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双基限时练(九)
基 础 强 化
1．下列命题，正确的是( )
A．不共面的四点中，其中任意三点不共线
B．若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面
C．若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面
D．依次首尾相接的四条线段必共面
解析 A正确；B中当A、B、C三点共线时，结论有可能不成立；C中b、c可能不共面；D中四边形可能为空间四边形，故B、C、D均错．
答案 A
2．若三条直线两两相交，则由这三条直线确定的平面个数为( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．1个或3个
解析 当这三条直线不共点时，它们能确定一个平面；当这三条直线共点时，它们能确定1个或3个平面．
答案 D
3．下列命题中，真命题的个数是( )
①若空间四个点不共面，则这四个点可确定四个平面；②四边相等的四边形是菱形；③假如两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 若空间四点不共面，则这四点组成的几何体是三棱锥，它有四个面，故①正确；②中有可能是空间四边形，故②错；若这三个点共线，则不能得出两个平面重合的结论，有可能两个平面相交，故③错；依据平行四边形的定义可知，④正确．故选B.
答案 B
4．假如直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，那么( )
A．l⊂α B．l⊄α
C．l∩α＝M D．l∩α＝N
解析 ∵M∈a，a⊂α，∴M∈α.同理N∈α.
∵M∈l，N∈l，∴由基本性质1可知，l⊂α.
答案 A
5．下列命题正确的是( )
A．若a⊂α，b⊂β，则a、b是异面直线
B．若a⊂α，b⊄α，则a、b是异面直线
C．若a∩b＝∅，则a、b是异面直线
D．不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
解析 依据异面直线的定义可知，D选项正确．
答案 D
6．下列各图形中，P、Q、R、S分别是棱的中点，这四个点不共面的一个图是( )
A
B
C
D
解析 A中易证PS∥QR；B中易证PQ∥SR，C中可证PS∥QR，只有选D.
答案 D
7．平面α∩平面β＝l，点A∈α，B∈α，C∈β且C∉l，又AB∩l＝R，过A、B、C三点确定的平面记作γ，则β∩γ＝____________.
解析 如图所示，∵α∩β＝l，AB∩l＝R，
∴AB∩β＝R，C∈β.
∴R∈面ABC∩β，C∈面ABC∩β.
∴面ABC∩β＝RC.
答案 RC
8．若a、b是异面直线，b、c也是异面直线，则a与c的位置关系________．
解析 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
如图所示，令C1D1＝a，BC＝b.
∵b与c异面，∴c可能是A1B1，DD1，AA1，
∴a与c的关系可能是平行、相交或异面．
答案 相交或平行或异面
能 力 提 升
9．有以下三个命题：
①不在平面内的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；③若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交．
请将全部正确命题的序号写出__________．
答案 ①③
10.
如图，梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．
解 很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，
即点S在交线上，
由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．
∵E∈AC，AC⊂平面SAC，
∴E∈平面SAC.
同理，可证E∈平面SBD.
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，
直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．
11.
如图所示，在正方体AC1中，E，F，G，H分别是所在棱的中点，请思考并回答下列问题：
(1)直线EF，GH，DC能交于一点吗？
(2)若E，F，G，H四点共面，怎样才能画出过四点E，F，G，H的平面截正方体所得的截面？
解 (1)如图，能交于一点．理由如下：
由于E，F分别为棱AB，BC的中点，易得E，F∈平面ABCD且EF与CD相交，设交点为P.
由△EBF≌△PCF，
可得PC＝BE＝AB.
同理，GH与CD相交，设交点为P1，
同样可得P1C＝C1G＝C1D1＝AB.
所以P1与P重合，因此直线EF，GH，DC能交于一点．
(2)由(1)知EF，GH相交于一点，则E，F，G，H四点共面．
如图，延长HG，DD1，相交于点R，延长FE交DA的延长线于Q，则点R，Q是截面与侧面AD1的公共点，
连接RQ与A1D1，A1A分别交于点M，T，连接GM，TE，
可得截面与正方体各面的交线分别为EF，FH，HG，GM，MT，TE.截面如图的阴影部分所示．
12.
如图所示，在三棱锥P－ABC中，D、E是PC上不重合的两点，F、H分别是PA、PB上的点，且与点P不重合．求证：EF和DH是异面直线．
证明 ∵PA∩PC＝P，∴PA、PC确定一个平面α.
∵E∈PC，F∈PA，∴E∈α，F∈α，∴EF⊂α.
∵D∈PC，∴D∈α，且D∉EF.
又PB∩α＝P，H∈PB，
∴H∉α，DH∩α＝D，且DH与EF不相交．
∴直线EF和DH是异面直线．
品 味 高 考
13．下列图形中，满足α∩β＝AB，a⊂α，b⊂β，a∥AB，b∥AB的图形是( )
解析 可以依据图形的特点及直线与平面的位置关系进行推断．
答案 C
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