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全国通用高中数学必修一第三章函数的概念与性质(二十八)

1

单选题
1、已知三次函数f(x)=2x3+3ax2+bx+c(a,b,c∈R)，且f(2020)=2020，f(2021)=2021，f(2022)=2022，则f(2023)=（    ）
A．2023B．2027C．2031D．2035
答案：D
分析：根据题意，构造函数gx=fx-x，根据g2020=g2021=g2022=0可以知道gx=2x-2020x-2021x-2022，进而代值得到答案.
设gx=fx-x，则g2020=g2021=g2022=0，所以gx=2x-2020x-2021x-2022，所以g2023=2×3×2×1=12，所以f(2023)=12+2023=2035.
故选：D.
2、若函数fx=2x+mx+1在区间0,1上的最大值为52，则实数m=（    ）
A．3B．52C．2D．52或3
答案：B
分析：函数fx化为fx=2+m-2x+1，讨论m=2，m>2和m<2时函数的单调性，运用单调性可得最小值，解方程即可得到所求值．
函数fx=2x+mx+1，即fx=2+m-2x+1，x∈0,1，
当m=2时，fx=2不成立；
当m-2>0，即m>2时，fx在0,1递减，可得f0为最大值，
即f0=0+m1=52，解得m=52成立；
当m-2<0，即m<2时，fx在0,1递增，可得f1为最大值，
即f1=2+m2=52，解得m=3不成立；
综上可得m=52．
故选：B．
3、设函数fx=x-3,x≥10ffx+4,x<10，则f9=（    ）
A．6B．7C．9D．10
答案：B
分析：根据分段函数的特征，首先把f9=ff13，由f(13)=10-3=10，代入即可求解.
f9=f(f9+4)=f(f13)=f(10)=10-3=7
故选：B
4、若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有f(a)-f(b)a-b>0成立，则必有（    ）
A．f(x)在R上是增函数B．f(x)在R上是减函数
C．函数f(x)先增后减D．函数f(x)先减后增
答案：A
分析：根据条件可得当a<b时，f(a)<f(b)，或当a>b时，f(a)>f(b)，从而可判断.
由f(a)-f(b)a-b>0知f(a)-f(b)与a-b同号，即当a<b时，f(a)<f(b)，或当a>b时，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函数.
故选：A.
5、函数fx=1x-2-x-30的定义域是（    ）
A．2,+∞B．2,+∞C．2,3∪3,+∞D．3,+∞
答案：C
分析：由分母中根式内部的代数式大于0，0指数幂的底数不为0联立不等式组求解．
由x-2>0x-3≠0，解得x>2且x≠3．
∴函数f(x)=1x-2-(x-3)0的定义域为(2,3)∪(3,+∞)．
故选：C．
6、设函数f(x)=x2+2(4-a)x+2在区间(-∞,3]上是减函数，则实数a的取值范围是（    ）
A．a≥-7B．a≥7C．a≥3D．a≤-7
答案：B
分析：根据二次函数的图象和性质即可求解.
函数f(x)的对称轴为x=a-4，
又∵函数在(-∞,3]上为减函数，
∴a-4⩾3，即a⩾7．
故选：B.
小提示：本题考查由函数的单调区间求参数的取值范围，涉及二次函数的性质，属基础题.
7、下列函数既是偶函数又在0,+∞上单调递减的是（    ）
A．y=x+1xB．y=-x3C．y=2-xD．y=-1x2 
答案：C
分析：逐项判断函数奇偶性和单调性，得出答案.
解析：A项y=x+1x，B项y=-x3均为定义域上的奇函数，排除；
D项y=-1x2为定义域上的偶函数，在(0,+∞)单调递增，排除；
C项y=2-x为定义域上的偶函数，且在(0,+∞)上单调递减.
故选：C.
8、下列函数中与y=x是同一个函数的是（    ）
A．y=(x)2B．v=u
C．y=x2D．m=n2n
答案：B
分析：根据函数相等的定义是：定义域相同且对应关系相同，逐个分析可得答案.
对于A，y=(x)2的定义域为[0,+∞)，与y=x的定义域为R不同，故A不正确；
对于B，v=u与y=x是同一函数，故B正确；
对于C，y=x2 =|x|与y=x的对应关系不同，故C不正确；
对于D，m=n2n =n(n≠0)与y=x的定义域不同，故D不正确.
故选：B
多选题
9、我们把定义域为0,+∞且同时满足以下两个条件的函数fx称为“Ω函数”：（1）对任意的x∈0,+∞，总有fx≥0；（2）若x≥0，y≥0，则有fx+y≥fx+fy成立.下列判断正确的是（    ）
A．若fx为“Ω函数”，则f0=0
B．函数gx=0,x∈Q1,x∉Q在0,+∞上是“Ω函数”
C．函数gx=x2+x在0,+∞上是“Ω函数”
D．若fx为“Ω函数”，x1>x2≥0，则fx1≥fx2
答案：ACD
分析：根据“Ω函数”的定义，使用赋值法可判断AB；按照“Ω函数”的定义直接判断可知C；利用定义作差fx1-fx2=fx1-x2+x2-fx2，可判断D.
A选项，由（1）知f0≥0，由（2）得x=y=0时，f0≥f0+f0，即f0≤0，∴f0=0，故A正确；
B选项，显然gx满足（1），若x，y∈Q，则gx+y=0，gx+gy=0+0=0，若x，y∉Q，
设x=2，y=3，则gx+y=1，gx+gy=1+1=2，与（2）不符，故B不正确；
C选项，gx=x2+x=xx+1，∵x∈0,+∞，∴gx≥0，满足（1），gx+y-gx-gy=x+y2+x+y-x2-x-y2-y=2xy≥0，满足（2），故C正确；
D选项，∵x1>x2≥0，
∴fx1-fx2=fx1-x2+x2-fx2
≥fx1-x2+fx2-fx2=fx1-x2，
∵x1-x2>0，∴fx1-x2≥0，∴fx1≥fx2，故D正确.
故选：ACD.
10、德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数fx=1，x为有理数0，x为无理数，称为狄利克雷函数，则关于fx，下列说法正确的是（     ）
A．fx的值域为0，1
B．fx的定义域为R
C．∀x∈R，ffx=1
D．任意一个非零有理数T， fx+T=fx对任意x∈R恒成立
答案：BCD
分析：根据分段函数的解析式和函数的性质逐一判断可得选项.
因为函数fx=1，x为有理数0，x为无理数，所以fx的值城为0，1，故A不正确；
因为函数fx=1，x为有理数0，x为无理数，所以fx的定义城为R，故B正确；
因为∀x∈R，fx∈0，1，所以ffx=1，故C正确；
对于任意一个非零有理数T，若x是有理数，则x+T是有理数；若x是无理数，则x+T是无理数，根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T，都有fx+T=fx对任意x∈R恒成立，故D正确，
故选：BCD.
11、设函数fx=ax-1,x<ax2-2ax+1,x≥a，fx存在最小值时，实数a的值可能是（    ）
A．2B．-1C．0D．1
答案：BC
分析：分a=0，a>0和a<0三种情况讨论，结合二次函数的性质，从而可得出答案.
解：当x≥a时，fx=x2-2ax+1=x-a2-a2+1，
所以当x≥a时，fxmin=fa=-a2+1，
若a=0，则fx=-1,x<0x2+1,x≥0，
所以此时fxmin=-1，即fx存在最小值，
若a>0，则当x<a时，fx=ax-1，无最小值，
若a<0，则当x<a时，fx=ax-1为减函数，
则要使fx存在最小值时，
则-a2+1≤a2-1a<0，解得a≤-1，
综上a=0或a≤-1.
故选：BC.
12、已知函数f(x)={log12(x+1),x≥0,f(x+1),x<0,若函数g(x)=f(x)-x-a有且只有两个不同的零点，则实数a的取值可以是（    ）
A．-1B．0C．1D．2
答案：BCD
分析：作出函数f(x)的图象如下图所示，将原问题转化为函数f(x)的图象与直线y=x+a有两个不同的交点，根据图示可得实数a的取值范围.
根据题意，作出f(x)的图像如下所示：

令g(x)=0，得f(x)=x+a，
所以要使函数g(x)=f(x)-x-a有且只有两个不同的零点，
所以只需函数f(x)的图像与直线y=x+a有两个不同的交点，
根据图形可得实数a的取值范围为(-1,+∞)，
故选：BCD．
小提示：方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
解答题
13、已知函数fx的定义域为0,+∞，且对任意的正实数x、y都有fxy=fx+fy，且当x>1时，fx>0，f4=1．
（1）求证：f1=0；
（2）求f116；
（3）解不等式fx+fx-3≤1．
答案：（1）证明见解析；（2）f116=-2；（3）{x|3<x≤4}．
分析：（1）令x=4，y=1，由此可求出答案；
（2）令x=y=4，可求得f16，再令x=16，y=116，可求得f116；
（3）先求出函数fx在0,+∞上的单调性，根据条件将原不等式化为fxx-3≤f4，结合单调性即可求出答案．
解：（1）令x=4，y=1，则f4=f4×1=f4+f1，
∴f1=0；
（2）∵f16=f4×4=f4+f4=2，f1=f116×16=f116+f16=0，
∴f116=-2；
（3）设x1、x2>0且x1>x2，于是fx1x2>0，
∴fx1=fx1x2⋅x2=fx1x2+fx2>fx2，
∴fx在0,+∞上为增函数，
又∵fx+fx-3=fxx-3≤1=f4，
∴x>0x-3>0xx-3≤4，解得3<x≤4，
∴原不等式的解集为{x|3<x≤4}．
14、求下列函数的值域：
(1)fx=x2+2x+1x∈-2,-1,0,1,2；
(2)fx=2x+1x-3
(3)fx=-2x2+x+3；
(4)fx=x-1-2x．
答案：(1)0,1,4,9
(2)(-∞,2)∪(2,+∞)
(3)0,524
(4)-∞,12
分析：（1）将-2,-1,0,1,2代入fx求解即可；
（2）形如y=ax+bcx+dac≠0,ad≠bc的函数常用分离常数法求值域，y=ax+bcx+d=ac+b-adccx+d，其值域是yy≠ac.
（3）根据二次函数的顶点式求解值域，再结合根式的定义域求解即可.
（4）形如y=ax+b+cx+d(ac≠0)的函数常用换元法求值域，先令t=cx+d，用t表示出x，并注明t的取值范围，再代入原函数将y表示成关于t的二次函数，最后用配方法求值域．
（1）
因为f-2=1，f-1=0，f0=1，f1=4，f2=9，所以函数fx的值域为0,1,4,9．
（2）
因为fx= 2x+1x-3=2(x-3)+7x-3=2+7x-3，且7x-3≠0，所以fx≠2，所以函数fx的值域为(-∞,2)∪(2,+∞)．
（3）
因为fx=-2x2+x+3=-2x-142+258，所以0≤fx ≤524，所以函数fx的值域为0,524.
（4）
设t=1-2x（换元），则t≥0且x=-12t2+12，令y=-12t2-t+12=-12(t+1)2+1.
因为t≥0，所以y≤12，即函数fx的值域为-∞,12.
15、已知二次函数fx满足fx+1-fx=2x，f0=1．
（1）求fx的解析式．
（2）求fx在-1,1上的最大值．
答案：（1）fx=x2-x+1；（2）3．
分析：（1）设f(x)=ax2+bx+c，a≠0，代入求解f(x+1)-f(x)=2x，化简求解系数．
（2）将二次函数配成顶点式，分析其单调性，即可求出其最值．
（1）设fx=ax2+bx+c，a≠0，则
fx+1-fx=ax+12+bx+1+c-ax2+bx+c=2ax+a+b，
∴由题c=1，2ax+a+b=2x恒成立
∴2a=2，a+b=0，c=1得a=1，b=-1，c=1，
∴fx=x2-x+1.    
（2）由（1）可得fx=x2-x+1=x-122+34，
所以fx在-1,12单调递减，在12,1单调递增，且f-1=3，f1=1
∴fxmax=f-1=3.

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