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人教版2024高中数学选修二综合测试题(三十七)

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单选题
1、用数学归纳法证明不等式12+13+14+⋯+12n-1>n2-1(n∈N*,n≥2)时，以下说法正确的是（    ）
A．第一步应该验证当n=1时不等式成立
B．从“n=k到n=k+1”左边需要增加的代数式是12k
C．从“n=k到n=k+1”左边需要增加2k项
D．从“n=k到n=k+1”左边需要增加的代数式是12k-1+1+12k-1+2+⋯+12k
答案：D
解析：根据题意n≥2可知可以判定A错误；根据n=k+1和n=k时不等式左边的式子的变化情况作差可以判定BCD.
第一步应该验证当n=2时不等式成立，所以A不正确；
因为12+13+14+⋯+12k-(12+13+14+⋯+12k-1)=12k-1+1+12k-1+2+⋯12k，
所以从“n=k到n=k+1”左边需要增加的代数式是12k-1+1+12k-1+2+⋯+12k，所以B不正确；
所以从“n=k到n=k+1”左边需要增加2k-1项，所以C不正确.
故选:D.
小提示：本题考查数学归纳法证明中的关键步骤，关键要清楚不等式左边的和式的结构特征，特表要注意首项，末项和项数的变化情况.
2、函数fx的图象如图所示，f'x为函数fx的导函数，下列排序正确的是（    ）

A．fa+1-fa＜f'a＜f'a+1
B．f'a+1＜f'a＜fa+1-fa
C．f'a+1＜fa+1-fa＜f'a
D．f'a＜fa+1-fa＜f'a+1
答案：C
分析：根据函数的变化率和导数的几何意义进行判断.
因为f'(a)、f'(a+1)分别是函数f(x)在x=a、x=a+1处的切线斜率，
由图可知f'(a+1)<f'(a)<0，
又f(a+1)-f(a)=f(a+1)-f(a)(a+1)-a=f'(x0)，x0∈(a,a+1)，
所以f'a+1＜fa+1-fa＜f'a，
故选：C.
小提示：关键点点睛：该题考查的是有关导数的几何意义的问题，正确解题的关键是理解函数的变化率和导数的几何意义.
3、已知函数f(x)=x2-aex，则“a≥-1”是“f(x)有极值”的（    ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：求导函数，判断导函数的符号，确定有极值时a的范围即可.
f'(x)=x2+2x-aex=0，x2+2x-a=0，Δ=4+4a．
若Δ=4+4a≤0，a≤-1则f'(x)=x2+2x-aex≥0恒成立，
f(x)为增函数，无极值；
若Δ=4+4a>0，即a>-1，则f(x)有两个极值．
所以“a≥-1”是“f(x)有极值”的必要不充分条件．
故选:B
4、设等差数列an的前n项和为Sn，若Sk=2，S2k=8，则S4k=（    ）
A．28B．32C．16D．24
答案：B
分析：由等差数列an前n项和的性质，可得Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，S4k-S3k成等差数列，结合题干数据，可得解
由等差数列an前n项和的性质，
可得Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，S4k-S3k成等差数列，
∴2S2k-Sk=Sk+S3k-S2k，解得S3k=18.
∴ 2，6，10，S4k-18成等差数列，
可得2×10=6+S4k-18，解得S4k=32.
故选：B
5、在数列an中，an=n+25n，则a1-a2+a2-a3+⋯+a24-a25=（    ）
A．25B．32C．62D．72
答案：B
分析：令y=x+25x,x>0，故函数y=x+25x在0,5上单调递减，在5,+∞上单调递增，进而得当n≤5时，an是单调递减数列，当n≥5时，an是单调递增数列，再根据函数单调性去绝对值求和即可.
解：令函数y=x+25x,x>0，
由对勾函数的性质得函数y=x+25x在0,5上单调递减，在5,+∞上单调递增，
所以当n≤5时，an是单调递减数列，当n≥5时，an是单调递增数列，
所以a1>a2>a3>a4>a5<a6<a7<⋯<a24<a25
所以a1-a2+a2-a3+⋯+a24-a25
=a1-a2+a2-a3+a3-a4+a4-a5+a6-a5+a7-a6⋯+a25-a24
=a1+a25-2a5=26+26-2×10=32
故选：B
6、我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（    ）

A．小寒比大寒的晷长长一尺
B．春分和秋分两个节气的晷长相同
C．小雪的晷长为一丈五寸
D．立春的晷长比立秋的晷长长
答案：C
分析：先计算从夏至到冬至的晷长构成等差数列的公差和冬至到夏至的晷长构成等差数列的公差，再对选项各个节气对应的数列的项进行计算，判断说法的正误，即得结果.
由题意可知，夏至到冬至的晷长构成等差数列{an}，其中a1=15寸，a13=135寸，公差为d寸，则135=15+12d，解得d1=10（寸）；
同理可知，由冬至到夏至的晷长构成等差数列{bn}，首项b1=135，末项b13=15，公差d2=-10（单位都为寸）.
故小寒与大寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，选项A正确；
∵春分的晷长为b7，∴b7=b1+6d2=135-60=75，
∵秋分的晷长为a7，∴a7=a1+6d1=15+60=75，故春分和秋分两个节气的晷长相同，所以B正确；
∵小雪的晷长为a11，∴a11=a1+10d1=15+100=115，115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，C错误；
∵立春的晷长，立秋的晷长分别为b4，a4，
∴a4=a1+3d1=15+30=45，b4=b1+3d2=135-30=105，∴b4>a4，
故立春的晷长比立秋的晷长长，故D正确.
故选：C.
小提示：关键点点睛：
本题的解题关键在于看懂题意，二十四节气的晷长变化形成两个等差数列，即结合等差数列项的计算突破难点.
7、函数fx=2x3-6x+m有三个零点，则实数m的取值范围是（   ）
A．（﹣4，4）B．[﹣4，4]
C．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
答案：A
分析：求得函数fx的导数，利用导数求得函数的单调性和极值，结合题意，列出不等式组f-1>0f1<0，即可求解.
由题意，函数fx=2x3-6x+m，可得f'x=6x2-6=6(x-1)(x+1)，
当x<-1时，f'x>0，fx单调递增；
当-1<x<1时，f'x<0，fx单调递减；
当x>1时，f'x>0，fx单调递增，
所以函数fx在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值，
要使得函数fx有三个零点，则满足f-1=-2+6+m>0f1=2-6+m<0，解得-4<m<4，
即实数m的取值范围是(-4,4).
故选：A．
8、已知an是公差为d的等差数列，Sn为其前n项和．若S3=3a1+3，则d=（    ）
A．-2B．-1C．1D．2
答案：C
解析：根据an是公差为d的等差数列，且S3=3a1+3，利用等差数列的前n项和公式求解.
因为an是公差为d的等差数列，且S3=3a1+3，
所以3a1+3d=3a1+3，
解得d=1，
故选：C
多选题
9、（多选）设an是等比数列，则下列结论中正确的是（       ）
A．若a1=1，a5=4，则a3=2B．若a1+a3>0，则a2+a4>0
C．若a2>a1，则a3>a2D．若a2>a1>0，则a1+a3>2a2
答案：AD
分析：根据等比数列的通项公式和性质逐一验证可得选项.
解：由等比数列的性质，可得a32=a1⋅a5=4，由于奇数项的符号相同，可得a3=2，因此A正确；
若a1+a3>0，则a2+a4=qa1+a3，其正负由q确定，因此B不正确；
若a2>a1，则a1q-1>0，于是a3-a2=a1qq-1，其正负由q确定，因此C不正确；
若a2>a1>0，则a1q>a1>0，可得a1>0，q>1，所以1+q2>2q，则a11+q2>2a1q，即a1+a3>2a2，因此D正确.
故选：AD.
10、已知Sn是等差数列an的前n项和，且S6>S7>S5，下列说法正确的是（    ）
A．d<0B．S12>0
C．数列Sn的最大项为S11D．a6>a7
答案：ABD
分析：由S6>S7>S5判断出a7<0，a6>0，求出d=a7-a6<0，即可判断A；
利用等差数列的性质求出S12=6a6+a7>0，可以判断B；
由a6>0，a7<0，可判断出S6最大，可以判断C；
由a6>0，a7<0，a6+a7>0，可以判断D.
因为S7-S6=a7<0，S6-S5=a6>0，所以d=a7-a6<0，A正确；
S7-S5=a6+a7>0，所以S12=12a1+a122=6a6+a7>0，B正确；
因为a6>0，a7<0，所以数列Sn的最大项为S6，C不正确；
因为a6>0，a7<0，a6+a7>0，所以a6>-a7>0，即a6>a7，D正确．
故选：ABD．
11、已知函数fx=x3+3x2-9x+1，若fx在区间k,2上的最大值为28，则实数k的值可以是（    ）
A．-5B．-4C．-3D．-2
答案：AB
解析：先求出fx的导函数,即f'x=3x2+6x-9， 令f'x=3x2+6x-9=0，可得x的值，讨论函数的极值及单调性，结合fx在区间k,2上的最大值为28，即可求出k的取值范围.
因为fx=x3+3x2-9x+1，所以f'x=3x2+6x-9，
令f'x=3x2+6x-9=0，解得x1=-3，x2=1，
所以f'x在(-∞,-3)和(1,+∞)时，f'x>0，f'x在-3,1时，f'x<0，
所以函数fx在(-∞,-3)和(1,+∞)上单调递增，函数fx在-3,1上单调递减，
则fx在1,2内单调递增，所以在1,2内，f2最大；
fx在-3,1时单调递减，所以在-3,1内，f-3最大；
fx在-∞,-3时单调递增，所以在-∞,-3内，f-3最大；
因为f2=3，f-3=28，且fx在区间k,2上的最大值为28，
所以k<-3，即k的取值范围是-∞,-3，
故选：AB.
小提示：本题考查利用导数求函数最值，关键在于分析导函数取得正负的区间，得出原函数的单调性，属于较难题.
12、下列导数运算正确的有（    ）
A．1x'=1x2B．xex'=(x+1)ex
C．e2x'=2e2xD．ln2x'=2x
答案：BC
分析：根据导数的运算法则逐项运算排除可得答案.
对于A，1x'=x-1'=-x-2=-1x2，故错误；
对于B， xex'=x'ex+xex'=(x+1)ex，故正确；
对于C， e2x'=2x'e2x=2e2x，故正确；
对于D， ln2x'=2x'12x=1x，故错误.
故选：BC.
填空题
13、点P是曲线y=x2+x-lnx上任意一点，则点P到直线2x-y-2=0的最短距离为_________.
答案：255
解析：当P为与直线2x-y-2=0平行且与曲线相切的切线的切点时，点P到直线2x-y-2=0的距离最短，根据导数几何意义求得点P坐标，最后根据点到直线距离公式得结果.
设2x-y+m=0与函数y=x2+x-lnx的图象相切于点P（x0，y0）. 
∵y'=2x+1-1x所以2x0+1-1x0=2，x0>0，解得x0=1，y0=2
∴点P1,2到直线2x-y-2=0的距离为最小距离d=2-2-25=255，
所以答案是：255.
14、已知曲线C：fx=x3-ax+a，若过曲线C外一点A1,0引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则实数a的值为______．
答案：278
分析：设切点为t,t3-at+a，由导数的几何意义求切线的斜率，根据倾斜角关系求a.
设切点坐标为t,t3-at+a．由题意，知f'x=3x2-a，切线的斜率为k=3t2-a①，所以切线的方程为y-t3-at+a=3t2-ax-t②．
将点1,0代入②式，得-t3-at+a=3t2-a1-t，解得t=0或t=32．分别将t=0和t=32代入①式，得k=-a和k=274-a．由题意，得-a=-274-a，得a=278．
所以答案是：278.
15、定义在(0，+∞)上的函数fx满足：∀x>0有fx+xf'x>0成立且f1=2，则不等式fx<2x的解集为__________．
答案：0，1
分析：由fx+xf'x>0，判断出函数hx=xfx的单调性，利用单调性解fx<2x即可
设 hx=xfx
∵h'x=xfx'=fx+xf'x,又∵∀x>0有fx+xf'x>0成立，
∴函数h'x>0，即hx是0，+∞上的增函数．
∀x>0，fx<2x⇔xfx<2，即hx<2=1×f1=h1,
∴0<x<1，
所以答案是：0，1．

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