全国通用高中数学必修一第三章函数的概念与性质(二十八).docx

全国通用高中数学必修一第三章函数的概念与性质(二十八)1单选题1、已知三次函数f(x)=2x3+3ax2+bx+c(a,b,cR)，且f(2020)=2020，f(2021)=2021，f(2022)=2022，则f(2023)=（）A2023B2027C2031D2035答案：D分析：根据题意，构造函数gx=fx-x，根据g2020=g2021=g2022=0可以知道gx=2x-2020x-2021x-2022，进而代值得到答案.设gx=fx-x，则g2020=g2021=g2022=0，所以gx=2x-2020x-2021x-2022，所以g2023=2321=12，所以f(2023)=12+2023=2035.故选：D.2、若函数fx=2x+mx+1在区间0,1上的最大值为52，则实数m=（）A3B52C2D52或3答案：B分析：函数fx化为fx=2+m-2x+1，讨论m=2，m2和m0，即m2时，fx在0,1递减，可得f0为最大值，即f0=0+m1=52，解得m=52成立；当m-20，即m2时，fx在0,1递增，可得f1为最大值，即f1=2+m2=52，解得m=3不成立；综上可得m=52故选：B3、设函数fx=x-3,x10ffx+4,x0成立，则必有（）Af(x)在R上是增函数Bf(x)在R上是减函数C函数f(x)先增后减D函数f(x)先减后增答案：A分析：根据条件可得当ab时，f(a)b时，f(a)f(b)，从而可判断.由f(a)-f(b)a-b0知f(a)-f(b)与a-b同号，即当ab时，f(a)b时，f(a)f(b)，所以f(x)在R上是增函数.故选：A.5、函数fx=1x-2-x-30的定义域是（）A2,+B2,+C2,33,+D3,+答案：C分析：由分母中根式内部的代数式大于0，0指数幂的底数不为0联立不等式组求解由x-20x-30，解得x2且x3函数f(x)=1x-2-(x-3)0的定义域为(2,3)(3,+)故选：C6、设函数f(x)=x2+2(4-a)x+2在区间(-,3上是减函数，则实数a的取值范围是（）Aa-7Ba7Ca3Da-7答案：B分析：根据二次函数的图象和性质即可求解.函数f(x)的对称轴为x=a-4，又函数在(-,3上为减函数，a-43，即a7故选：B.小提示：本题考查由函数的单调区间求参数的取值范围，涉及二次函数的性质，属基础题.7、下列函数既是偶函数又在0,+上单调递减的是（）Ay=x+1xBy=-x3Cy=2-xDy=-1x2答案：C分析：逐项判断函数奇偶性和单调性，得出答案.解析：A项y=x+1x，B项y=-x3均为定义域上的奇函数，排除；D项y=-1x2为定义域上的偶函数，在(0,+)单调递增，排除；C项y=2-x为定义域上的偶函数，且在(0,+)上单调递减.故选：C.8、下列函数中与y=x是同一个函数的是（）Ay=(x)2Bv=uCy=x2Dm=n2n答案：B分析：根据函数相等的定义是：定义域相同且对应关系相同，逐个分析可得答案.对于A，y=(x)2的定义域为0,+)，与y=x的定义域为R不同，故A不正确；对于B，v=u与y=x是同一函数，故B正确；对于C，y=x2=|x|与y=x的对应关系不同，故C不正确；对于D，m=n2n=n(n0)与y=x的定义域不同，故D不正确.故选：B多选题9、我们把定义域为0,+且同时满足以下两个条件的函数fx称为“函数”：（1）对任意的x0,+，总有fx0；（2）若x0，y0，则有fx+yfx+fy成立.下列判断正确的是（）A若fx为“函数”，则f0=0B函数gx=0,xQ1,xQ在0,+上是“函数”C函数gx=x2+x在0,+上是“函数”D若fx为“函数”，x1x20，则fx1fx2答案：ACD分析：根据“函数”的定义，使用赋值法可判断AB；按照“函数”的定义直接判断可知C；利用定义作差fx1-fx2=fx1-x2+x2-fx2，可判断D.A选项，由（1）知f00，由（2）得x=y=0时，f0f0+f0，即f00，f0=0，故A正确；B选项，显然gx满足（1），若x，yQ，则gx+y=0，gx+gy=0+0=0，若x，yQ，设x=2，y=3，则gx+y=1，gx+gy=1+1=2，与（2）不符，故B不正确；C选项，gx=x2+x=xx+1，x0,+，gx0，满足（1），gx+y-gx-gy=x+y2+x+y-x2-x-y2-y=2xy0，满足（2），故C正确；D选项，x1x20，fx1-fx2=fx1-x2+x2-fx2fx1-x2+fx2-fx2=fx1-x2，x1-x20，fx1-x20，fx1fx2，故D正确.故选：ACD.10、德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数fx=1，x为有理数0，x为无理数，称为狄利克雷函数，则关于fx，下列说法正确的是（）Afx的值域为0，1Bfx的定义域为RCxR，ffx=1D任意一个非零有理数T，fx+T=fx对任意xR恒成立答案：BCD分析：根据分段函数的解析式和函数的性质逐一判断可得选项.因为函数fx=1，x为有理数0，x为无理数，所以fx的值城为0，1，故A不正确；因为函数fx=1，x为有理数0，x为无理数，所以fx的定义城为R，故B正确；因为xR，fx0，1，所以ffx=1，故C正确；对于任意一个非零有理数T，若x是有理数，则x+T是有理数；若x是无理数，则x+T是无理数，根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T，都有fx+T=fx对任意xR恒成立，故D正确，故选：BCD.11、设函数fx=ax-1,x0和a0三种情况讨论，结合二次函数的性质，从而可得出答案.解：当xa时，fx=x2-2ax+1=x-a2-a2+1，所以当xa时，fxmin=fa=-a2+1，若a=0，则fx=-1,x0，则当xa时，fx=ax-1，无最小值，若a0，则当xa时，fx=ax-1为减函数，则要使fx存在最小值时，则-a2+1a2-1a0，解得a-1，综上a=0或a-1.故选：BC.12、已知函数f(x)=log12(x+1),x0,f(x+1),x1时，fx0，f4=1（1）求证：f1=0；（2）求f116；（3）解不等式fx+fx-31答案：（1）证明见解析；（2）f116=-2；（3）x|30且x1x2，于是fx1x20，fx1=fx1x2x2=fx1x2+fx2fx2，fx在0,+上为增函数，又fx+fx-3=fxx-31=f4，x0x-30xx-34，解得3x4，原不等式的解集为x|3x414、求下列函数的值域：(1)fx=x2+2x+1x-2,-1,0,1,2；(2)fx=2x+1x-3(3)fx=-2x2+x+3；(4)fx=x-1-2x答案：(1)0,1,4,9(2)(-,2)(2,+)(3)0,524(4)-,12分析：（1）将-2,-1,0,1,2代入fx求解即可；（2）形如y=ax+bcx+dac0,adbc的函数常用分离常数法求值域，y=ax+bcx+d=ac+b-adccx+d，其值域是yyac.（3）根据二次函数的顶点式求解值域，再结合根式的定义域求解即可.（4）形如y=ax+b+cx+d(ac0)的函数常用换元法求值域，先令t=cx+d，用t表示出x，并注明t的取值范围，再代入原函数将y表示成关于t的二次函数，最后用配方法求值域（1）因为f-2=1，f-1=0，f0=1，f1=4，f2=9，所以函数fx的值域为0,1,4,9（2）因为fx=2x+1x-3=2(x-3)+7x-3=2+7x-3，且7x-30，所以fx2，所以函数fx的值域为(-,2)(2,+)（3）因为fx=-2x2+x+3=-2x-142+258，所以0fx524，所以函数fx的值域为0,524.（4）设t=1-2x（换元），则t0且x=-12t2+12，令y=-12t2-t+12=-12(t+1)2+1.因为t0，所以y12，即函数fx的值域为-,12.15、已知二次函数fx满足fx+1-fx=2x，f0=1（1）求fx的解析式（2）求fx在-1,1上的最大值答案：（1）fx=x2-x+1；（2）3分析：（1）设f(x)=ax2+bx+c，a0，代入求解f(x+1)-f(x)=2x，化简求解系数（2）将二次函数配成顶点式，分析其单调性，即可求出其最值（1）设fx=ax2+bx+c，a0，则fx+1-fx=ax+12+bx+1+c-ax2+bx+c=2ax+a+b，由题c=1，2ax+a+b=2x恒成立2a=2，a+b=0，c=1得a=1，b=-1，c=1，fx=x2-x+1.（2）由（1）可得fx=x2-x+1=x-122+34，所以fx在-1,12单调递减，在12,1单调递增，且f-1=3，f1=1fxmax=f-1=3.11