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全国通用高中数学第三章函数的概念与性质(二)1单选题1、下列各组函数表示同一函数的是（）Afx=x，gx=3x3Bfx=1，gx=x0Cfx=x+1，gx=x21x1Dfx=x2，gx=x2答案：A分析：根据相同函数的定义，分别判断各个选项函数的定义域和对应关系是否都相同，即可得出答案.解：对于A，两个函数的定义域都是R，gx=3x3=x，对应关系完全一致，所以两函数是相同函数，故A符合题意；对于B，函数fx=1的定义域为R，函数gx=x0的定义域为xx0，故两函数不是相同函数，故B不符题意；对于C，函数fx=x+1的定义域为R，函数gx=x21x1的定义域为xx1，故两函数不是相同函数，故C不符题意；对于D，函数fx=x2的定义域为R，函数gx=x2的定义域为0,+，故两函数不是相同函数，故D不符题意.故选：A.2、已知函数fx+2=x2+6x+8，则函数fx的解析式为（）Afx=x2+2xBfx=x2+6x+8Cfx=x2+4xDfx=x2+8x+6答案：A分析：利用配凑法（换元法）计算可得.解：方法一（配凑法）fx+2=x2+6x+8=x+22+2x+2，f(x)=x2+2x.方法二（换元法）令t=x+2，则x=t2，ft=t22+6t2+8=t2+2t，f(x)=x2+2x.故选：A3、函数fx为奇函数，gx为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（）Afx+gx为奇函数Bfx+gx为偶函数Cfxgx为奇函数Dfxgx为偶函数答案：C分析：依次构造函数，结合函数的奇偶性的定义判断求解即可.令F1(x)=f(x)+g(x)，则F1(x)=f(x)+g(x)=f(x)+g(x)F1(x),且F1xF1x，F1(x)既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；令F2(x)=f(x)g(x)，则F2(x)=f(x)g(x)=f(x)g(x)=F2(x),且F2xF2x，F2(x)是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；故选：C4、设函数fx的定义域为R，fx+1为奇函数，fx+2为偶函数，当x1,2时，f(x)=ax2+b若f0+f3=6，则f92=（）A94B32C74D52答案：D分析：通过fx+1是奇函数和fx+2是偶函数条件，可以确定出函数解析式fx=2x2+2，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案方法一：因为fx+1是奇函数，所以fx+1=fx+1；因为fx+2是偶函数，所以fx+2=fx+2令x=1，由得：f0=f2=4a+b，由得：f3=f1=a+b，因为f0+f3=6，所以4a+b+a+b=6a=2，令x=0，由得：f1=f1f1=0b=2，所以fx=2x2+2思路一：从定义入手f92=f52+2=f52+2=f12f12=f32+1=f32+1=f52f52=f12+2=f12+2=f32所以f92=f32=52方法二：因为fx+1是奇函数，所以fx+1=fx+1；因为fx+2是偶函数，所以fx+2=fx+2令x=1，由得：f0=f2=4a+b，由得：f3=f1=a+b，因为f0+f3=6，所以4a+b+a+b=6a=2，令x=0，由得：f1=f1f1=0b=2，所以fx=2x2+2思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数fx的周期T=4所以f92=f12=f32=52故选：D小提示：在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果5、设a为实数，定义在R上的偶函数fx满足：fx在0,+上为增函数；f2afa+1，则实数a的取值范围为（）A,1B13,1C1,13D,131,+答案：B分析：利用函数的奇偶性及单调性可得2aa+1，进而即得.因为fx为定义在R上的偶函数，在0,+上为增函数，由f2afa+1可得f2afa+1，2aa+1，解得13a1.故选：B.6、已知函数fx是定义在R上的偶函数，fx在0,+上单调递减，且f3=0，则不等式2x5fx10f(x1)0、2x50求解集即可.由题设，(,0)上f(x)单调递增且f(3)=f(3)=0，所以(,3)、(3,+)上f(x)0，对于(2x5)f(x1)0f(x1)52x152x13，可得x4；当2x50，即x523x13，可得2x0恒成立，设a=f13，b=f3，c=f5，则（）AbacBcbaCbcaDab0可得函数fx在R上是增函数，所以f13f3bcdBdbcaCdcbaDbcda答案：D分析：根据幂函数的性质，在第一象限内，x=1的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可判断；根据幂函数的性质，在第一象限内，x=1的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，所以由图像得：bcda，故选：D9、已知函数fx的定义域为R，f1x=fx，且fx在12,+上单调递减，则关于x的不等式fx+1f23x的解集为（）A,114,+B14,1C,141,+D1,14答案：C分析：由f1x=fx可得函数fx的图象关于直线x=12对称，进而得到fx在,12上单调递增，数形结合将fx+1f23x转化为x+112f23x，则x+1到12的距离小于23x到12的距离，故不等式fx+1f23x等价于x+1120，解得x1或x14.故选：C10、下列函数既是偶函数又在0,+上单调递减的是（）Ay=x+1xBy=x3Cy=2xDy=1x2答案：C分析：逐项判断函数奇偶性和单调性，得出答案.解析：A项y=x+1x，B项y=x3均为定义域上的奇函数，排除；D项y=1x2为定义域上的偶函数，在(0,+)单调递增，排除；C项y=2x为定义域上的偶函数，且在(0,+)上单调递减.故选：C.11、函数的y=x26x5值域为（）A0,+B0,2C2,+D2,+答案：B分析：令u=x26x5，则u0，再根据二次函数的性质求出u的最大值，进而可得u的范围，再计算y=u的范围即可求解.令u=x26x5，则u0且y=u又因为u=x26x5=x+32+44，所以0u4，所以y=u0,2，即函数的y=x26x5值域为0,2，故选：B.12、已知幂函数y=xa与y=xb的部分图像如图所示，直线x=m2，x=m0m1a0，从而得m2am2b，mamb，再由AB=CD，代入化简计算，即可求解出答案.由题意，AB=m2am2b，CD=mamb，根据图象可知b1a0，当0mm2b，mamb，因为AB=CD，所以m2am2b=ma+mbmamb=mamb，因为mamb0，可得ma+mb=1.故选：B多选题13、下列各组函数是同一个函数的是（）Afx=x22x1与gs=s22s1Bfx=x3与gx=xxCfx=xx与gx=1x0Dfx=x与gx=x2答案：AC分析：分别求出四个选项中，每个选项两个函数的定义域和对应关系是否相同即可求解.对于选项A：fx=x22x1的定义域为R，gs=s22s1的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；对于选项B：fx=x3=xx的定义域为x|x0，gx=xx的定义域为x|x0，定义域相同对应关系不同，不是同一个函数；对于选项C：fx=xx=1的定义域为x|x0，gx=1x0=1的定义域x|x0，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；对于选项D：fx=x的定义域为R，gx=x2=x的定义域为R，对应关系不同，不是同一个函数.故选：AC14、已知函数fx=x2,x0,x2,x0,则下列结论中正确的是（）Af2=2B若fm=9，则m3Cfx是奇函数D在fx上R单调递减答案：CD分析：A.由分段函数求解判断；B.分m0，m0，由fm=9求解判断；不成立；C.利用奇偶性的定义判断；D.画出函数fx的图象判断.因为fx=x2,x0,x2,x0,A.f2=22=2，故错误；B.当m0时，fm=m2=9，解得m=3或m=3（舍去），当m0时，fm=m2=9，不成立；故错误；C.当x0，fx=x2=x2，又f0=0，所以fx=fx；当x0时，fx=x2，则x01,x01,x01,xm，如果函数f(x)恰有两个零点，那么实数m的取值范围可以是（）Am2B2m0C0m4Dm4.答案：BD解析：在同一平面直角坐标系中，作出函数y=x22x,y=x4的图象，观察函数图象即可得出答案.在同一平面直角坐标系中，作出函数y=x22x,y=x4的图象，如图，由图象可知，当2m1，f(x)的结论正确的是()Af(x)的最大值为3Bf(0)2C若f(x)1，则x2Df(x)在定义域上是减函数答案：AB分析：根据分段函数的表达式分别进行判断即可A：分别求x1和x1时f(x)的范围即可；B：代入f(x)x2计算即可；C：分类讨论f(x)1时x取值即可；D：分别判断x1和x1时单调性即可.当x1时，f(x)=x+2是增函数，则此时f(x)f(1)=3，当x1，f(x)=x2+3为减函数，则此时f(x)b,若fx=2x2，gx=x2，下列关于函数Fx=minfx,gx的说法正确的是（）A函数Fx是偶函数B方程Fx=0有三个解C函数Fx在区间1,1上单调递增D函数Fx有4个单调区间答案：ABD分析：结合题意作出函数Fx=minfx,gx的图象，进而数形结合求解即可.解：根据函数fx=2x2与gx=x2，画出函数Fx=minfx,gx的图象，如图由图象可知，函数Fx=minfx,gx关于y轴对称，所以A项正确；函数Fx的图象与x轴有三个交点，所以方程Fx=0有三个解，所以B项正确；函数Fx在(,1上单调递增，在1,0上单调递减，在上单调递增，在1,+)上单调递减，所以C项错误，D项正确故选：ABD20、如图所示是函数y=f(x)的图象，图中x正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（）A函数f(x)的定义域为4,4B函数f(x)的值域为0,+C此函数在定义域内是增函数D对于任意的y5,+，都有唯一的自变量x与之对应答案：BD分析：利用函数的图象判断.由图象知：A.函数f(x)的定义域为4,01,4)，故错误；B.函数f(x)的值域为0,+，故正确；C.函数f(x)在4,0，1,4)上递增，但在定义域内不单调，故错误；D.对于任意的y5,+，都有唯一的自变量x与之对应，故正确；故选：BD21、(多选)下列函数，值域为0,+的是（）Ay=x+1x1By=x2Cy=1xx0Dy=1x+1答案：AC分析：对每个选项进行值域判断即可.解：A选项，函数y=x+1x1的值域为0,+，正确；B选项，函数y=x2的值域为0,+，错误；C选项，函数y=1xx0的值域为0,+，正确；D选项，函数y=1x+1的值域为,00,+，错误.故选：AC.22、已知函数fx是定义在4,00,4上的奇函数，当x0,4时，fx的图象如图所示，那么满足不等式f(x)3x+1330的x的可能取值是（）A4B1C12D2答案：AC分析：把“求f(x)3x+1330的解集”转化为“求fx3x1的解集”，进而转化为观察两个函数图象的特征，即可求出不等式的解集因为函数fx是定义在4,00,4上的奇函数，由题意，画出函数fx在4,00,4上的图象（如图），在同一坐标系内画出y=3x1的图象，因为f2=89，所以f2=f2=89=321，又f1=2=311，所以fx的图象与y=3x1的图象交于2,89和1,2两点，fx3x+1330即为fx3x1，由图象可得，只需4x2或0x1，故A，C可能取到故选：AC解答题23、将下列集合用区间表示出来(1)x|x3；(2)x|x0；(3)x|2x3；(4)x|x1，或2x4答案：(1)，3；(2)0，+；(3)2，3；(4)，12，4.分析：利用区间的定义解答即可.（1）解：x|x3用区间表示为，3；（2）解：x|x0用区间表示为0，+；（3）解：x|2x3用区间表示为2，3；（4）解：x|x1，或2x4用区间表示为，12，4.24、已知幂函数fx=m22m+2x5k2k2（kZ）是偶函数，且在0,+上单调递增（1）求函数fx的解析式；（2）若f2x10，0k52（kZ）即k=1或2fx在0，+上单调递增，fx为偶函数k=2即fx=x2（2）f2x1f2xf2x1f2x2x12x，(2x1)2(2x)2，x21，x1,1（3）由题可知2a+3b=7，2a+1+3b+1=12a+16+b+14=13a+1+2b+1=a+16+b+143a+1+2b+1=1+34b+1a+1+a+13b+11+214=2，当且仅当34b+1a+1=a+13b+12a=3b+1，即a=2，b=1时等号成立所以3a+1+2b+1的最小值是225、已知函数fx=2xax，且f2=92.(1)求实数a的值并判断该函数的奇偶性；(2)判断函数f(x)在（1，+）上的单调性并证明.答案：(1)a=1，函数f(x)=2x+1x为奇函数(2)fx在1,+上是增函数，证明见解析分析：（1）根据f2=92，代入函数解析即可求解；（2）利用函数单调性的定义证明即可.（1）f(x)=2xax，且f(2)=92,4a2=92，a=1；所以f(x)=2x+1x，定义域为x|x0关于原点对称，f(x)=2(x)+1x=2x1x=(2x+1x)=f(x)，函数f(x)=2x+1x为奇函数.（2）函数fx在1,+上是增函数，证明：任取x1,x21,+，设x1x2，则f(x2)f(x1)=2x2+1x2(2x1+1x1)=2(x2x1)+(1x21x1)=2(x2x1)+(x1x2x1x2)=(x2x1)(21x1x2)=(x2x1)(2x1x21)x1x2x1,x21,+，且x10，2x1x210,x1x20fx2fx10，即fx2fx1，fx在1,+上是增函数.26、为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量ft(单位：mg/m3)与时间t(单位：h）的函数关系为ft=kt,0t121kt,t12，当消毒12h后，测量得药物释放量等于1mg/m3；而实验表明，当药物释放量小于34mg/m3对人体无害（1）求k的值；（2）若使用该消毒剂对房间进行消毒，求对人体有害的时间有多长？答案：（1）k=2；（2）724h分析：（1）把t=12代入即可求得k的值；（2）根据ft34，通过分段讨论列出不等式组，从而求解.（1）由题意可知f12=112k=1，故k=2；（2）因为k=2，所以ft=2t,0t1212t,t12，又因为ft34时，药物释放量对人体有害，所以0t122t34或t1212t34，解得38t12或12t23，所以38t23，由2338=724，故对人体有害的时间为724h27、第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.本届奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车雪橇高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目，冬奥会的举办可以带动了我国3亿人次的冰雪产业，这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇，某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本C(x)（万元）.经计算若年产量x千件低于100千件，则这x千件产品成本C(x)=12x2+10x+1100；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品成本C(x)=120x+4500x905400.每千件产品售价为100万元，为了简化运算我们假设该企业生产的产品能全部售完.(1)写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？答案：(1)L=12x2+90x3100,0x10020x4500x90+3400,x100(2)当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元分析：（1）年利润L为销售收入减去生产成本，分情况讨论计算即可；（2）当0x100时，根据二次函数单调性求L最大值；当x100时，根据基本不等式求最大值，继而求出L最大值.（1）当0x100时，L=100x12x210x11002000=12x2+90x3100；当x100时，L=100x120x+4500x9054002000=20x4500x90+3400.所以L=12x2+90x3100,0x10020x4500x90+3400,x100（2）当0x950，所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元.23