全国高中数学第三章函数的概念与性质考点总结.pdf

(名师选题名师选题)全国通用版高中数学第三章函数的概念与性质考点总结全国通用版高中数学第三章函数的概念与性质考点总结 单选题 1、已知函数()的定义域为 R，且(+)+()=()(),(1)=1，则22=1()=（）A3B2C0D1 答案：A 分析：法一：根据题意赋值即可知函数()的一个周期为6，求出函数一个周期中的(1),(2),(6)的值，即可解出 方法一：赋值加性质 因为(+)+()=()()，令=1,=0可得，2(1)=(1)(0)，所以(0)=2，令=0可得，()+()=2()，即()=()，所以函数()为偶函数，令=1得，(+1)+(1)=()(1)=()，即有(+2)+()=(+1)，从而可知(+2)=(1)，(1)=(4)，故(+2)=(4)，即()=(+6)，所以函数()的一个周期为6因为(2)=(1)(0)=1 2=1，(3)=(2)(1)=1 1=2，(4)=(2)=(2)=1，(5)=(1)=(1)=1，(6)=(0)=2，所以 一个周期内的(1)+(2)+(6)=0由于 22 除以 6 余 4，所以()22=1=(1)+(2)+(3)+(4)=1 1 2 1=3故选：A 方法二：【最优解】构造特殊函数 由(+)+()=()()，联想到余弦函数和差化积公式 cos(+)+cos()=2coscos，可设()=cos，则由方法一中(0)=2,(1)=1知=2,cos=1，解得cos=12，取=3，所以()=2cos3，则(+)+()=2cos(3+3)+2cos(3 3)=4cos3cos3=()()，所以()=2cos3符合条件，因此()的周期=23=6，(0)=2,(1)=1，且(2)=1,(3)=2,(4)=1,(5)=1,(6)=2，所以(1)+(2)+(3)+(4)+(5)+(6)=0，由于 22 除以 6 余 4，所以()22=1=(1)+(2)+(3)+(4)=1 1 2 1=3故选：A【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.2、已知三次函数()=23+32+(,R)，且(2020)=2020，(2021)=2021，(2022)=2022，则(2023)=（）A2023B2027C2031D2035 答案：D 分析：根据题意，构造函数()=()，根据(2020)=(2021)=(2022)=0可以知道()=2(2020)(2021)(2022)，进而代值得到答案.设()=()，则(2020)=(2021)=(2022)=0，所以()=2(2020)(2021)(2022)，所以(2023)=2 3 2 1=12，所以(2023)=12+2023=2035.故选：D.3、若函数()=2 +10在(2,1)上是减函数，则实数m的取值范围是（）A2,+)B4,+)C(,2D(,4 答案：A 分析：结合二次函数的对称轴和单调性求得的取值范围.函数()=2 +10的对称轴为=2，由于()在(2,1)上是减函数，所以2 1 2.故选:A 4、已知函数()=(2 1)31是幂函数，对任意的1,2(0,+)且1 2，满足(1)(2)12 0，若,+0 所以函数()为(0,+)的增函数，故=2 所以()=7，又()=()，所以()为单调递增的奇函数 由+0，则 ，所以()()=()则()+()0,(1)(2)(1 2)0，属中档题.5、设为实数，定义在R上的偶函数()满足：()在0,+)上为增函数；(2)(+1)，则实数的取值范围为（）A(,1)B(13,1)C(1,13)D(,13)(1,+)答案：B 分析：利用函数的奇偶性及单调性可得|2|+1|，进而即得.因为()为定义在R上的偶函数，在0,+)上为增函数，由(2)(+1)可得(|2|)(|+1|)，|2|+1|，解得13 0，解得 2且 3，所以()的定义域为(2,3)(3,+).故选：C.小提示：具体函数定义域的常见类型：（1）分式型函数，分母不为零；（2）无理型函数，偶次方根被开方数大于等于零；（3）对数型函数，真数大于零；（4）正切型函数，角的终边不能落在y轴上；（5）实际问题中的函数，要具有实际意义.7、已知定义在 R 上的函数()满足(+2)=(+4)，且(+1)是奇函数，则（）A()是偶函数 B()的图象关于直线=12对称 C()是奇函数 D()的图象关于点(12,0)对称 答案：C 分析：由周期函数的概念易知函数()的周期为 2，根据图象平移可得()的图象关于点(1,0)对称，进而可得奇偶性.由(+2)=(+4)可得 2 是函数()的周期，因为(+1)是奇函数，所以函数()的图象关于点(1,0)对称，所以()=(2 )，()=()，所以()是奇函数，故选：C.8、已知函数()的定义域为(3,5)，则函数(2+1)的定义域为（）A(1,2)B(7,11)C(4,16)D(3,5)答案：A 分析：根据3 2+1 5求解即可 ()的定义域为(3,5)，3 5，由3 2+1 5，得1 2，则函数(2+1)的定义域为(1,2)故选：A.9、已知(+1)=5，则(0)=（）A9B10C11D12 答案：D 分析：根据(+1)=5，利用整体思想求出()的解析式，求得(0)，从而即求出(0)解：因为(+1)=5=(+1)6，所以()=6，(0)=6，所以(0)=(6)=12.故选：D 10、函数()=2+5+6+1的定义域（）A(,1 6,+)B(,1)6,+)C(1,6D2,3 答案：C 分析：解不等式组2+5+6 0+1 0得出定义域.2+5+6 0+1 0，解得1 6 即函数()的定义域(1,6 故选：C 11、若函数()=(21)(+)为奇函数，则=（）A12B23C34D1 答案：A 分析：根据奇函数的定义可得(21)(+)=(21)(+)，整理化简可求得a的值，即得答案.由函数()=(21)(+)为奇函数，可得()=()，所以(21)(+)=(21)(+)，所以(2 1)(+)=(2 1)(+)，化简得2(2 1)2=0恒成立，所以2 1=0，即=12,经验证()=(21)(+12)=2421，定义域关于原点对称，且满足()=()，故=12；故选:A 12、定义在 R 上的偶函数()满足：对任意的1,2 0,+),(1 2)，有(2)(1)21 0的解集是（）A(2,2)B(2,0)(2,+)C(,2)(0,2)D(,2)(2,+)答案：C 分析：依题意可得()在0,+)上单调递减，根据偶函数的性质可得()在(,0)上单调递增，再根据(2)=0，即可得到()的大致图像，结合图像分类讨论，即可求出不等式的解集；解：因为函数()满足对任意的1,2 0,+),(1 2)，有(2)(1)21 0，即()在0,+)上单调递减，又()是定义在 R 上的偶函数，所以()在(,0)上单调递增，又(2)=0，所以(2)=(2)=0，函数的大致图像可如下所示：所以当2 0，当 2时()0等价于()0 0 或()0 0，解得0 2或 0，0，且+=1，则1+23的最大值是_ 答案：32 分析：利用 0，0，且+=1，求出的范围，将1+23消元得1324+2，利用二次函数的最值及倒数法则即可求得1+23的最大值.解：因为 0，0，且+=1，所以 (0,1),(0,1)，1+2 3=11+3=11+(1 )(1 3)=1324+2，当=23时，32 4+2取最小值23，所以1324+2取最大值32，故1+23的最大值是32.所以答案是：32.14、函数=7+6 2的定义域是_.答案：1,7.分析：由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.由已知得7+6 2 0,即2 6 7 0 解得1 7，故函数的定义域为1,7.小提示：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可 15、已知幂函数()的图象过点(2,4)，则(1)=_ 答案：1 分析：根据给定条件，求出幂函数的解析式即可计算作答.依题意，设()=，为常数，则2=4，解得=2，即()=2，所以(1)=1.所以答案是：1 16、函数()=2+4 12的单调减区间为_.答案：(,6#(,6)分析：优先考虑定义域，在研究复合函数的单调性时，要弄清楚它由什么函数复合而成的，再根据“同增异减”可求解.函数()=2+4 12是由函数()=和()=2+4 12组成的复合函数，2+4 12 0，解得 6或 2，函数=()的定义域是|6或 2，因为函数()=2+4 12在(，6单调递减，在2,+)单调递增，而()=在0,+)上单调递增，由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数()的单调减区间(,6 所以答案是：(,6.17、函数=2 1的单调递减区间为_.答案：(,1(或(,1)都对)解析：利用复合函数的单调性，同增异减，即可得到答案；令=2 1，则=，=2 1在(,1)单调递减，=在(0,+)单调递增，根据复合函数的单调性可得：=2 1在(,1)单调递减，所以答案是：(,1).解答题 18、某汽车公司购买了4辆大客车用于长途客运，每辆200万元，预计每辆客车每年收入约100万元，每辆客车第一年各种费用约为16万元，从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元.（1）写出4辆客车运营的总利润(万元)与运营年数()的函数关系式：（2）这4辆客车运营多少年，可使年平均运营利润最大？最大利润是多少？答案：（1）=16(22+23 50)；（2）这 4 辆客车运营5年，可使年平均运营利润最大，最大利润为48 万元.分析：（1）由题知，每辆车年总收入为100万元，总支出为200+16 (1+2+3+)，进而得利润的表达式=16(22+23 50)；（2）结合（1）得年平均运营利润为=1623 2(+25)，再根据基本不等式求解即可得答案.解：（1）依题意得，每辆车年总收入为100万元，总支出为200+16 (1+2+3+)=200+16(1+)2=200+8(+1)，所以4辆客车运营的总利润=4100 200 8(+1)=16(22+23 50).（2）年平均运营利润为=16(2+23 50)=1623 2(+25)，因为 ，所以+25 2 25=10，当且仅当=5时，等号成立，此时 16 (23 2 10)=48，所以这 4 辆客车运营5年，可使年平均运营利润最大，最大利润为 48 万元.19、已知幂函数()=(2 2+2)32()是偶函数，且在(0,+)上单调递增.（1）求函数()的解析式；（2）若(2 1)0，0 3，所以=1或 2 所以()=2；（2）由（1）偶函数()在0,+)上递增，(2 1)(2 )(|2 1|)(|2|)|2 1|2|2|2 1 0,0，3+1+2+1=112(3+1+2+1)2(+1)+3(+1)=112(12+9(+1)+1+2(+1)+1)112(12+29(+1)+14(+1)+1)=2，当且仅当9(+1)+1=4(+1)+1，即=2,=1时等号成立 所以3+1+2+1的最小值是 2 20、已知函数()=21+1(1)试判断函数()在区间(1,+)上的单调性，并证明；(2)求函数()在区间2,+)上的值域.答案：(1)单调递增，证明见解析(2)1,2)分析：（1）利用函数单调性的定义证明即可；（2）利用函数的单调性求值域.（1）解：函数()=21+1=2(+1)3+1=2 3+1在(1,+)上的为增函数，理由如下：任取1,2(1,+)，且1 2，有(1)(2)=2 31+1 2+32+1=32+131+1=3(1 2)(1+1)(2+1)1 1 2，1 2 0,2+1 0 (1)(2)0即(1)(2)函数()在区间(1,+)上单调递增（2）由（1）可知函数()在区间2,+)上单调递增，()(2)=1，又 2,+)时，3+1 0，2 3+1 2 1 ()2 函数()的值域为1,2).