东北师大附中高三数学第一轮复习导学案：函数专题--抽象函数B.docx

2021高考数学总复习-函数专题-抽象函数一、例 题选讲1、已知f(2x)定义域是（1，2），则函数f(log2x)的定义域是 ；2、若f(x)是奇函数，且（0，+）上增函数，又f(2)=0，则fx-f(-x)x0的解集是 ；3、已知f(x)是偶函数，并且对定义域内任意x，满足f(x+2)=-1f(x),若当3x0时, f(x)1,且对任意的a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b).(1)求证：f(0)=1；(2)求证：对任意xR，f(x) 0；(3)证明：f(x)是R上的增函数。6、已知f(x)是R上的不恒等于0的函数，且对任意a、bR，有f(ab) = bf(a)+af(b).(1)求f(0)、f(1)的值；(2)推断f(x)的奇偶性，并证明。7、定义在R+上的函数，当x1时, f(x)0, 且对任意的a、bR+，都有f(ab)=f(a)+f(b).(1) f(1)=0;(2)证明：f(x)是R+上的增函数；(3)证明：fxn=nf(x), f(1x)=-f(x) (nN*).8、函数f(x)对任意a、bR，有f(a-b) = f(a)-f(b)+1, 且x0,时, f(x) 1。(1)证明：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)=5,解关于m的不等式f(3m2-m-2)0,时, f(x) 1。(1) 证明：f(x)是R上的增函数；(2)若f(3)=4,解关于a的不等式f(a2+a-5)0,时, f(x)0.(1)推断f(x)的奇偶性，并证明。(2)推断函数f(x)的单调性。(3)若f(1)=-3解关于a的不等式f(a2+a-5)0.(1)推断f(x) 在(-1,1)上的奇偶性，并证明;(2)推断f(x) 在(0,1)上的单调性，并证明;(3)若f15=12 ， 试求f12-f111 -f119 的值。二、课时作业1. 已知函数y = f (x)(xR，x0)对任意的非零实数，恒有f()=f()+f(),试推断f(x)的奇偶性。解：令= -1，=x，得f (-x)= f (-1)+ f (x) 为了求f (-1)的值，令=1，=-1，则f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令=-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) f(-1)=0代入式得f(-x)=f(x),可得f(x)是一个偶函数。2 已知定义在-2，2上的偶函数，f (x)在区间0，2上单调递减，若f (1-m)f (m),求实数m的取值范围分析：依据函数的定义域，-m，m-2,2，但是1- m和m分别在-2，0和0，2的哪个区间内呢？假如就此争辩，将格外简洁，假如留意到偶函数，则f (x)有性质f（-x)= f (x)=f ( |x| )，就可避开一场大规模争辩。解：f (x)是偶函数， f (1-m)f(m) 可得，f(x)在0，2上是单调递减的，于是 ，即 化简得-1m0.(1)求;(2)求和;(3)推断函数的单调性,并证明.（1）解：令，则（2）数列是以为首项,1为公差的等差数列,故=(3)任取,则 =函数是R上的单调增函数.14.函数的定义域为R,并满足以下条件:对任意,有0;对任意,有;.(1)求的值;(2)求证: 在R上是单调减函数;(3)若且,求证:. (1)解: 对任意,有0, 令得,(2)任取任取,则令,故 函数的定义域为R,并满足以下条件:对任意,有0;对任意,有;函数是R上的单调减函数.(3) 由（1）（2）知，而15.已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,.(1)证明:;(2)证明: 在R上单调递减;(3)设A=,B=,若=,试确定的取值范围.证明(1):令,则当时,故,当时,当时,则(2)证明: 任取,则,0,故0是R上的增函数;(2)设为函数=的图象上任一点,则点关于点(的对称点为N(),则,故把代入F得, =-函数=的图象关于点(成中心对称图形.17.已知函数是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线对称.(1)求的值;(2)证明: 函数是周期函数;(3)若求当时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象.17.(1)解:为R上的奇函数, 对任意都有,令则=0(2)证明: 为R上的奇函数, 对任意都有,的图象关于直线对称, 对任意都有, 用代得,即是周期函数,4是其周期.(3)当时，当时，当时，图象如下： y -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x18函数对于x0有意义，且满足条件减函数。（1）证明：；（2）若成立，求x的取值范围。证明：(1)令，则，故（2），令，则， 成立的x的取值范围是。19设函数在上满足，且在闭区间0，7上，只有（1）试推断函数的奇偶性；（2）试求方程=0在闭区间-2005，2005上的根的个数，并证明你的结论解:（1）由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(2)由又故f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解,从而可知函数在0,2005上有402个解,在-2005.0上有400个解,所以函数在-2005,2005上有802个解.20. 已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（xy）f（x）f（y），且当x0时，f（x）0，f（1）2，求f（x）在区间2，1上的值域。解：设，当，即，f（x）为增函数。在条件中，令yx，则，再令xy0，则f（0）2 f（0）， f（0）0，故f（x）f（x），f（x）为奇函数，f（1）f（1）2，又f（2）2 f（1）4， f（x）的值域为4，2。21. 已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）f（y）2 + f（xy），且当x0时，f（x）2，f（3）5，求不等式的解。解：设，当，则， 即，f（x）为单调增函数。 ， 又f（3）5，f（1）3。， 即，解得不等式的解为1 a 3。22. 设函数f（x）的定义域是（，），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。求：（1）f（0）； （2）对任意值x，推断f（x）值的正负。解：（1）令y0代入，则，。若f（x）0，则对任意，有，这与题设冲突，f（x）0，f（0）1。（2）令yx0，则，又由（1）知f（x）0，f（2x）0，即f（x）0，故对任意x，f（x）0恒成立。23. 是否存在函数f（x），使下列三个条件：f（x）0，x N；f（2）4。同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。分析：由题设可猜想存在，又由f（2）4可得a2故猜想存在函数，用数学归纳法证明如下：（1）x1时，又x N时，f（x）0，结论正确。（2）假设时有，则xk1时，xk1时，结论正确。综上所述，x为一切自然数时。24. 设函数yf（x）的反函数是yg（x）。假如f（ab）f（a）f（b），那么g（ab）g（a）g（b）是否正确，试说明理由。解：设f（a）m，f（b）n，由于g（x）是f（x）的反函数，g（m）a，g（n）b，从而，g（m）g（n）g（mn），以a、b分别代替上式中的m、n即得g（ab）g（a）g（b）。25. 己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：当是定义域中的数时，有；f（a）1（a0，a是定义域中的一个数）；当0x2a时，f（x）0。25. 解：（1）f（x）的定义域关于原点对称，且是定义域中的数时有，在定义域中。，f（x）是奇函数。（2）设0x1x22a，则0x2x12a，在（0，2a）上f（x）0，f（x1），f（x2），f（x2x1）均小于零，进而知中的，于是f（x1） f（x2），在（0，2a）上f（x）是增函数。又，f（a）1，f（2a）0，设2ax4a，则0x2a2a，于是f（x）0，即在（2a，4a）上f（x）0。设2ax1x24a，则0x2x12a，从而知f（x1），f（x2）均大于零。f（x2x1）0，即f（x1）f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函数。综上所述，f（x）在（0，4a）上是增函数。