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双基限时练(十四)
一、选择题
1．在不等边△ABC中，若a2<b2＋c2，则A的取值范围是( )
A．90°<A<180° B．45°<A<90°
C．60°<A<90° D．0°<A<90°
解析 由cosA＝，a2<b2＋c2，知cosA>0.
答案 D
2．已知一个三角形三边分别为a，b，，则此三角形中的最大角为( )
A．30° B．120°
C．60° D．150°
解析 明显最大，设最大角为θ，
则cosθ＝＝－.
又θ为三角形的内角，所以θ＝120°.
答案 B
3．三角形的两边分别是3和5，它们夹角的余弦是方程5x2－7x－6＝0的根，则三角形的另一边长为( )
A．52 B．2
C．16 D．4
解析 由5x2－7x－6＝0，得x＝2或x＝－，
由题意可得cosα＝－.设另一边为c
由余弦定理，得c2＝9＋25－2×3×5×＝52.
∴c＝2.
答案 B
4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为( )
A. B.
C.或π D.或π
解析 由a2＋c2－b2＝ac，
得＝＝cosB，得B＝.
答案 A
5．在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若C＝120°，c＝a，则( )
A．a>b
B．a<b
C．a＝b
D．a与b的大小关系不能确定
解析 由c2＝a2＋b2－2abcos120°，c＝a，得a2－b2－ab＝0，得b＝<a.
答案 A
6．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则边长a等于( )
A．13 B.
C．21 D.
解析 由S△ABC＝bc·sinA＝×c＝，
知c＝4，由余弦定理可知
a2＝b2＋c2－2bc·cosA＝1＋16－2×4×＝13.
答案 B
二、填空题
7．在△ABC中，A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若sinA:sinB:sinC＝5:7:8，则a:b:c＝________，B的大小是________．
解析 (1)利用正弦定理．
(2)利用余弦定理．
答案 5:7:8:
8．已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2sin2＋cos2C＝1，a＝1，b＝2，则角C＝________，c＝________.
解析 ∵2sin2＋cos2C＝1，
∴cos2C＝1－2sin2＝cos(A＋B)＝－cosC.
∴2cos2C＋cosC－1＝0，得cosC＝，或cosC＝－1.
∵C为三角形的内角，
∴cosC＝，C＝.
由余弦定理得c＝＝.
答案
9．在△ABC中，||＝7，||＝3，||＝5，则S△ABC＝________.
解析 由余弦定理，
得cosA＝＝－.
∴sinA＝，故S△ABC＝.
答案
三、解答题
10．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，且c＝2a，求cosB的值．
解 由余弦定理得cosB＝＝＝＝.所以cosB的值为.
11．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，已知a2－c2＝2b，且sinB＝4cosAsinC，求b.
解 由余弦定理，得a2－c2＝b2－2bccosA.
又a2－c2＝2b，b≠0，
∴b＝2ccosA＋2.①
由正弦定理＝，又sinB＝4cosAsinC，
∴b＝4ccosA.②
由①②可知，b＝4.
12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知c＝2，C＝.若△ABC的面积等于，求a，b.
解 由余弦定理，得a2＋b2－ab＝4，又由于△ABC的面积等于，所以absinC＝，得ab＝4.联立方程组解得a＝2，b＝2.
思 维 探 究
13．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，tanC＝3.
(1)求cosC；
(2)若·＝，且a＋b＝9，求c.
解 (1)∵tanC＝3，∴＝3.
又∵sin2C＋cos2C＝1，解得cosC＝±.
∵tanC>0，∴C是锐角．∴cosC＝.
(2)∵·＝，∴abcosC＝，∴ab＝20.
又∵a＋b＝9，∴a2＋2ab＋b2＝81.
∴a2＋b2＝41.∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝36.
∴c＝6.
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