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双基限时练(十一)
一、选择题
1．假如一条直线与一个梯形的两腰所在的直线垂直，那么这条直线与这个梯形所在平面的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C．直线在平面内 D．不确定
解析 梯形的两腰所在的直线为相交直线．
答案 A
2．直线l与平面α垂直，则( )
A．l与平面α内的某几条直线垂直
B．l与平面α内的一条直线垂直
C．l与平面α内的很多条直线垂直
D．l与平面α内的任意一条直线垂直
答案 D
3．如图，ABCD—A1B1C1D1为正方体，下面结论中错误的个数是( )
①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；
③AC1⊥平面CB1D1.
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析 由于BD∥B1D1，故①正确；由于BD⊥AC，BD⊥CC1，故BD⊥面ACC1，故BD⊥AC1，故②正确；由于AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故AC1⊥面CB1D1，故①②③全正确，答案为A.
答案 A
4．如图△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形，且∠BAC＝60°，下列说法中错误的是( )
A．AD⊥面BDC B．BD⊥面ADC
C．DC⊥面ABD D．BC⊥面ABD
解析 由题可知，AD⊥BD，AD⊥DC，∴AD⊥面BDC，又△ABD与△ADC均为以D为直角顶点的等腰直角三角形，∴AB＝AC，BD＝DC＝AB.
又∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，故BC＝AB＝BD，
∴∠BDC＝90°，即BD⊥DC.
∴BD⊥面ADC，同理DC⊥面ABD.
∴A、B、C项均正确．
答案 D
5．在四周体P—ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝BC＝CA，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，下列结论中不成立的是( )
A．BC∥面PDF B．DF⊥面PAE
C．BC⊥面PAE D．AE⊥面APC
解析 ∵D，F分别为AB，AC的中点，
∴DF∥BC，故BC∥面PDF，故A项正确，
又AB＝AC，PB＝PC，E为BC的中点，
∴AE⊥BC，PE⊥BC，∴BC⊥面PAE，
又DF∥BC，∴DF⊥面PAE，故B、C项正确，由于AE与AP不垂直，故AE与面APC不垂直．
答案 D
6.下列说法中错误的是( )
①假如一条直线和平面内的一条直线垂直，那么该直线与这个平面必相交；②假如一条直线与某一平面的垂线平行，那么该直线垂直于这个平面；③假如一条直线和一个平面垂直，那么该直线垂直于平面内的任何直线；④若一条直线与平面的垂线垂直，则该直线肯定在这个平面内．
A．①② B．①④
C．①③④ D．②④
解析 由于当直线与平面平行时，平面内仍存在直线与该直线垂直，故①不正确，②明显正确，依据线面垂直的定义可知，③正确；当一条直线与平面的垂线垂直时，这条直线可能在平面内也可能与平面平行，故④不正确．
答案 B
二、填空题
7．下列命题：
①过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直；②若a∥b，a⊥α，则b⊥α；③若直线a与平面α的两条直线垂直，则直线a⊥α；④若a∥α，α∥β，则a∥β；⑤若a∥α，b∥α，则a∥b；⑥若a⊥α，b⊥α，则a∥b，其中正确命题有________．
答案 ①②⑥
8．在三棱锥P—ABC中，最多有________个直角三角形．
解析 不妨设PA⊥AB，PA⊥AC，则△APB，△PAC为直角三角形，由线面垂直的判定定理，可得PA⊥面ABC，由线面垂直的定义，可知PA⊥BC，若∠ABC＝90°，则BC⊥AB，
∴BC⊥面PAB，即∠PBC＝90°，
∴△ABC，△PBC为直角三角形，故直角三角形最多有4个．
答案 4
9．如图，在四周体ABCD中，BC＝CD，AD⊥BD，E，F分别为AB，BD的中点，则BD与面CEF的位置关系是________．
解析 ∵E，F为AB，BD的中点，
∴EF∥AD.又AD⊥BD，∴EF⊥BD.
又BC＝CD，F为BD的中点，
∴CF⊥BD，又EF∩CF＝F，
∴BD⊥面CEF.
答案 BD⊥面CEF
三、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱B1C1，B1B的中点．
求证：CF⊥面EAB.
证明 在平面B1BCC1中，
∵E，F分别是B1C1，B1B的中点，∴△BB1E≌△CBF，
∴∠B1BE＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE.
又AB⊥平面B1BCC1，CF⊂平面B1BCC1，
∴AB⊥CF，又AB∩BE＝B，
∴CF⊥平面EAB.
11．如图所示，空间四边形ABCD中，BC＝AC，AD＝BD.作BE⊥CD于E，AH⊥BE于H，求证：AH⊥面BCD.
证明 取AB的中点F，连接CF，DF，
∵BC＝AC，∴CF⊥AB.
∵BD＝AD，∴DF⊥AB.
又CF∩DF＝F，
∴AB⊥面CDF.
又CD面CDF，
∴AB⊥CD.又BE⊥CD，
AB∩BE＝B，
∴CD⊥面ABE.
∵AH面ABE，
∴CD⊥AH.
∵AH⊥BE，又BE∩CD＝E，
∴AH⊥面BCD.
12．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM.
证明 设圆O所在平面为α，则已知PA⊥α，且BMα，
∴PA⊥BM.
又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，
∴AM⊥BM.由于PA∩AM＝A，
∴BM⊥平面PAM.而AN平面PAM，∴BM⊥AN.
又PM⊥AN，PM∩BM＝M，∴AN⊥平面PBM.
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13．已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，F为BB1的中点，M为线段AC1的中点，
求证：(1)直线MF∥面ABCD；
(2)MF⊥面A1ACC1.
证明 (1)取AC的中点O，连接MO，
∵M，O为AC1，AC的中点，
∴MO綊CC1.
又F为BB1的中点，ABCD—A1B1C1D1为直四棱柱，
∴BF綊CC1.
∴MO綊BF.
∴四边形MOBF为平行四边形．
∴MF∥BO，又MF⃘面ABCD，BO面ABCD，
∴MF∥面ABCD.
(2)∵F为BB1的中点，∴AF＝C1F，又M为AC1的中点，∴MF⊥AC1.
又ABCD为菱形，∴BO⊥AC.
又MF∥BO，∴MF⊥AC.
又AC1∩AC＝A，∴MF⊥面A1ACC1.
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