高中数学(北师大版)选修2-2教案：第4章-知识归纳：定积分的基本性质盘点.docx

定积分的基本性质盘点
一、定积分基本性质
假设下面所涉及的定积分都是存在的，则有
性质1　函数代数和（差）的定积分等于它们的定积分的代数和（差）．即
．
这共性质可推广到有限多个函数代数和的情形．
性质2　被积函数的常数因子可以提到积分号前，即（为常数）．
性质3　不论三点的相互位置如何，恒有．
这性质表明定积分对于积分区间具有可加性．
性质4　若在区间上，，则．
推论1　若在区间上，，则．
推论2　．
性质5　（估值定理）设函数在区间上的最小值与最大值分别为与，则．
证明：由于，由推论1得．
即．
故．
利用这共性质，由被积函数在积分区间上的最小值及最大值，可以估量出积分值的大致范围．
二、定积分性质的应用
例1.比较定积分和的大小．
分析：由都在区间[0，1]，无需求出积分值，只需比较被积函数大小即可．
解：由在区间[0，1]上，有x2≥x3．依据性质4的推论1，知≥．
评注：利用性质，可削减计算量．
例2.计算：．
分析：首先去确定值，分0＜x＜和＜x＜两个区间，分开运算．
解：＝＋
＝(sinx＋cosx)＋(－cosx－sinx)＝(＋1)＋(－1)＝2．
评注：这里用到了定积分对于积分区间具有可加性．
例3.求函数f(x)＝在区间[0，3]上的积分．
分析：先分段，再运用性质．
解：由积分性质，知
＝＋＋＝＋＋
＝＋＋＝．
评注：⑴分段函数在区间[a，b]上积分可分成几段积分的和的形式；
⑵分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，依据原函数分段即可，无需分得过细．
例4.估量定积分的值．
分析：不用求出积分的值，可用估值定理解决．
解：∵当时，，
∴，由此有，，
于是由估值定理得．
评注：运用的估值定理为高校涉及内容，不作要求，可以了解．