资源描述
1.某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为30元、20元,生产甲产品每件需用A原料2 kg、B原料4 kg,生产乙产品每件需用A原料3 kg、B原料2 kg.A原料每日供应量限额为60 kg,B原料每日供应量限额为80 kg.要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多过10件,则合理支配生产可使该厂每日获得的最大利润为( ).
A.500元 B.700元 C.400元 D.650元
【解析】设每天生产甲、乙两种产品分别为x、y件,则利润z=30x+20y.
不等式组所表示的平面区域如图所示,依据目标函数的几何意义,在直线2x+3y=60和直线4x+2y=80的交点B处取得最大值,解方程组得B(15,10),代入目标函数得zmax=30×15+20×10=650.
【答案】D
2.如图所示表示阴影区域的不等式是( ).
A.y≤x
B.|y|≤|x|
C.x(y-x)≤0
D.y(y-x)≤0
【解析】由平面区域及结合选项可得,D选项转化为对应不等式组为 或
【答案】D
3.铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的CO2排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表所示:
a
b(万吨)
c(百万元)
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁,要求CO2的排放量不超过2(万吨),则购买铁矿石的最少费用为 (百万元).
【解析】设购买铁矿石A、B的数量分别为x,y万吨,则购买铁矿石的费用为z=3x+6y,且
画出不等式组表示的平面区域(如图),
由得A(1,2).
易知当x=1,y=2时,zmin=3×1+6×2=15.
【答案】15
4.某人预备投资 1200万兴办一所中学,招生班数在20~30之间,对训练市场进行调查后,他得到了下面的数据表格(以班级为单位):
学段
班级同学人数
配备老师数
硬件建设/万元
老师年薪/万元
学校
45
2
26/班
2/人
高中
40
3
54/班
2/人
分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件.
【解析】设开设学校班x个,开设高中班y个,依据题意,总共招生班数应限制在20~30之间,所以有20≤x+y≤30,考虑到所投资金的限制,得26x+54y+2×2x+2×3y≤1200,即x+2y≤40,另外,开设的班数不能为负,则x≥0,y≥0,
把上面的四个不等式合在一起,得到且x,y∈N.
用图形表示这个限制条件,得到如图的平面区域(阴影部分).
5.满足条件的可行域中共有整点的个数为( ).
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】画出可行域,由可行域知有4个整点,分别是(0,0),(0,-1),(1,-1),(2,-2).
【答案】B
6.已知点M(a,b)在由不等式组确定的平面区域内,则点N(a+b,a-b)所在平面区域的面积是( ).
A.1 B.2 C.4 D.8
【解析】令则有由点M(a,b)在由不
等式组确定的平面区域内,得所以点N所在平面区域为图中的阴影部分,所以该平面区域的面积为S=×4×2=4.
【答案】C
7.完成一项装修工程,请木工需付每人工资50元,请瓦工需付每人工资40元,现有工人工资预算2000元,设木工x人,瓦工y人,请工人所满足的数学关系式是 .
【答案】
8.医院用两种原料为手术后的病人配制养分食品,甲种原料每10克含5单位蛋白质和10单位铁质,售价3元;乙种原料每10克含7单位蛋白质和4单位铁质,售价2元,若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质,问应如何配置食品,既满足养分要求,又使费用最省?
【解析】设食品配方中,需甲种原料10x克,乙种原料10y克,所需费用z元.
由题意得z=3x+2y.
作出可行域如图所示.
画直线l0:3x+2y=0,平行移动直线l0到直线l,使l过可行域内的某点,简洁看出当l过点M时,得所求,点M是直线5x+7y=35与直线10x+4y=40的交点.
解方程组得M(2.8,3),即在食品配方中,用甲种原料28克,乙种原料30克,可使费用最省.
9.某投资人打算投资甲、乙两个项目,依据猜想,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率为30%和10%,投资人方案投资不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.投资人对甲、乙两个项目的盈利最大值是 万元.
【解析】设投资人分别将x万元、y万元投资于甲、乙两个项目,
由题意知目标函数为z=x+0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即为可行域.
将z=x+0.5y变为y=-2x+2z,则当直线y=-2x+2z过点M时,在y轴上的截距最大,即z取得最大值.
解得
此时,zmax=1×4+0.5×6=7>0.
当x=4,y=6时,z取得最大值为7.
【答案】7
10.某工艺品加工厂预备生产具有保藏价值的伦敦奥运会会徽“2022”和奥运会吉利物“文洛克”.该厂所用的主要原料为A、B两种贵重金属,已知生产一套奥运会会徽需用原料A和原料B的量分别为4盒和3盒,生产一套奥运会吉利物需用原料A和原料B的量分别为5盒和10盒.若奥运会会徽每套可获利700元,奥运会吉利物每套可获利1200元,该厂月初一次性购进原料A、B的量分别为200盒和300盒.问该厂生产奥运会会徽和奥运会吉利物各多少套才能使该厂月利润最大?最大利润为多少?
【解析】设该厂每月生产奥运会会徽和奥运会吉利物分别为x,y套,月利润为z元,由题意得
目标函数为z=700x+1200y,作出可行域如图所示.
目标函数可变形为y=-x+,
∵-<-<-,
∴当y=-x+通过图中的点A时,最大,这时z最大.
解方程组得点A的坐标为(20,24),
将点A(20,24)代入z=700x+1200y得zmax=700×20+1200×24=42800.
答:该厂生产奥运会会徽和奥运会吉利物分别为20套,24套时月利润最大,最大利润为42800元.
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