2020-2021学年北师大版高中数学必修2双基限时练3.docx

双基限时练(三)
一、选择题
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中两条线段结论错误的是(　　)
A．原来相交的仍相交　　 B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点
解析　斜二测画法保平行，保相交，保平行线段的比，但不保垂直．
答案　B
2．如图所示的直观图中A′B′∥y′轴，B′C′∥A′D′∥x′轴，且B′C′≠A′D′.其对应的平面图形ABCD是(　　)

A．任意梯形 B．直角梯形
C．任意四边形 D．平行四边形
解析　由直观图的画法，可知原四边形ABCD为直角
梯形．
答案　B
3．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，如图若O′B′＝1，那么原△ABO的面积是(　　)

A. B.
C. D．2
解析　由斜二测画法，可知原三角形为直角三角形，且∠AOB＝90°，OB＝1，OA＝2O′A′＝2，

∴S△AOB＝×1×2＝.
答案　C
4.

如图所示为等腰直角三角形，其中AB＝AC＝2，则△ABC的直观图的面积为(　　)
A．2 B.
C. D．2

解析　△ABC的直观图如图所示，则S△A′B′C′＝×2×1×sin45°＝.
答案　C
5．已知△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，如图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是(　　)

A．AB B．AD
C．BC D．AC
解析　由斜二测画法，可知原三角形ABC为直角三角形，AC为斜边，D为BC的中点，故AC>AD，故最长的线段为AC，故答案为D.
答案　D
6．已知等边三角形的边长为2，那么它的直观图的面积为(　　)
A. B.
C. D.
解析　如图①②分别为平面图与直观图，

由②可知，A′B′＝2，h′＝C′O′sin45°＝×＝，S△A′B′C′＝××2＝.
答案　C
二、填空题
7．在一等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＝45°，DC＝2，AD＝，建立如图所示的直角坐标系，其中O为AB的中点，则其直观图的面积为________．

解析　由图可知AB＝DC＋2ADcos45°＝4，EO＝sin45°＝1，其直观图如图所示，其中A′B′＝4，C′D′＝2，高h′＝E′O′.sin45°＝，∴SA′B′C′D′＝＝.

答案　
8．一个水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．

解析　由斜二测画法，知△ABC为直角三角形，AB＝＝＝5，
∴AB边上的中线为.
答案　
9．如图所示，ABCD为边长为2的正方形，其中B(2,2)，则在斜二测画法中，直观图A′B′C′D′中B′点到x′轴的距离为________．

解析　在直观图中，A′B′C′D′是有一个角为45°的平行四边形，B′到x′轴的距离为d＝1×sin45°＝.
答案　

三、解答题
10．把下图水平放置的直观图P′Q′R′S′还原为真实图形．若S′R′＝2，P′Q′＝4，S′P′＝2，S′R′∥P′Q′∥O′x′，P′S′∥O′y′，试求其真实图形PQRS的面积．

解　由斜二测画法，知P′Q′∥O′x′，P′S′∥O′y′，R′S′∥O′x′.
故PQ∥Ox，PS∥Oy，RS∥Ox，且PS＝2P′S′，PQ＝P′Q′，RS＝R′S′.

故真实图形如图所示．
由上知PQ＝P′Q′＝4，SR＝S′R′＝2，SP＝2S′P′＝4，且四边形PQRS是直角梯形，其面积S＝(SR＋PQ)·SP＝ (2＋4)×4＝12.
11．已知正△ABC的边长为a，求△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积．
解　由斜二测画法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，
在图②中，作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝O′C′＝a，
所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.

12．画出长为5，宽为4，高为5的长方体的直观图．
解　(1)画出x轴，y轴，z轴三轴相交于O点，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，∠yOz＝90°.
(2)在x轴上取OA＝5，OC＝2，过A作AB∥OC，过C作CB∥OA，则四边形OABC为下底面．
(3)在z轴上取OO′＝5，过O′作O′x′∥Ox，O′y′∥Oy，建立坐标系x′O′y′，重复(2)的步骤作出上底面O′A′B′C′.
(4)连接AA′，BB′，CC′，OO′，即得到长方体OABC－O′A′B′C′的直观图．

思 维 探 究
13．已知水平放置的三角形ABC是正三角形，其直观图的面积为a2，求△ABC的周长．
解　图△ABC是△A′B′C′的原图形，设△ABC的边长为x，由斜二测画法，知A′B′＝AB＝x，O′C′＝OC＝x，作C′D′⊥A′B′，垂足为D′，

∵∠C′O′D′＝45°，
∴C′D′＝O′C′＝×x＝x，
∴S△A′B′C′＝A′B′×C′D′＝x×x＝x2.
∴x2＝a2，∴x＝2a，
∴△ABC周长为3×2a＝6a.