2021高中数学(人教A版)选修2-3课时作业20.docx

课时作业(二十)
1．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取到次品的个数，则E(X)等于(　　)
A.　　　　　 B.
C. D．1
答案　A
解析　离散型随机变量X听从N＝10，M＝3，n＝2的超几何分布，∴E(X)＝＝＝.
2．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭．假设在各交通岗遇到红灯的大事是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的期望为(　　)
A．0.4 B．1.2
C．0.43 D．0.6
答案　B
解析　∵途中遇红灯的次数X听从二项分布，即
X～B(3,0.4)，∴E(X)＝3×0.4＝1.2.
3．袋子装有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，用X表示取出的球的最大号码，则E(X)＝(　　)
A．4 B．5
C．4.5 D．4.75
答案　C
4．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为ξ，则ξ的期望是(　　)
A．7.8 B．8
C．16 D．15.6
答案　A
解析　按含有数字5分类，抽出卡片上的数字有三种状况：不含5，(2,2,2)；含1张5，(5,2,2)；含2张5，(5,5,2)，因此ξ＝6,9,12，然后计算出分布列，进而利用均值公式求解．
5．若随机变量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值是(　　)
A．2×0.44 B．2×0.45
C．3×0.44 D．3×0.64
答案　C
6．某一供电网络，有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是(　　)
A．np(1－p) B．np
C．n D．p(1－p)
答案　B
7．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)1－k(k＝0,1,0<p<1)，则E(X)＝________.
答案　p
解析　随机变量X的分布列为
X
0
1
p
1－p
p
它是两点分布，∴E(X)＝p.
8．一个人有n把钥匙，其中只有一把能打开他的房门，他任凭地进行试开，并将试开不对的钥匙除去，则打开房门所试开次数ξ的数学期望是________．
答案　
解析　由于每次打开他的房门的概率都是，故E(ξ)＝1×＋2×＋…＋n×＝.
9．某公司有5万元资金用于投资开发项目，假如成功，一年后可获得12%；一旦失败，一年后将丢失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
投资成功
投资失败
192次
8次
则该公司一年后估量可获收益的期望是________元．
答案　4 760
解析　依题意X的取值为50 000×12%＝6 000和50 000×(－50%)＝－25 000，
则P(X＝6 000)＝＝，
P(X＝－25 000)＝＝，
故E(X)＝6 000×＋(－25 000)×＝4 760.
10．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．
答案　
解析　设所得两数之积为ξ，则ξ的可能值为0,1,2,4，
P(ξ＝0)＝2××＋2××＋×＝，
P(ξ＝1)＝×＝，
P(ξ＝2)＝2××＝，
P(ξ＝4)＝×＝.
所以

ξ
0
1
2
4
P

所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋4×＝.
11．从4名男生和2名女生中任选3人参与演讲竞赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．
(1)求ξ的分布列；
(2)求ξ的数学期望；
(3)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率．
思路分析　本题是超几何分布问题，可用超几何分布的概率公式求解．
解析　(1)ξ可能取的值为0,1,2.
P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2.
所以，ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P

(2)由(1)，ξ的数学期望为
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.
(3)由(1)，“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为
P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝.
12．某平安生产监督部门对5家小型煤矿进行平安检查(简称安检)，若安检不合格，则必需整改，若整改后经复查仍不合格，则强制关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8.计算(结果精确到0.01)：
(1)恰好有两家煤矿必需整改的概率；
(2)平均有多少家煤矿必需整改；
(3)至少关闭一家煤矿的概率．
解析　(1)每家煤矿必需整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的，所以恰好有两家煤矿必需整改的概率是P1＝C5×(1－0.5)2×0.53＝≈0.31.
(2)由题设，必需整改的煤矿数ξ听从二项分布B(5，0.5)，从而ξ的数学期望E(ξ)＝5×0.5＝2.50，即平均有2.50家煤矿必需整改．
(3)某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是P2＝(1－0.5)×(1－0.8)＝0.1，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9.由题意可知，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，故至少关闭一家煤矿的概率是P3＝1－0.95≈0.41.
13．为了拉动经济增长，某市打算新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．
(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望．
解析　记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为大事Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3，由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3，且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)＝，P(Bi)＝，
P(Ci)＝.
(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率
P＝3！P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6×××＝.
(2)解法一　设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，
由已知，η～B(3，)，且ξ＝3－η，
所以P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝C()3＝，
P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝C()2()＝，
P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝C()()2＝，
P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝C()3＝.
故ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
P

ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
解法二　记第i名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为大事Di，i＝1,2,3.
由已知，D1，D2，D3相互独立，且
P(Di)＝P(Ai＋Ci)＝P(Ai)＋P(Ci)＝＋＝.
所以ξ～B(3，)，即P(ξ＝k)＝C()k()3－k，k＝0,1,2,3.
故ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
P

ξ的数学期望E(ξ)＝3×＝2.
►重点班选做题
14．设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率等可能地取－2， －，－，0，，，2，用ξ表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________.
答案　
解析　
k
－2
－
－
0

2
ξ

1

P

15.某企业2022年工作方案中，对每位员工完成工作任务的嘉奖状况作出如下规定：有一季度完成任务者得奖金300元；有两季度完成任务者得奖金750元；有三季度完成任务者得奖金1 260元；对四个季度均完成任务的员工，嘉奖1 800元；若四个季度均未完成任务则没有奖金．假如每位员工在每个季度里完成任务与否都是等可能的，求企业每位员工在2022年所得奖金的数学期望．
解析　P(X＝0)＝C()0()4＝；
P(X＝300)＝C()1()3＝；
P(X＝750)＝C()2()2＝；
P(X＝1 260)＝C()3()1＝；
P(X＝1 800)＝C()4()0＝.
故X的分布列为
X
0
300
750
1 260
1 800
P

E(X)＝0×＋300×＋750×＋1 260×＋1 800×＝783.75(元)．

1．A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次竞赛的统计，对阵队员之间胜败概率如下：
对阵队员
A队队员胜的概率
B队队员胜的概率
A1对B1

A2对B2

A3对B3

现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最终所得总分分别为ξ、η.
(1)求ξ、η的概率分布；
(2)求E(ξ)，E(η)．
解析　(1)ξ的可能值为3,2,1,0，则P(ξ＝3)＝××＝，
P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝，
P(ξ＝1)＝××＋××＋××＝＝，P(ξ＝0)＝××＝＝.
依据题意ξ＋η＝3，所以P(η＝0)＝P(ξ＝3)＝，P(η＝1)＝P(ξ＝2)＝，P(η＝2)＝P(ξ＝1)＝，P(η＝3)＝P(ξ＝0)＝.
∴ξ，η的分布列为
ξ
3
2
1
0
P

η
0
1
2
3
P

(2)E(ξ)＝，E(η)＝.
2．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人巡游这3个景点的概率分别是0.4、0.5、0.6，且客人是否巡游哪个景点互不影响．设ξ表示客人离开该城市时巡游的景点数与没有巡游的景点数之差的确定值．
(1)求ξ的分布列及数学期望；
(2)记“函数f(x)＝x2－3ξx＋1在区间[2，＋∞)上单调递增”为大事A，求大事A的概率．
解析　(1)分别设“客人巡游甲景点”、“客人巡游乙景点”、“客人巡游丙景点”为大事A1、A2、A3.由已知A1、A2、A3相互独立，P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.6.客人巡游的景点数的可能取值为0、1、2、3.相应地，客人没有巡游的景点数的可能取值为3、2、1、0，所以ξ的可能取值为1、3.
P(ξ＝3)＝P(A1A2A3)＋P( )＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P()P()P()＝2×0.4×0.5×0.6＝0.24，
P(ξ＝1)＝1－0.24＝0.76，所以ξ的分布列为：
ξ
1
3
P
0.76
0.24
E(ξ)＝1×0.76＋3×0.24＝1.48.
(2)由于f(x)＝(x－ξ)2＋1－ξ2，
所以函数f(x)＝x2－3ξx＋1在区间[ξ，＋∞)上单调递增．
要使f(x)在[2，＋∞)上单调递增，当且仅当ξ≤2，即ξ≤，从而P(A)＝P(ξ≤)＝P(ξ＝1)＝0.76.