：（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.答案：（1）W=6x2+384x40,040.；（2）32万部，最大值为6104万美元.解析：（1）先由生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元，解得k=6，然后由W=xR(x)(16x+40)，将R(x)代入即可.（2）当040时，利用基本不等式求解，综上对比得到结论.（1）因为生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元.所以40024k40216=704，解得k=6，当040时，W=xR(x)(16x+40)=40000x16x+7360.所以W=6x2+384x40,040.（2）当040时，W=40000x16x+7360，由于40000x+16x240000x16x=1600，当且仅当40000x=16x，即x=50(40,+)时，取等号，所以此时W的最大值为5760.综合知，当x=32，W取得最大值为6104万美元.小提示：思路点睛：应用题的基本解题步骤：（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；（2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；（3）解应用题时，要注意变量的实际意义及其取值范围；（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解25、已知函数fx=kx2+2k+1x+2(1)当k=1时，写出函数y=fx的单调递增区间（写出即可，不要过程）；(2)当k0答案：(1)函数y=fx的单调递增区间有2,12和1,+)；(2)当k0的解集为2,1k；当k=0时，fx0的解集为2,+；当0k0的解集为,1k2,+分析：（1）化简函数y=fx解析式，作出函数图象，利用图象求函数的单调递增区间；（2）分别在k=0，k0，0k0即可.（1）因为fx=kx2+2k+1x+2，所以当k=1时，y=fx=x2x+2=x2+x2所以当x1时，fx=x2+x2，当2x1时，fx=x2x+2，作出函数y=fx的图象如下：所以函数y=fx的单调递增区间有2,12和1,+)；（2）因为fx=kx2+2k+1x+2，所以fx=kx+1x+2，当k=0时，不等式fx0，可化为x+20，解得x2，故解集为2,+当k0时，方程fx=0的解为x1=2，x2=1k当k0时，x1=200的解集为2,1k，当0k12时，x2=1k0的解集为,1k2,+；综上，当k0的解集为2,1k；当k=0时，fx0的解集为2,+；当0k0的解集为,1k2,+.26、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当时x0时，f(x)=x2+2x1（1）求f(x)解析式（2）画出函数图像，并写出单调区间（无需证明）答案：（1）f(x)=x2+2x1,x0；（2）图见详解，单调区间为：单调递增区间为：(1,0)，(0,1)，单调递减区间为：(,1)，(1,+).分析：（1）根据奇函数的性质，当x=0时，f(0)=0，当x0时，f(x)=f(x)=x2+2x+1，即可得解；（2）根据二次函数的图像与性质，直接画图像，并求出单调性.（1）当x=0时，f(0)=0，当x0时，x0，f(x)=f(x)=x2+2x+1，所以f(x)=x2+2x1,x0，（2）f(x)的图像为：单调递增区间为：(1,0)，(0,1)，单调递减区间为：(,1)，(1,+).27、设a0,4，已知函数f(x)=4xax2+1,xR.（1）若f(x)是奇函数，求a的值；（2）当x0时，证明：f(x)a2xa+2；（3）设x1,x2R，若实数m满足fx1fx2=m2，证明：f(ma)f(1)0两种情况讨论，其中当ma0时，结合（2）的结论得f(ma)f(1)a2(ma1)a2(1a)18，等号不能同时成立.解：（1）由题意，对任意xR，都有f(x)=f(x)，即4(x)a(x)2+1=4xax2+1，亦即4xa=4x+a，因此a=0；（2）证明：因为x0，0a4，4xax2+1a2xa+2=4xaa2xa+2x2+1x2+1=12x2+1axx22x+1+4x22x+1=12x2+1(ax+4)(x1)20.所以，f(x)a2xa+2.（3）设t=4xa，则y=4xax2+1=16tt2+2at+a2+16(tR)，当t=0时，y=0；当t0时，y=16t+a2+16t+2a；f(x)max=8a+a2+160，f(x)min=8aa2+160，所以8aa2+16f(x)8a+a2+16.由fx1fx2=m2得m2f(x)maxf(x)min=4，即2m2.当ma0时，f(ma)0，f(1)=4a20，所以f(ma)f(1)0时，由（2）知，f(ma)f(1)a2(ma)a+24a2=a2(ma1)a2(1a)18，等号不能同时成立.综上可知f(ma)f(1)18.小提示：本题第二问解题的关键在于作差法比较大小，第三问在于换元法求得函数的值域8aa2+16f(x)8a+a2+16，进而结合题意得2m2，再结合第二问的结论分类讨论求解.考查换元思想和运算求解能力，是难题.21