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课时提升作业(三)
一、选择题
1.“x=3”是“x2=9”的( )
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
2.设命题p:空集是任何集合的子集;命题q:若a>0,Δ=b2-4ac≤0,则不等式ax2+bx+c≥0的解集是R,则下列推断正确的是( )
(A)﹁p为真 (B)﹁q为真
(C)p且q为真 (D)﹁p且﹁q为真
3.(2021·钦州模拟)已知p:关于x的不等式x2+2ax-a>0的解集是R,q:-1<a<0,则p是q的( )
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
4.命题“已知U是全集,若a∈A,则a∉A”的否定是( )
(A)已知U是全集,若a∉A,则a∉A
(B)已知U是全集,若a∉A,则a∈A
(C)已知U是全集,若a∈A,则a∈A
(D)已知U是全集,若a∉A,则a∈A
5.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的( )
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
6.命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
7.(2021·北海模拟)已知条件p:|x+1|≤2,条件q:-3≤x≤2,则p是q的( )
(A)充要条件
(B)充分不必要条件
(C)必要不充分条件
(D)既不充分又不必要条件
8.若“p且q”与“﹁p或q”均为假命题,则( )
(A)p真q假 (B)p假q真
(C)p与q均真 (D)p与q均假
9.命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是( )
(A)若x+y是偶数,则x与y不都是偶数
(B)若x+y是偶数,则x与y都不是偶数
(C)若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数
(D)若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数
10.对任意实数a,b,c,在下列命题中,真命题是( )
(A)“ac>bc”是“a>b”成立的必要条件
(B)“ac=bc”是“a=b”成立的必要条件
(C) “ac>bc”是“a>b”成立的充分条件
(D)“ac=bc”是“a=b”成立的充分条件
11.(2021·桂林模拟)命题p:若x,y∈R,则|x|+|y|>1是|x+y|>1的充分而不必要条件;命题q:函数y=的定义域是(-∞,-1]∪[3,+∞),则( )
(A)“p或q”为假 (B)“p且q”为真
(C)“p且﹁q”为真 (D)“﹁p且q”为真
12.(力气挑战题)已知条件p:≤-1,条件q:x2+x<a2-a,且﹁q的一个充分不必要条件是﹁p,则a的取值范围是( )
(A)[-2,-] (B)[,2]
(C)[-1,2] (D)(-2,]∪[2,+∞)
二、填空题
13.已知p(x):x2+2x-m>0,假如p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数m的取值范围是 .
14.ab>0,且a<b是>成立的 (填充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件).
15.(2021·南宁模拟)已知以下命题:
①假如x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实根,且x1<x2,那么不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x1<x<x2};
②≤0是(x-1)(x-2)≤0的充要条件;
③若m>2,则x2-2x+m>0的解集是实数集R;
④若函数y=x2-ax+b在[2,+∞)上是增函数,则a≤4.
其中真命题是 (填上你认为正确的命题序号).
16.(力气挑战题)已知p:|x-a|<4;q:(x-2)·(3-x)>0,若﹁p是﹁q的充分不必要条件,则a的取值范围为 .
三、解答题
17.(2021·苏州模拟)已知全集U=R,非空集合A={x|<0},B={x|<0}.
(1)当a=时,求(B)∩A.
(2)命题p:x∈A,命题q:x∈B,若q是p的必要条件,求实数a的取值范围.
答案解析
1.【解析】选A.x=3⇒x2=9;x2=9x=3.
故“x=3”是“x2=9”的充分而不必要条件.故选A.
2.【解析】选C.明显命题p为真,由二次函数y=ax2+bx+c的图象知,命题q为真.
3.【解析】选C.若p成立,则Δ=4a2+4a<0,即-1<a<0,∴p是q的充要条件.
4.【解析】选C.原命题的否定是只否定结论.
5.【解析】选A.x≥2且y≥2⇒x2+y2≥8⇒x2+y2≥4.
反之,x2+y2≥4x≥2且y≥2,如x=-4,y=0.
6.【解析】选B.明显原命题是真命题,其逆命题“若a>-6,则a>-3”,明显是假命题,由四种命题的关系知,否命题为假,逆否命题为真.故选B.
7.【解析】选B.由|x+1|≤2,得-2≤x+1≤2,即-3≤x≤1,∴p:-3≤x≤1.
明显p⇒q,但qp,∴p是q的充分不必要条件.
8.【解析】选A.∵p且q为假命题,∴p,q至少有一个为假,又∵﹁p或q为假,则﹁p,q均为假,∴p真q假.
9.【解析】选C.原命题的结论是“x+y是偶数”,否定是“x+y不是偶数”,原命题的条件是“x,y都是偶数”,其否定为“x,y不都是偶数”,因此其逆否命题应为:“若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数”,故选C.
10.【解析】选B.A:a>b推不出ac>bc,反例c=0;B:a=b⇒ac=bc,反之不成立.
∴此命题正确,当c<0时,C不成立,D的反例为c=0,故选B.
11.【解析】选D.∵|x|+|y|≥|x+y|,
∴若|x+y|>1,则|x|+|y|>1,
反之,若|x|+|y|>1,|x+y|>1不愿定成立,∴p为假命题;由|x-1|-2≥0得x≥3或x≤-1,∴q为真命题,故选D.
12.【思路点拨】﹁q的一个充分不必要条件是﹁p,等价于p是q的必要不充分条件,化简p和q后,借助集合间的包含关系即可求得a的取值范围.
【解析】选C.由≤-1,即+1≤0,
化简,得≤0,
解得-3≤x<1;
由x2+x<a2-a,得x2+x-a2+a<0,
由﹁q的一个充分不必要条件是﹁p,可知﹁p是﹁q的充分不必要条件,即p是q的必要不充分条件,
即条件q对应的x取值集合是条件p对应的x取值集合的真子集.
设f(x)=x2+x-a2+a,如图,
则
∴
且a=-1或a=2时,也满足题意.
∴-1≤a≤2,故选C.
【误区警示】本题易毁灭的错误是误认为﹁q是﹁p的充分不必要条件.在充分、必要条件的推断问题中,通常有两种叙述方式“甲是乙的什么条件”,“甲的一个什么条件是乙”,这两种说法恰好相反.第一种形式比较好理解,所以在推断充分、必要条件时,应先把语句改成第一种形式,然后再进行相关分析.
13.【解析】∵p(1)是假命题,∴1+2-m≤0,∴m≥3.
又∵p(2)是真命题,∴4+4-m>0,∴m<8.
故实数m的取值范围是{m|3≤m<8}.
答案:{m|3≤m<8}
14.【解析】∵ab>0,∴>0.
又∵a<b,
∴a·<b·,即<.
反之,若>,则当a>0,b<0时,>明显成立,
即>ab>0,且a<b.
∴ab>0,且a<b是>成立的充分不必要条件.
答案:充分不必要条件
15.【解析】①只有当系数a>0时才成立,否则不成立;
②≤0⇔,∴②为假命题;
③当m>2时,(x2-2x+m)min=m-1>0,
所以此时x2-2x+m>0的解集是实数集R,∴③为真命题;
④y=x2-ax+b开口向上,对称轴为x=,若在[2,+∞)上增,则[2,+∞)应在对称轴的右侧,即≤2,得a≤4,∴④为真命题.
综上,真命题有③④,假命题有①②.
答案:③④
16.【思路点拨】先解不等式化简p,q,再求﹁p, ﹁q,由题意列出关于a的不等式组求解.
【解析】直接解不等式可得p:-4+a<x<4+a,q:2<x<3,因此﹁p:x≤-4+a或x≥4+a, ﹁q:x≤2或x≥3,于是由﹁p是﹁q的充分不必要条件,可知2≥-4+a且4+a≥3,解得-1≤a≤6.
答案:[-1,6]
【变式备选】已知p:x2+2x-3>0;q:>1,若﹁q且p为真,则x的取值范围是 .
【解析】由于﹁q且p为真,即q假p真,而q为真时,<0,即2<x<3,所以q为假时有x≥3或x≤2;p为真时,由x2+2x-3>0,解得x>1或x<-3,
由,得x≥3或1<x≤2或x<-3,
所以x的取值范围是x≥3或1<x≤2或x<-3.
答案:(-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞)
17.【解析】(1)当a=时,
A={x|<0}={x|2<x<},
B={x|<0}={x|<x<}.
∴B={x|x≤或x≥},
∴(B)∩A={x|≤x<}.
(2)∵a2+2-a=(a-)2+>0,
∴a2+2>a,
∴B={x|a<x<a2+2}.
①当3a+1>2,即a>时,A={x|2<x<3a+1},
由题意得A⊆B,
∴解得a≤,
∴<a≤.
②当3a+1<2,即a<时,A={x|3a+1<x<2},
∴解得a≥-,
∴-≤a<.
③当3a+1=2,即a=时,A=∅,满足题意,
综上所述得a∈[-,].
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