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双基限时练(三)
基 础 强 化
1．下列条件能说明一个棱锥是正棱锥的是( )
A．各侧面都是等腰三角形
B．侧棱长度相等且底面是菱形
C．全部棱长都相等
D．底面是三角形且三条侧棱两两垂直
解析 一个棱锥的全部棱长都相等即可得到该棱锥的侧棱长度相等，底面是正多边形，故C正确．
答案 C
2．下列三个命题，其中正确的有( )
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相像，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面相互平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析 ①中的平面不肯定平行于底面，故①错．
②③可用反例图去检验，故②③不对．
答案 A
3．假如一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不行能是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．五棱锥 D．六棱锥
答案 D
4．正四棱台的两底面的边长分别为3和5，则它的中截面面积为( )
A．4 B．9
C．16 D．25
解析 中截面的边长＝4，故S＝4×4＝16.
答案 C
5．正四棱台的上下底面周长分别是12和20，斜高为6，则它的高为( )
A. B.
C. D．4
解析 正四棱台上、下底面边长分别为3和5，如图所示，取上、下底面的中心O1、O，并作O1E1⊥B1C1交B1C1于E1，作OE⊥BC交BC于E，连接E1E，则四边形O1E1EO是直角梯形，过E1作E1F⊥OE交OE为F，则EF＝OE－O1E1＝－＝1.
∴E1E＝6，
∴E1F＝＝，
∴高为.
答案 B
6．一个棱锥被平行底面的截面所截，若截面面积与底面面积之比为1：2，则此棱锥的高被分成的两段之比为( )
A．1： B．1：4
C．1：(＋1) D．(＋1) ：1
解析 如图，＝，
∴＝.
∴＝.
∴＝＝＋1.
∴棱锥的高被分成的两段之比为(＋1) ：1.
答案 D
7．已知正四棱锥的高为7，底面边长为8，其侧棱长为________．
解析 侧棱长＝＝9.
答案 9
8．正三棱台的上、下底面边长及高分别为1、2、2，则它的斜高为________．
解析 斜高＝＝.
答案
能 力 提 升
9．在三棱锥S－ABC中，SA＝SB＝SC＝1，∠ASB＝∠ASC＝∠BSC＝30°，如图，一只蚂蚁从点A动身沿三棱锥的表面爬行一周后又回到点A，则蚂蚁爬过的最短路程为________．
答案
10．如图是三个几何体的侧面开放图，请问各是什么几何体？
解析 由几何体的侧面开放图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把侧面开放图还原为原几何体，如图所示：
所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．
11．已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为2，求它的高与斜高的长．
解 设正四棱锥S－ABCD的高为SO，如下图，过O作OE⊥BC于E，则E为BC中点，连接OB，
∴SO⊥OB，SO⊥OE.
∵BC＝4，
∴BE＝OE＝2，
∴OB＝2.
在Rt△SOB中，SO＝
＝＝2.
在Rt△SOE中，SE＝＝
＝2，
∴此棱锥的高为2，斜高为2.
12．已知正三棱台ABC－A1B1C1的上、下底面面积分别是与4，它的侧棱长为，求它的高与斜高的比值．
解 如右图，设正三棱台的上、下底面的中心分别为O1，O，连接A1O1，AO并延长分别交对边于E1、E，则E1E为斜高，O1O为高．
过A1作A1M⊥AE于M，过E1作E1N⊥AE于N，
则A1O1OM、O1ONE1都为矩形．
设上、下底面边长分别为a、b，则a2＝，b2＝4，
∴a＝2，b＝4.
∴AO＝，A1O1＝.
∴AM＝AO－A1O1＝.
在Rt△AA1M中，
A1M＝＝＝，
同理EN＝EO－E1O1＝×4－×2＝.
在Rt△E1EN中，
E1E＝＝＝.
∴此棱台的高与斜高的比为＝.
品 味 高 考
13．正四棱锥的侧棱长是底面边长的k倍，则k的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B.
C．(，＋∞) D.
解析 由正四棱锥的定义知四棱锥S－ABCD中，S在底面ABCD内的射影O为正方形的中心，而SA>OA＝AB，∴>，即k>.
答案 D
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