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双基限时练(十二)
基 础 强 化
1．已知直线l⊥平面α，直线m⊂α，则( )
A．l⊥m B．l可能和m平行
C．l与m相交 D．无法确定
解析 直线l⊥平面α，则l垂直于平面α内任意一条直线，∵m⊂α，故l⊥m.
答案 A
2．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面( )
A．有且只有一个
B．可能有一个，也可能不存在
C．有很多多个
D．肯定不存在
解析 当a与b垂直时，过a且与b垂直的平面有且只有1个；当a与b不垂直时，过a且与b垂直的平面不存在．
答案 B
3．已知空间两个不同的直线m、n和两个不同的平面α、β，则下列命题中正确的是( )
A．若m∥α，n⊂α，则m∥n
B．若α∩β＝m，m⊥n，则n⊥α
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n
解析 A选项中m与n可能异面；B选项中n与α可能平行或在α内；C选项中m与n的位置关系不确定，故A、B、C均错误，D是线面平行的性质定理，D成立．
答案 D
4．在空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，则对角线AC与BD的位置关系为( )
A．相交但不垂直 B．垂直但不相交
C．不相交也不垂直 D．无法推断
答案 B
5.
如图，PA⊥平面ABC，△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
解析 ∵PA⊥面ABC，
∴PA⊥AC，PA⊥BC，PA⊥AB.
∵BC⊥AC，AC∩PA＝A，
∴BC⊥面PAC，∴BC⊥PC，
∴△PAC、△PAB、△ABC、△PBC均是直角三角形．
答案 A
6．在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，SA＝4，AB＝3，D为AB中点，且∠ABC＝90°，则点D到平面SBC的距离为( )
A. B.
C. D.
解析
如图，过A作AE⊥SB交SB于E，
∵SA⊥面ABC，∴SA⊥BC.
∵AB⊥BC，SA∩AB＝A，
∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE.
∵SB∩BC＝B，∴AE⊥平面SBC.
∵D是AB中点，∴D到平面SBC的距离为AE.
在Rt△SAB中，SA＝4，AB＝3，
∴AE＝，
∴D到平面SBC的距离为.
答案 C
能 力 提 升
7．如图所示，P、Q、R分别是正方体的棱AB、BB1、BC的中点，则BD1与平面PQR的位置关系是__________．
答案 垂直
8．如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥平面⊙O，C为圆周上一点，AB＝5 cm，AC＝2 cm，则B到平面PAC的距离为________．
解析 连接BC.
∵C为圆周上的一点，AB为直径，
∴BC⊥AC.
又∵PA⊥平面⊙O，BC⊂平面⊙O，
∴PA⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，C为垂足，
∴BC即为B到平面PAC的距离．
在Rt△ABC中，
BC＝＝＝(cm)．
答案 cm
9．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．
解析 ∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥QD，
又∵PQ⊥QD，
∴QD⊥平面PAQ.
∴AQ⊥QD，即Q在以AD为直径的圆上，
当圆与BC相切时，点Q只有一个，
故BC＝2AB＝2.
答案 2
10.
如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面ABCD，再过A作AE⊥SB于E，过E作EF⊥SC于F.求证：SC⊥平面AEF.
证明 ∵SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴SA⊥BC.
又∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC.
∴BC⊥平面SAB.
∵AE⊂平面SAB，∴BC⊥AE.
又∵AE⊥SB，∴AE⊥平面SBC.∴AE⊥SC.
又∵EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF.
11．如图为一简洁组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝2EC.
(1)求证：BE∥平面PDA；
(2)若N为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB.
证明 (1)∵EC∥PD，PD⊂平面PAD，EC⊄平面PDA，
∴EC∥平面 PDA，同理可得BC∥平面PDA.
∵EC⊂平面EBC，BC⊂平面EBC且EC∩BC＝C，
∴平面EBC∥平面PDA.
又∵BE⊂平面EBC，∴BE∥平面PDA.
(2)取BD中点M，连接MC，MN，
∵N是PB中点，∴MN∥PD，且MN＝PD.
∵EC∥PD且PD＝2EC，∴EC∥MN且EC＝MN.
∴四边形MNEC是平行四边形，
∴NE∥MC.
∵M是BD中点，且四边形ABCD是正方形，
∴CM⊥BD.
∵PD⊥平面ABCD，且MC⊂平面ABCD，
∴PD⊥MC.
∵BD∩PD＝D，∴MC⊥平面PDB，
∴NE⊥平面PDB.
12．如图所示，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F.
(1)求证：AF⊥SC；
(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.
证明 (1)∵SA⊥平面AC， BC⊂平面AC，∴SA⊥BC.
∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC.
∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AE.
又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC.∴AE⊥SC.
又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF.
∴AF⊥SC.
(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC.
又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD.∴DC⊥AG.
又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF，
∴SC⊥AG.∴AG⊥平面SDC.∴AG⊥SD.
品 味 高 考
13．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
解析 由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D.
答案 D
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