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人教版2024高中数学第七章复数(五十)

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单选题
1、若z=1+2i+i3，则|z|=（    ）
A．0B．1
C．2D．2
答案：C
分析：先根据i2=−1将z化简，再根据复数的模的计算公式即可求出．
因为z=1+2i+i3=1+2i−i=1+i，所以 z=12+12=2．
故选：C．
小提示：本题主要考查复数的模的计算公式的应用，属于容易题．
2、已知复数z=2−3i，若z⋅a+i是纯虚数，则实数a=（    ）
A．−23B．23C．−32D．32
答案：D
分析：根据共轭复数的定义及复数的乘法运算结合纯虚数的定义即可得出答案.
解：z⋅a+i=2+3ia+i=2a−3+3a+2i是纯虚数，
则2a−3=03a+2≠0，解得a=32.
故选：D.
3、设(−1+2i)x=y−1−6i，x,y∈R，则|x−yi|=（    ）
A．6B．5C．4D．3
答案：B
分析：根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得x=−3y=4，进而求模长即可.
因为−1+2ix=y−1−6i，所以2x=−6−x=y−1，解得x=−3y=4，
所以x−yi=|−3−4i|=−32+−42=5.
故选：B.
4、已知下列三个命题：①若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数；②z1，z2都是复数，若z1+z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数；③复数z是实数的充要条件是z=z.则其中正确命题的个数为
A．0个B．1个C．2个D．3个
答案：C
解析：运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.
对于①中复数z1和z2的模相等,例如z1=1+i,z2=2i,则z1和z2是共轭复数是错误的;对于②z1和z2都是复数,若z1+z2是虚数,则其实部互为相反数,则z1不是z2的共轭复数,所以②是正确的;
对于③复数z是实数,令z=a,则z=a所以z=z,反之当z=z时,亦有复数z是实数,故复数z是实数的充要条件是z=z是正确的.综上正确命题的个数是2个.
故选C
小提示：本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.
5、已知复数z满足1−zz=1−i，则z=（    ）
A．−25+15iB．−25−15iC．25+15iD．25−15i
答案：D
分析：由已知条件求出复数z，利用共轭复数的定义可得出结果.
因为1−zz=1−i，所以，z=12−i=2+i2−i2+i=25+15i，因此，z=25−15i.
故选：D.
6、z1、z2是复数，则下列结论中正确的是（    ）
A．若z12+z22>0，则z12>−z22B．|z1−z2|=(z1+z2)2−4z1⋅z2
C．z12+z22=0⇔z1=z2=0D．|z12|=|z1|2
答案：D
解析：举反例z1=2+i，z2=2−i可判断选项A、B，举反例，z2=i可判断选项C，设z1=a+bi，a,b∈R，分别计算|z12|、|z1|2即可判断选项D，进而可得正确选项.
对于选项A：取z1=2+i，z2=2−i，z12=2+i2=3+2i，z22=2−i2=3−2i，
满足z12+z22=6>0，但z12与z22是两个复数，不能比较大小，故选项A不正确；
对于选项B：取z1=2+i，z2=2−i，|z1−z2|=2i=2，
而(z1+z2)2−4z1⋅z2=42−42+i2−i=16−20无意义，故选项B不正确；
对于选项C：取，z2=i，则z12+z22=0，但是z1≠0，z2≠0，故选项C不正确；
对于选项D：设z1=a+bi，a,b∈R，则z12=a+bi2=a2−b2+2abi
z12=a2−b22+4a2b2=a2+b22=a2+b2，
z1=a−bi，z1=a2+b2，所以z12=a2+b2，所以|z12|=|z1|2，故选项D正确.
故选：D.
7、已知复数z=(a−2i)(1+3i)(a∈R)的实部与虚部的和为12，则|z−5|=（    ）
A．3B．4C．5D．6
答案：C
分析：先把已知z=(a−2i)(1+3i)(a∈R)化简，整理出复数z的实部与虚部，接下来去求|z−5|即可解决.
z=(a−2i)(1+3i)=(a+6)+(3a−2)i，
则有，a+6+3a−2=12，解得a=2，
则z=8+4i，z−5=3+4i，故|z−5|=32+42=5．
故选：C
8、已知a，b∈R，若a2+b+a−bi>2 (i为虚数单位)，则实数a的取值范围是（    ）
A．a>2或a<−1B．a>1或a<−2C．−1<a<2D．−2<a<1
答案：B
分析：依题意复数的虚部为零，实部大于2，即可得到不等式，解得即可；
解：因为a，b∈R， a2+b+a−bi>2，所以a2+b>2a−b=0，即a2+a>2，解得a>1或a<−2
故选：B
多选题
9、设i为虚数单位，若1+in=1−in，则n可以是（    ）
A．2020B．2022C．2024D．2026
答案：AC
分析：根据复数的乘方可得1+i2=2i，1−i2=−2i，进而即得n2为偶数，即得．
∵1+i2=2i，1−i2=−2i
∴1+in=1+i2n2=2in2，1−in=1−i2n2=−2in2
要使1+in=1−in，则2in2=−2in2，
则n2为偶数．
故选：AC．
10、若复数z满足1+iz=3+i（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为z，则（    ）
A．z=5B．z的实部是2
C．z的虚部是1D．复数z在复平面内对应的点在第一象限
答案：BD
分析：首先根据1+iz=3+i计算出z，再计算出其共扼复数为z即可.
由1+iz=3+i⇒z=3+i1+i=2−i
所以z=2+i
对于A答案z=22+12=5，故A错误.
对于B答案z=2−i的实部是2，故B对.
对于C答案z=2−i的虚部为−1，故C错误.
对于D答案z=2+i复平面内对应的点为2,1在第一象限，故D对.
故选：BD
11、已知方程x2+2x−a=0，其中a<0，则在复数范围内关于该方程的根的结论错误的是（    ）
A．该方程一定有一对共轭虚根B．该方程可能有两个正实根
C．该方程两根的实部之和等于−2D．若该方程有虚根，其虚根的模一定小于1
答案：ABD
分析：一元二次方程的根与判别式Δ有关,令Δ≥0即可判断有实数根的情况；当Δ<0时,求得两个虚数根，即可判断选项.
因为方程x2+2x−a=0,a＜0，判别式Δ=4+4a
当Δ≥0时,即a≥−1时方程有实数根，所以A错误;
由韦达定理可知两个实数根的和为−2，所以不可能有两个正实数根，所以B错误;
当Δ<0时，方程有两个虚数根，由求根公式可得x=−1±−4+4a2i，所以两个根的实部和为−2，故C正确；
虚数根的模为1+−4+4a22＞1，所以虚数根的模一定大于1，故D错误.
故选：ABD
12、已知z1与z2是共轭虚数，以下四个命题一定正确的是（    ）
A．z12<|z2|2B．z1⋅z2=|z2|2
C．z1+z2∈RD．z1z2∈R
答案：BC
分析：设出复数z1,z2，根据复数的运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
由题意，复数z1与z2是共轭虚数，设z1=a+bi、z2=a−bi，a、b∈R且b≠0，
则z12=a2−b2+2abi，当a≠0时，由于复数不能比较大小，∴A选项不一定正确，
又由z1⋅z2=a2+b2、|z2|2=a2+b2，∴z1⋅z2=|z2|2，∴B选项一定正确；
由z1+z2=2a∈R，∴C选项一定正确，
由z1z2=a+bia−bi=(a+bi)2(a−bi)(a+bi)=a2−b2a2+b2+2aba2+b2i不一定是实数，∴D选项不一定正确.
故选：BC.
填空题
13、 3i−12018=______.
答案：−220171+3i
解析：利用3i−13=8，3i−12018=3i−13i−13i−16733i−1即得解.
3i−12018=3i−13i−13i−16733i−1=86733i−1=86733i+13i−13i+1
=86733i+1−4=−220171+3i.
所以答案是：−220171+3i
小提示：本题考查了复数的幂指数运算，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.
14、已知z∈C，且z−2−2i=1，（i为虚数单位），则z+2−i的最大值为______.
答案：17+1##1+17
分析：结合复数的几何意义得到z−2−2i=1，表示以C2,2为圆心，1为半径的圆，而z+2−i表示点M−2,1与圆上点的距离，进而根据圆的几何性质即可求出结果.
z−2−2i=1表示以C2,2为圆心，r=1为半径的圆，
则圆心C到点M−2,1的距离＝d=42+12＝17，
则z+2−i的最大值为d+r=17+1.
所以答案是：17+1.
15、已知复数2+i和−3−i的辐角主值分别为α,β，则tan(α+β)=__________．
答案：1
分析：由题设条件可得tanα=12,tanβ=13，代两角和的正切公式即可求解
由题意，复数2+i和−3−i的辐角主值分别为α,β，则tanα=12,tanβ=13，
所以tanα+β=tanα+tanβ1−tanαtanβ=12+131−12×13=1
所以答案是：1

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