2021高一物理-3.3-万有引力定律的应用-学案1(教科版必修2).docx

3.3 万有引力定律的应用
[学习目标定位] 1.了解重力等于万有引力的条件.2.了解万有引力定律在天文学上的重要应用.3.会用万有引力定律计算天体的质量.4.会应用万有引力定律结合圆周运动的学问求解天体运动的有关物理量．

一、预言彗星回归
哈雷利用万有引力定律解释了1531年、1607年和1682年三次毁灭的彗星，实际上是同一颗彗星的三次回归，并预言彗星将于1758年再次毁灭．克雷洛计算了木星和土星对这颗彗星运动规律的影响，指出它将推迟于1759年4月份经过近日点，这个预言果真得到了证明．
二、预言未知星体
1．英国剑桥高校的同学亚当斯和法国年轻的天文爱好者勒维耶，依据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出天王星轨道外面“新”行星的轨道.1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置发觉了这颗行星——海王星．
2．1930年，汤姆博夫依据海王星自身运动不规章性的记载发觉了冥王星．
三、计算天体质量
1．计算地球的质量：假如忽视地球自转的影响，地面上质量为m的物体受到的重力等于地球对物体的万有引力，即mg＝G，由此得地球的质量表达式为：ME＝.
2．计算太阳的质量：太阳质量mS，行星质量m，轨道半径r行星与太阳的距离，行星公转周期T，则G＝m()2r，太阳质量mS＝，与行星质量m无关．

一、“称量”地球质量
[问题设计]
1．卡文迪许在试验室测量出了引力常量G的值，从而“称量”出了地球的质量，你知道他是怎样“称量”地球质量的吗？
答案　若忽视地球自转的影响，在地球表面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力，即mg＝，所以有ME＝，只要测出G，便可“称量”地球的质量．
2．设地面四周的重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，试估算地球的质量．
答案　ME＝＝ kg≈6.0×1024 kg
[要点提炼]
1．地球质量的计算
在地面上，忽视地球自转的影响，由mg＝G可以求得地球的质量：ME＝.
2．其他星球质量的计算
若已知天体的半径R和天体表面的重力加速度g，与地球质量的计算方法类似，即可计算出此天体的质量M＝.
二、计算天体质量
[问题设计]
1．我们知道行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力供应的，假如我们要“称量”出太阳的质量，应当知道哪些条件？
答案　由＝mr知mS＝，由此可知需要知道某行星的公转周期T和它与太阳的距离r.
2．天体质量及半径求出后，如何得到天体的平均密度？
答案　知道天体的半径，则可由ρ＝得到天体的密度ρ＝＝.
[要点提炼]
1．计算天体质量的方法
分析围绕该天体运动的行星(或卫星)，测出行星(或卫星)的运行周期和轨道半径，由万有引力供应向心力即可求中心天体的质量．由＝mr，得M＝.
2．天体密度的计算方法
依据密度的公式ρ＝，只要先求出天体的质量就可以代入此式计算天体的密度．
(1)由天体表面的重力加速度g和半径R，求此天体的密度．由mg＝和M＝ρ·πR3，得ρ＝.
(2)若天体的某个行星(或卫星)的轨道半径为r，运行周期为T，中心天体的半径为R，则由G＝mr和M＝ρ·πR3，得ρ＝.
留意　R、r的意义不同，一般地R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径，若绕近地轨道运行，则有R＝r，此时ρ＝.
三、天体运动的分析与计算
1．基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力供应．
2．常用关系：
(1)G＝ma＝m＝mω2r＝mr
(2)忽视自转时，mg＝G(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：gR2＝GM，该公式通常被称为“黄金代换式”．
3．四个重要结论：设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动．
(1)由G＝m得v＝ ，r越大，v越小．
(2)由G＝mω2r得ω＝ ，r越大，ω越小．
(3)由G＝m()2r得T＝2π ，r越大，T越大．
(4)由G＝ma向得a向＝，r越大，a向越小．

一、天体质量和密度的计算
例1　地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，可估算地球的平均密度为(　　)
A. B.
C. D.
解析　忽视地球自转的影响，对处于地球表面的物体，有mg＝G，又地球质量M＝ρV＝πR3ρ，代入上式化简可得地球的平均密度ρ＝.
答案　A
例2　假设在半径为R的某天体上放射一颗该天体的卫星．若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常量为G.
(1)则该天体的密度是多少？
(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？
解析　(1)设卫星的质量为m，天体的质量为M，卫星贴近天体表面运动时有G＝mR，M＝
依据数学学问可知天体的体积为V＝πR3
故该天体的密度为ρ＝＝＝.
(2)卫星距天体表面距离为h时，忽视自转有
G＝m(R＋h)
M＝
ρ＝＝＝
答案　(1)　(2)
二、天体运动的分析与计算
例3　质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的(　　)
A．线速度v＝ B．角速度ω＝
C．运行周期T＝2π D．向心加速度a＝
解析　探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，万有引力供应向心力，有G＝ma＝m＝mω2R＝mR，可得a＝，v＝ ，ω＝ ，T＝2π ，所以A正确，D错误；又由于不考虑月球自转的影响，则G＝mg，即GM＝gR2，所以ω＝，T＝2π，所以B错误，C正确．
答案　AC
例4　据报道，天文学家近日发觉了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55 Cancri e”．该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的，母星的体积约为太阳的60倍．假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的(　　)
A．轨道半径之比约为
B．轨道半径之比约为
C．向心加速度之比约为
D．向心加速度之比约为
解析　由公式G＝m()2r，可得通式r＝ ，设“55 Cancri e”的轨道半径为r1，地球轨道半径为r2，则＝ ＝ ，从而推断A错，B对；再由G＝ma得通式a＝G，则＝·＝ ＝，所以C、D皆错．
答案　B

1．(天体质量的计算)“嫦娥三号”探月卫星于2021年12月2日凌晨在西昌卫星放射中心放射，实现了“落月”的新阶段．若已知引力常量为G，月球绕地球做圆周运动的半径为r1、周期为T1，“嫦娥三号”探月卫星做圆周运动的环月轨道半径为r2、周期为T2，不计其他天体的影响，依据题目条件可以(　　)
A．求出“嫦娥三号”探月卫星的质量
B．求出月球的质量
C．得出＝
D．求出地球的密度
答案　B
解析　争辩月球绕地球的圆周运动依据万有引力供应向心力有＝m月r1，解得M地＝，由于地球的半径未知，不能得出地球的密度，故D错误；同理，争辩“嫦娥三号”绕月球的圆周运动可得月球的质量M月＝，但无法得出“嫦娥三号”的质量，故A错误，B正确；开普勒第三定律中是一个常量是指不同天体绕同一中心天体运动时的规律，月球和“嫦娥三号”绕不同的中心天体运动，则≠，故C错误．
2．(天体运动的分析与计算)据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形工作轨道距月球表面分别约为200 km和100 km，运行速度分别为v1和v2，那么，v1和v2的比值为(月球半径取1 700 km)(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由G＝m，得v＝ ，则＝＝＝，故选项C正确．
3．(天体运动的分析与计算)一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则(　　)
A．恒星的质量为
B．行星的质量为
C．行星运动的轨道半径为
D．行星运动的向心加速度为
答案　ACD
解析　r＝＝＝，C对；由＝m得M＝＝，A对；无法计算行星的质量，B错；a＝ω2r＝ωv＝v，D对.