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§1.2 回归分析(一)
课时目标1.把握建立线性回归模型的步骤.2.了解回归分析的基本思想和初步应用．
1．对于n对观测数据(xi，yi)(i＝1,2,3，…，n)，直线方程__________________称为这n对数据的线性回归方程．其中________称为回归截距，______称为回归系数，________称为回归值．
2． ， 的计算公式
3．相关系数r的性质
(1)|r|≤1；
(2)|r|越接近于1，x，y的线性相关程度越强；
(3)|r|越接近于0，x，y的线性相关程度越弱．
一、填空题
1．下列关系中正确的是________(填序号)．
①函数关系是一种确定性关系；
②相关关系是一种非确定性关系；
③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；
④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
2．回归直线 ＝ ＋ x恒经过定点________．
3．为了解决学校二班级平面几何入门难的问题，某校在学校一班级代数教学中加强概念和推理教学，并设有对比班，下表是学校二班级平面几何期中测试成果统计表的一部分，其χ2≈________(保留小数点后两位).
70和70分以下
70分以上
合计
对比班
32
18
50
试验班
12
38
50
4．从某学校随机选取8名女高校生，其身高x(cm)和体重y(kg)的线性回归方程为 ＝0.849x－85.712，则身高172 cm的女高校生，由线性回归方程可以估量其体重为________ kg.
5．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，且y关于x的回归直线的斜率是 ，那么 与r的符号________(填写“相同”或“相反”)．
6．某小卖部为了了解冰糕销售量y(箱)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的冰糕的箱数与当天气温，并制作了对比表(如下表所示)，且由表中数据算得线性回归方程 ＝ x＋ 中的 ＝2，则猜想当气温为25℃时，冰糕销量为________箱.
气温(℃)
18
13
10
－1
冰糕(箱)
64
38
34
24
7．今年一轮又一轮的寒潮席卷全国．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：
月平均气温x(℃)
17
13
8
2
月销售量y(件)
24
33
40
55
由表中数据算出线性回归方程 ＝ x＋ 中的 ≈－2.气象部门猜想下个月的平均气温约为6℃，据此估量，该商场下个月羽绒服的销售量的件数约为______________________．
8．已知线性回归方程为 ＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估量值为________．
二、解答题
9．某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：
月份
产量(千件)
单位成本(元)
1
2
73
2
3
72
3
4
71
4
3
73
5
4
69
6
5
68
(1)求出线性回归方程；
(2)指出产量每增加1 000件时，单位成本平均变动多少？
(3)假定产量为6 000件时，单位成本为多少元？
10．某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：
推销员编号
1
2
3
4
5
工作年限x/年
3
5
6
7
9
推销金额y/万元
2
3
3
4
5
(1)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；
(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估量他的年推销金额．
力气提升
11．下表供应了某厂节能降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对比数据.
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
则依据上表供应的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程是________．
12．以下是某地搜集到的新居屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：
房屋面积(m2)
115
110
80
135
105
销售价格(万元)
24.8
21.6
18.4
29.2
22
(1)画出数据对应的散点图；
(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；
(3)依据(2)的结果估量当房屋面积为150 m2时的销售价格．
1．(1)求线性回归方程的步骤为
①作出散点图；②利用公式计算回归系数 及 的值；③写出线性回归方程．
(2)一般地，我们可以利用线性回归方程进行猜想，这里所得到的值是猜想值，但不是精确值．
2．计算相关系数r可以推断变量x，y的线性相关程度．
§1.2 回归分析(一)
答案
学问梳理
1． ＝ ＋x
作业设计
1．①②④ 2.(，) 3.16.23
4．60.316
解析 当x＝172时， ＝0.849×172－85.712
＝60.316.
5．相同
解析 可以分析 、r的计算公式．
6．70
解析 由线性回归方程必过点(，)，且 ＝2，
得 ＝20，所以当x＝25时， ＝70.
7．46
解析 ∵样本点的中心为(10,38)，
∴38＝－2×10＋ ，∴ ＝58，
∴当x＝6时， ＝－2×6＋58＝46.
8．11.69
解析 y的估量值就是当x＝25时的函数值，
即0.50×25－0.81＝11.69.
9．解 (1)n＝6，xi＝21，yi＝426，＝3.5，
＝71，x＝79，xiyi＝1 481，
＝＝≈－1.82.
＝－ ＝71＋1.82×3.5＝77.37.
线性回归方程为 ＝ ＋ x＝77.37－1.82x.
(2)由于单位成本平均变动 ＝－1.82<0，且产量x的计量单位是千件，所以依据回归系数 的意义有：
产量每增加一个单位即1 000件时，单位成本平均削减1.82元．
(3)当产量为6 000件时，即x＝6，代入线性回归方程：
＝77.37－1.82×6＝66.45(元)．
当产量为6 000件时，单位成本为66.45元．
10．解 (1)设所求的线性回归方程为 ＝ x＋ ，则 ＝＝＝0.5，
＝－ ＝0.4.
所以年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为 ＝0.5x＋0.4.
(2)当x＝11时， ＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)．
所以可以估量第6名推销员的年推销金额为5.9万元．
11． ＝0.7x＋0.35
解析 对比数据，计算得：x＝86，
＝＝4.5，＝＝3.5.
已知xiyi＝66.5，
所以 ＝＝＝0.7.
＝－ ＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
因此，所求的线性回归方程为 ＝0.7x＋0.35.
12．解 (1)散点图如图所示：
(2)＝xi＝109， (xi－)2＝1 570，
＝23.2， (xi－)(yi－)＝308.
设所求线性回归方程为 ＝ x＋ ，
则 ＝≈0.196 2，
＝－ ＝23.2－109×≈1.816 6.
故所求线性回归方程为 ＝0.196 2x＋1.816 6.
(3)据(2)，当x＝150 m2时，销售价格的估量值为
＝0.196 2×150＋1.816 6＝31.246 6(万元)．
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