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双基限时练(十二)
一、选择题
1．下列说法中错误的是( )
A．假如α⊥β，那么α内的全部直线都垂直β
B．假如一条直线垂直于一个平面，那么此直线必垂直于这个平面内的全部直线
C．假如一个平面通过另一个平面的垂线，那么两个平面相互垂直
D．假如α不垂直于β，那么α内肯定不存在垂直于β的直线
解析 依据两平面垂直的性质定理，可知A不对，故选A.
答案 A
2．若l，m，n是互不相同的空间直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是( )
A．若α∥β，lα，nβ，则l∥n
B．若α⊥β，lα，则l⊥β
C．若l⊥n，m⊥n，则l∥m
D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β
解析 由l⊥α，l∥β，知在β内肯定能找到一条直线l′使得l′∥l，又l⊥α，∴l′⊥α，故α⊥β，故D正确．
答案 D
3.
在空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列推断正确的是( )
A．平面ABD⊥平面BDC
B．平面ABC⊥平面ABD
C．平面ABC⊥平面ADC
D．平面ABC⊥平面BED
解析 ∵AB＝BC，E为AC的中点，∴AC⊥BE，同理AC⊥ED，又BE∩ED＝E，∴AC⊥面BED，又AC面ABC，
∴面ABC⊥面BED.
答案 D
4．在正三棱锥P－ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，有下列三个论断：①面APC⊥面PBD；②AC∥面PDE；③AB⊥面PDC，其中正确论断的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 ①不正确，②③正确．
答案 C
5．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B—PA—C的平面角是( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
解析 ∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC.
∴∠BAC为二面角B—PA—C的平面角，又∠BAC＝90°，故答案为A.
答案 A
6．在△ABC所在平面α外一点P满足PA＝PB＝PC，则点P在α内的射影是△ABC的( )
A．垂心 B．内心
C．外心 D．重心
解析 设O为点P在平面α内的射影，∴PO⊥AO，PO⊥OC，PO⊥OB.又PA＝PB＝PC，∴OB＝OC＝OA，∴O为△ABC的外心．
答案 C
二、填空题
7．如图，四边形ABCD为正方形，PA⊥面ABCD，则平面PBD与面PAC的关系是________．
解析 ∵PA⊥面ABCD，BD面ABCD，
∴BD⊥AP.
又ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，又AC∩AP＝A，
∴BD⊥面PAC，而BD面PBD，
∴面PBD⊥面PAC.
答案 面PBD⊥面PAC
8．设直线l和平面α，β且lα，lβ，给出下列三个论断：①l⊥α；②α⊥β；③l∥β，从中任取两个作为条件，其余一个作为结论，在构成的各命题中，写出你认为正确的一个命题________．
答案 ①③⇒②
9．AB是圆O的直径，C是圆上异于A，B的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中共有________个直角三角形．
解析 ∵PA⊥面ABC，
∴△PAB，△PAC均为直角三角形，又AB为直径，
∴AC⊥BC，∴△ABC为直角三角形，且BC⊥面PAC，
∴△PBC为直角三角形．
答案 4
三、解答题
10．如图四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥面ABCD，E在棱PB上，求证：面AEC⊥面PBD.
证明 ∵PD⊥面ABCD，AC面ABCD，∴AC⊥PD.
又ABCD为正方形，∴AC⊥BD.
又PD∩BD＝D，∴AC⊥面PBD.
又AC面AEC，∴面AEC⊥面PBD.
11．如图，DA⊥面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥DB，点F在DC上，求证：平面DBC⊥平面AEF.
证明 ∵DA⊥平面ABC，BC平面ABC，
∴DA⊥BC.
∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.
∵DA∩AB＝A，∴BC⊥平面DAB.
∵AE平面DAB，∴BC⊥AE.
又∵AE⊥DB，DB∩BC＝B，
∴AE⊥平面DBC.
又∵AE平面AEF，
∴平面DBC⊥平面AEF.
12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝BC，D是AC的中点．
(1)求证：B1C∥面A1BD；
(2)求证：面A1BD⊥面ACC1A1.
证明 (1)设AB1与A1B相交于点E，连接DE，则E为AB1的中点．
在△AB1C中，D为AC的中点，E为AB1的中点，
∴DE∥B1C.
又∵DE平面A1BD，B1C平面A1BD，
∴B1C∥面A1BD.
(2)在△ABC中，AB＝BC，D是AC的中点，
∴BD⊥AC.
∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BD.
又∵AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面ACC1A1.
又BD平面A1BD，∴面A1BD⊥面ACC1A1.
思 维 探 究
13．如图所示，已知在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0<λ<1)．
求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.
证明 ∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
∵CD⊥BC且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
又∵＝＝λ(0<λ<1)，∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC.又EF平面BEF，
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.
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