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3．2.2 对数函数(一)
课时目标 1.把握对数函数的概念、图象和性质.2.能够依据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．
1．对数函数的定义：一般地，我们把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
2．对数函数的图象与性质
定义
y＝logax (a>0，且a≠1)
底数
a>1
0<a<1
图象
定义域
值域
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
共点性
图象过点________，即loga1＝0
函数值
特点
x∈(0,1)时，
y∈________；
x∈[1，＋∞)时，
y∈________
x∈(0,1)时，
y∈________；
x∈[1，＋∞)时，
y∈________
对称性
函数y＝logax与y＝logx的图象关于____对称
一、选择题
1．函数y＝的定义域是( )
A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)
2．设集合M＝{y|y＝()x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，则集合M∪N是( )
A．(－∞，0)∪[1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，1] D．(－∞，0)∪(0,1)
3．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(α)＝1，则α等于( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4．函数f(x)＝|log3x|的图象是( )
5．已知对数函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)，且过点(9,2)，f(x)的反函数记为y＝g(x)，则g(x)的解析式是( )
A．g(x)＝4x B．g(x)＝2x
C．g(x)＝9x D．g(x)＝3x
6．若loga<1，则a的取值范围是( )
A．(0，) B．(，＋∞)
C．(，1) D．(0，)∪(1，＋∞)
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．假如函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________．
8．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
9．给出函数，则f(log23)＝________.
三、解答题
10．求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝log2(x－2)；(2)y＝log4(x2＋8)．
11．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，(a>0，且a≠1)．
(1)设a＝2，函数f(x)的定义域为[3,63]，求函数f(x)的最值．
(2)求使f(x)－g(x)>0的x的取值范围．
力气提升
12．已知图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，则a1，a2，a3，a4的大小关系是( )
A．a4<a3<a2<a1
B．a3<a4<a1<a2
C．a2<a1<a3<a4
D．a3<a4<a2<a1
13．若不等式x2－logmx<0在(0，)内恒成立，求实数m的取值范围．
1．函数y＝logmx与y＝lognx中m、n的大小与图象的位置关系．
当0<n<m<1时，如图①；当1<n<m时，如图②；当0<m<1<n时，如图③.
2．由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域是R，值域为(0，＋∞)，再依据对数式与指数式的互化过程知道，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为R，它们互为反函数，它们的定义域和值域互换，指数函数y＝ax的图象过(0,1)点，故对数函数图象必过(1,0)点．
3．2.2 对数函数(一)
学问梳理
2．(0，＋∞) R (1,0) (－∞，0) [0，＋∞) (0，＋∞) (－∞，0] x轴
作业设计
1．D [由题意得：解得x≥4.]
2．C [M＝(0,1]，N＝(－∞，0]，
因此M∪N＝(－∞，1]．]
3．B [α＋1＝2，故α＝1.]
4．A [y＝|log3x|的图象是保留y＝log3x的图象位于x轴上半平面的部分(包括与x轴的交点)，而把下半平面的部分沿x轴翻折到上半平面而得到的．]
5．D [由题意得：loga9＝2，即a2＝9，又∵a>0，∴a＝3.
因此f(x)＝log3x，所以f(x)的反函数为g(x)＝3x.]
6．D [由loga<1得：loga<logaa.
当a>1时，有a>，即a>1；
当0<a<1时，则有0<a<.
综上可知，a的取值范围是(0，)∪(1，＋∞)．]
7．(1,2)
解析 由题意，得或
解得1<a<2.
8．(4，－1)
解析 y＝logax的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，则x＝4；
令y＋1＝0，则y＝－1.
9.
解析 ∵1<log23<log24＝2，∴3＋log23∈(4,5)，
∴f(log23)＝f(log23＋1)＝f(log23＋2)
＝f(log23＋3)＝f(log224)＝＝
＝＝.
10．解 (1)由x－2>0，得x>2，
所以函数y＝log2(x－2)的定义域是(2，＋∞)，值域是R.
(2)由于对任意实数x，log4(x2＋8)都有意义，
所以函数y＝log4(x2＋8)的定义域是R.
又由于x2＋8≥8，
所以log4(x2＋8)≥log48＝，
即函数y＝log4(x2＋8)的值域是[，＋∞)．
11．解 (1)当a＝2时，函数f(x)＝log2(x＋1)为[3,63]上的增函数，
故f(x)max＝f(63)＝log2(63＋1)＝6，
f(x)min＝f(3)＝log2(3＋1)＝2.
(2)f(x)－g(x)>0，即loga(1＋x)>loga(1－x)，
①当a>1时，1＋x>1－x>0，得0<x<1.
②当0<a<1时，0<1＋x<1－x，得－1<x<0.
12．B [作x轴的平行线y＝1，直线y＝1与曲线C1，C2，C3，C4各有一个交点，则交点的横坐标分别为a1，a2，a3，a4.由图可知a3<a4<a1<a2.]
13.
解 由x2－logmx<0，得x2<logmx，在同一坐标系中作y＝x2和y＝logmx的草图，如图所示．
要使x2<logmx在(0，)内恒成立，只要y＝logmx在(0，)内的图象在y＝x2的上方，于是0<m<1.
∵x＝时，y＝x2＝，
∴只要x＝时，y＝logm≥＝.
∴≤，即≤m.又0<m<1，
∴≤m<1，即实数m的取值范围是[，1)．
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