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人教版2024高中数学第三章函数的概念与性质(十一)

1

单选题
1、已知f(x)是一次函数，2f(2)−3f(1)=5，2f0−f−1=−1，则f(x)=（    ）
A．3x+2B．3x−2C．2x+3D．2x−3
答案：D
分析：设出函数f(x)的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答.
依题意，设f(x)=kx+b,k≠0，则有2(2k+b)−3(k+b)=52b−(−k+b)=−1，解得k=2,b=−3，
所以f(x)=2x−3.
故选：D
2、函数f(x)=log2x−1x的零点所在的区间为（    ）
A．0,1B．1,2C．2,3D．3,4
答案：B
解析：判断函数的单调性，结合函数零点存在性定理，判断选项.
f1=0−1=−1<0，f2=1−12=12>0，
且函数fx=log2x−1x的定义域是0,+∞，定义域内y=log2x是增函数，y=−1x也是增函数，所以fx是增函数，且f1f2<0，
所以函数f(x)=log2x−1x的零点所在的区间为1,2.
故选：B
小提示：方法点睛：一般函数零点所在区间的判断方法是：1.利用函数零点存在性定理判断，判断区间端点值所对应函数值的正负；2.画出函数的图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或是转化为两个函数的图象交点判断.
3、已知定义在R上的奇函数fx在(0,+∞)上单调递增，且f(1)=0，若实数x满足xfx−12≤0，则x的取值范围是（    ）
A．−12,0∪12,32B．−12,12∪32,+∞C．−12,0∪12,+∞D．−32,−12∪0,12
答案：A
分析：首先根据函数的奇偶性和单调性得到函数fx在R上单调递增，且f1=f−1=0，从而得到x∈−∞,−1，fx<0，x∈−1,0，fx>0，x∈0,1，fx<0，x∈1,+∞，fx>0，再分类讨论解不等式xfx−12≤0即可.
因为奇函数fx在(0,+∞)上单调递增，定义域为R，f(1)=0，
所以函数fx在R上单调递增，且f1=f−1=0.
所以x∈−∞,−1，fx<0，x∈−1,0，fx>0，
x∈0,1，fx<0，x∈1,+∞，fx>0.
因为xfx−12≤0，
当x<0时，fx−12≥0，即−1≤x−12≤0或x−12≥1，
解得−12≤x<0.
当x=0时，符合题意.
当x>0时，fx−12≤0，x−12≤−1或0≤x−12≤1，
解得12≤x≤32.
综上：−12≤x≤0或12≤x≤32.
故选：A
4、函数fx=ex−e−xx2的图象大致为（    ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，以及由f(1)=e−e−1>0排除不正确的选项，从而得出答案..
详解：∵x≠0,f(−x)=e−x−exx2=−f(x)∴f(x)为奇函数，排除A,
∵f(1)=e−e−1>0，故排除D.
∵fʹx=ex+e−xx2−ex−e−x2xx4=x−2ex+x+2e−xx3,，
当x>2时，fʹx>0，所以f(x)在2，+∞单调递增，所以排除C；
故选：B.
5、已知函数f(x)=m2−m−1xm3−1是幂函数，对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，满足fx1−fx2x1−x2>0，若a,b∈R,a+b<0，则f(a)+f(b)的值（    ）
A．恒大于0B．恒小于0
C．等于0D．无法判断
答案：B
解析：根据函数为幂函数以及函数在(0,+∞)的单调性，可得m，然后可得函数的奇偶性，结合函数的单调性以及奇偶性，可得结果.
由题可知：函数f(x)=m2−m−1xm3−1是幂函数
则m2−m−1=1⇒m=2或m=−1
又对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，满足fx1−fx2x1−x2>0
所以函数f(x)为(0,+∞)的增函数，故m=2
所以f(x)=x7，又f(−x)=−f(x)，
所以f(x)为R单调递增的奇函数
由a+b<0，则a<−b，所以f(a)<f(−b)=−f(b)
则f(a)+f(b)<0
故选：B
小提示：本题考查幂函数的概念以及函数性质的应用，熟悉函数单调递增的几种表示，比如fx1−fx2x1−x2>0,fx1−fx2⋅x1−x2>0，属中档题.
6、定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(2)=0，则不等式x⋅f(x)>0的解集为（    ）
A．(−∞,−2)∪(2,+∞)B．(−2,0)∪(0,2)
C．(−2,0)∪(2,+∞)D．(−∞,−2)∪(0,2)
答案：C
分析：结合函数的单调性与奇偶性解不等式即可.
义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(2)=0，
所以f(x)在−∞,0上单调递减，且f(−2)=0，
x⋅f(x)>0⇒x>0fx>0或x<0fx<0，
故x>2或−2<x<0，
故选：C
7、如图，可以表示函数fx的图象的是（    ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：根据函数的概念判断
根据函数的定义，对于一个x，只能有唯一的y与之对应，只有D满足要求
故选：D
8、设函数f(x)=x3−1x3,则f(x)（    ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
答案：A
分析：根据函数的解析式可知函数的定义域为xx≠0，利用定义可得出函数fx为奇函数，
再根据函数的单调性法则，即可解出．
因为函数fx=x3−1x3定义域为xx≠0，其关于原点对称，而f−x=−fx，
所以函数fx为奇函数．
又因为函数y=x3在0,+∞上单调递增，在−∞,0上单调递增，
而y=1x3=x−3在0,+∞上单调递减，在−∞,0上单调递减，
所以函数fx=x3−1x3在0,+∞上单调递增，在−∞,0上单调递增．
故选：A．
小提示：本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．
9、“n=1”是“幂函数fx=n2−3n+3⋅xn2−3n在0,+∞上是减函数”的一个（    ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
答案：A
分析：由幂函数fx=n2−3n+3⋅xn2−3n在0,+∞上是减函数，可得n2−3n+3=1n2−3n<0，由充分、必要条件的定义分析即得解
由题意，当n=1时，fx=x−2在0,+∞上是减函数，故充分性成立；
若幂函数fx=n2−3n+3⋅xn2−3n在0,+∞上是减函数，
则n2−3n+3=1n2−3n<0，解得n=1或n=2
故必要性不成立
因此“n=1”是“幂函数fx=n2−3n+3⋅xn2−3n在0,+∞上是减函数”的一个充分不必要条件
故选：A
10、已知幂函数y=xa与y=xb的部分图象如图所示，直线x=14，x=12与y=xa，y=xb的图象分别交于A､B､C､D四点，且AB=CD，则12a+12b=（    ）

A．12B．1C．2D．2
答案：B
分析：把AB=CD用函数值表示后变形可得．
由AB=CD得14a−14b=12a−12b，即12a−12b12a+12b=12a−12b≠0，
所以12a+12b=1，
故选：B．
多选题
11、幂函数fx=m2−5m+7xm2−6在0,+∞上是增函数，则以下说法正确的是（    ）
A．m=3 
B．函数fx在−∞,0上单调递增
C．函数fx是偶函数
D．函数fx的图象关于原点对称
答案：ABD
分析：根据幂函数的定义与性质得到方程（不等式）组，解得m=3，即可得到fx，从而判断可得；
解：因为幂函数fx=m2−5m+7xm2−6在0,+∞上是增函数，
所以m2−5m+7=1m2−6>0，解得m=3，所以fx=x3，
所以f−x=−x3=−x3=−fx，故fx=x3为奇函数，函数图象关于原点对称，
所以fx在−∞,0上单调递增；
故选：ABD
12、若幂函数f(x)=m2+m−11xm+7在(−∞,0)上单调递增，则（    ）
A．m=3B．f(−1)=1C．m=−4D．f(−1)=−1
答案：CD
分析：先根据幂函数的定义及性质确定m的值，得出解析式，然后确定f(−1)的大小.
因为f(x)=m2+m−11xm+7是幂函数，
所以m2+m−11=1，解得m=−4或m=3．
又f(x)在(−∞,0)上单调递增，所以m=−4．
因为f(x)=x3，所以f(−1)=−1．
故选：CD.
13、下列关于幂函数y=xα的性质，描述正确的有（    ）
A．当α=−1时函数在其定义域上是减函数B．当α=0时函数图象是一条直线
C．当α=2时函数是偶函数D．当α=3时函数在其定义域上是增函数
答案：CD
分析：根据幂函数的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项．
对于A选项，y=1x，在(−∞,0)和(0,+∞)上递减，不能说在定义域上递减，故A选项错误．
对于B选项，y=x0，x≠0，图像是：直线y=1并且除掉点(0,1)，故B选项错误．
对于C选项，y=x2，定义域为R，是偶函数，所以C选项正确．
对于D选项，y=x3，函数在其定义域上是增函数，所以D选项正确．
故选：CD
14、已知幂函数fx图像经过点4,2，则下列命题正确的有（    ）
A．函数为增函数B．函数为偶函数
C．若x≥9，则fx≥3D．若x2>x1>0，则fx1+fx22>fx1+x22
答案：AC
解析：先代点求出幂函数的解析式f(x)=x12，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，由x≥9时，可得x≥3可判断C，利用fx1+fx222−f2x1+x22=x1+x222−x1+x222展开和0比即可判断D.
设幂函数f(x)=xα
将点(4,2)代入函数f(x)=xα得：2=4α，则α=12.
所以f(x)=x12，
显然f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数，所以A正确.
f(x)的定义域为[0,+∞)，所以f(x)不具有奇偶性，所以B不正确.
当x≥9时，x≥3，即f(x)≥3，所以C正确.
当若0<x1<x2时，
fx1+fx222−f2x1+x22=x1+x222−x1+x222
=x1+x2+2x1x24−x1+x22
=2x1x2−x1−x24=−x1−x224<0.
即fx1+fx22<fx1+x22成立，所以D不正确.
故选：AC
小提示：关键点睛：本题主要考查了幂函数的性质，解答本题的关键是由fx1+fx222−f2x1+x22=x1+x222−x1+x222，化简得到−x1−x224，从而判断出选项D的正误，属于中档题.
15、下列函数中，既是奇函数又在区间0,+∞上单调递增的是（    ）
A．fx=x3B．fx=xC．fx=x12D．fx=x−1
答案：AB
分析：根据函数奇偶性的定义，结合幂函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
解：对于A，函数fx=x3的定义域为R，且f−x=−x3=−x3=−fx，
所以函数fx为奇函数，根据幂函数的性质，可得函数fx=x3在区间(0,+∞)上单调递增，故A正确；
对于B，函数fx=x的定义域为R，且f−x=−x=−fx，
所以函数fx为奇函数，易知fx=x在(0,+∞)上单调递增，故B正确；
对于C，函数fx=x12的定义域为[0,+∞)，不关于原点对称，所以函数fx为非奇非偶函数，故C错误；
对于D，函数fx=x−1在区间(0,+∞)上单调递减，故D错误.
故选：AB.
填空题
16、若函数fx=kx+7kx2+4kx+3的定义域为R，则实数k的取值范围是__________ .
答案：0,34
分析：分析可知，对任意的x∈R，kx2+4kx+3≠0恒成立，分k=0、k≠0两种情况讨论，结合已知条件可求得实数k的取值范围.
因为函数fx=kx+7kx2+4kx+3的定义域为R，
所以，对任意的x∈R，kx2+4kx+3≠0恒成立.
①当k=0时，则有3≠0，合乎题意；
②当k≠0时，由题意可得Δ=16k2-12k<0，解得0<k<34.
综上所述，实数k的取值范围是0,34.
所以答案是：0,34.
17、若函数y=f(x)的值域是[12,3]，则函数F(x)=f(2x+1)+1f(2x+1)的值域是________.
答案：[2,103]
分析：由给定条件求出f(2x+1)的值域，换元借助对勾函数性质即可得解.
因函数y=f(x)的值域是[12,3]，从而得函数t=f(2x+1)值域为[12,3]，
函数F(x)变为y=t+1t，t∈[12,3]，由对勾函数的性质知y=t+1t在[12,1]上递减，在[1,3]上递增，
t=1时，ymin=2，而t=12时，y=52，t=3时，y=103，即ymax=103，
所以原函数值域是[2,103].
所以答案是：[2,103]
18、幂函数y=f(x)的图象经过点(4,12)，则f(14)=____.
答案：2
分析：根据幂函数过点(4,12)，求出解析式，再有解析式求值即可.
设f(x)=xα，
则f(4)=4α=22α=12=2-1，
所以α=-12，
故f(x)=x-12，
所以f(14)=14-12=2.
所以答案是：2
19、函数f(x)=4-3x-x2的单调增区间是______．
答案：-4,-32
分析：先求得函数的定义域，结合复合函数单调性同增异减来求得fx的单调递增区间.
4-3x-x2≥0,x2+3x-4≤0,x+4x-1≤0，
解得-4≤x≤1，所以fx的定义域为-4,1.
y=-x2-3x+4的对称轴为x=-32，开口向下，
y=x在0,+∞上递增，
根据复合函数单调性同增异减可知fx的单调递增区间是-4,-32.
所以答案是：-4,-32
20、已知幂函数y=xm2-2m-3m∈N*的图象关于y轴对称，且在0,+∞上单调递减，则满足a+1-m3<3-2a-m3的a的取值范围为________.
答案：-∞,-1∪23,32
分析：根据幂函数的单调性和奇偶性得到m=1，代入不等式得到a+113<3-2a13，根据函数的单调性解得答案.
幂函数y=xm2-2m-3m∈N*在0,+∞上单调递减，故m2-2m-3<0，解得-1<m<3.
m∈N*，故m=0，1，2.
当m=0时 ，y=x-3不关于y轴对称，舍去；
当m=1时 ，y=x-4关于y轴对称，满足；
当m=2时 ，y=x-3不关于y轴对称，舍去；
故m=1，a+1-13<3-2a-13，函数y=x-13在-∞,0和0,+∞上单调递减，
故a+1>3-2a>0或0>a+1>3-2a或a+1<0<3-2a，解得a<-1或23<a<32.
所以答案是：-∞,-1∪23,32

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