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其次章 函 数(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．函数y＝的定义域是( )
A．(1,2] B．(1,2)
C．(2，＋∞) D．(－∞，2)
2．定义域为R的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则函数y＝f(x＋a)的值域为( )
A．[2a，a＋b] B．[a，b]
C．[0，b－a] D．[－a，a＋b]
3．若函数f(＋1)＝x2－2x，则f(3)等于( )
A．0 B．1
C．2 D．3
4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点四周的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.437 5)＝0.165
f(1.406 25)＝－0.052
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为( )
A．1.2 B．1.3
C．1.4 D．1.5
5．已知y＝f(x)与y＝g(x)的图象如下图：
则F(x)＝f(x)·g(x)的图象可能是下图中的( )
6．设f(x)是区间[a，b]上的单调函数，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]( )
A．至少有一实根 B．至多有一实根
C．没有实根 D．必有唯一实根
7．已知偶函数f(x)的定义域为R，且在(－∞，0)上是增函数，则f(－)与f(a2－a＋1)的大小关系为( )
A．f(－)<f(a2－a＋1)
B．f(－)>f(a2－a＋1)
C．f(－)≤f(a2－a＋1)
D．f(－)≥f(a2－a＋1)
8．函数f(x)＝(x≠－)，满足f[f(x)]＝x，则常数c等于( )
A．3 B．－3
C．3或－3 D．5或－3
9．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)等于( )
A．3 B．1 C．－1 D．－3
10．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是( )
A．f(1)≥25 B．f(1)＝25
C．f(1)≤25 D．f(1)>25
11．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
12．定义在R上的偶函数在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，又f(7)＝6，则f(x)( )
A．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6
B．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6
C．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6
D．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答 案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设函数f(x)＝，已知f(x0)＝8，则x0＝________.
14．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝________.
15．若定义运算a⊙b＝，则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为________．
16．函数f(x)的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)在D上为非减函数．设函数f(x)在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：
①f(0)＝0；②f()＝f(x)；③f(1－x)＝1－f(x)，则f()＋f()＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)设f(x)＝是奇函数(a、b、c∈Z)且f(1)＝2，f(2)<3.求a、b、c的值和f(x)．
18．(12分)争辩函数f(x)＝x＋(a>0)的单调区间．
19．(12分)若f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f()＝f(x)－f(y)．
(1)求f(1)的值；
(2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f()<2.
20．(12分)某商品在近30天内每件的销售价格p(元)与时间t(天)的函数关系是p＝该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系是Q＝－t＋40(0<t≤30，t∈N)．
(1)求这种商品的日销售金额的解析式；
(2)求日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？
21．(12分)已知≤a≤1，若函数f(x)＝ax2－2x＋1在区间[1,3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)＝M(a)－N(a)．
(1)求g(a)的函数表达式；
(2)推断函数g(a)在区间[，1]上的单调性，并求出g(a)的最小值．
22．(12分)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)满足下列条件：
①当x∈R时，其最小值为0，且f(x－1)＝f(－x－1)成立；
②当x∈(0,5)时，x≤f(x)≤2|x－1|＋1恒成立．
(1)求f(1)的值；
(2)求f(x)的解析式；
(3)求最大的实数m(m>1)，使得存在t∈R，只要当x∈[1，m]时，就有f(x＋t)≤x成立．
其次章 函 数(B)
1．B [由，得1<x<2.]
2．B [由于函数y＝f(x＋a)的图象，可由函数y＝f(x)的图象向左或右平移|a|个单位得到，因此，函数y＝f(x)的值域与函数y＝f(x＋a)的值域相同，
故选B.]
3．A [令＋1＝3，得x＝2，
∴f(3)＝22－2×2＝0.]
4．C [∵f(1.437 5)>0，f(1.406 25)<0，
∴f(1.437 5)·f(1.406 25)<0.
又∵|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25<0.1，
∴方程的一个近似根为1.4.]
5．A [由图象知y＝f(x)与y＝g(x)均为奇函数，
∴F(x)＝f(x)·g(x)为偶函数，
其图象关于y轴对称，故D不正确．
在x＝0的左侧四周，∵f(x)>0，g(x)<0，
∴F(x)<0，
在x＝0的右侧四周，∵f(x)<0，g(x)>0，
∴F(x)<0，
故选A.]
6．D [∵f(a)·f(b)<0，∴f(x)在区间[a，b]上存在零点，
又∵f(x)在[a，b]上是单调函数，∴f(x)在区间[a，b]上的零点唯一，即f(x)＝0在[a，b]上必有唯一实根．]
7．D [设x1>x2>0，则－x1<－x2<0，
∵f(x)在(－∞，0)上是增函数，
∴f(－x1)<f(－x2)，又∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(x1)<f(x2)，即f(x)在(0，＋∞)上为减函数．
又∵a2－a＋1＝(a－)2＋≥，
∴f(a2－a＋1)≤f()＝f(－)．]
8．B [＝x，f(x)＝＝，
得c＝－3.]
9．D [由于奇函数f(x)在x＝0处有定义，所以f(0)＝20＋2×0＋b＝b＋1＝0，b＝－1.
∴f(x)＝2x＋2x－1，f(1)＝3，从而f(－1)＝－f(1)＝－3.]
10．A [函数f(x)的增区间为[，＋∞)，函数在区间[－2，＋∞)上是增函数，所以≤－2，m≤－16，f(1)＝4－m＋5≥25.]
11．A [易知f(1)＝3，则不等式f(x)>f(1)等价于或
解得－3<x<1或x>3.]
12．B [由f(x)是偶函数，得f(x)关于y轴对称，其图象可以用下图简洁地表示，
则f(x)在[－7,0]上是减函数，且最大值为6.]
13.
解析 ∵当x≥2时，f(x)≥f(2)＝6，
当x<2时，f(x)<f(2)＝4，
∴x＋2＝8(x0≥2)，解得x0＝.
14．－2
解析 ∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(7)＝f(3＋4)＝f(3)
＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2.
15．(－∞，1]
解析 由题意知x⊙(2－x)表示x与2－x两者中的较小者，借助y＝x与y＝2－x的图象，不难得出，f(x)的值域为(－∞，1]．
16.
解析 由题意得f(1)＝1－f(0)＝1，
f()＝f(1)＝，f()＝1－f()，
即f()＝，
由函数f(x)在[0,1]上为非减函数得，当≤x≤时，
f(x)＝，则f()＝，
又f(×)＝f()＝，
即f()＝.
因此f()＋f()＝.
17．解 ∵f(x)＝是奇函数，
∴f(－x)＝＝－f(x)＝－，
∴b(－x)＋c＝－(bx＋c)，解得c＝0.
由f(1)＝2，f(2)<3，得，消去b，得<3，
解得－1<a<2，
又a∈Z，∴a＝0或a＝1，
若a＝0时，得b＝∉Z；
若a＝1时，得b＝1∈Z，
∴a＝1，b＝1，c＝0，
f(x)＝＝x＋.
18．解 任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1<x2，
则x2－x1>0，f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)·.
当0<x1<x2≤时，有0<x1x2<a，
∴x1x2－a<0.
∴f(x2)－f(x1)<0，即f(x)在(0，)上是减函数．
当≤x1<x2时，有x1x2>a，∴x1x2－a>0.
∴f(x2)－f(x1)>0，
即f(x)在[，＋∞)上是增函数．
∵函数f(x)是奇函数，∴函数f(x)在(－∞，－ ]上是增函数，在[－，0)上是减函数．
综上所述，f(x)在区间(－∞，－]，[，＋∞)上为增函数，在[－，0)，(0，]上为减函数．
19．解 (1)令x＝y≠0，则f(1)＝0.
(2)令x＝36，y＝6，
则f()＝f(36)－f(6)，f(36)＝2f(6)＝2，
故原不等式为f(x＋3)－f()<f(36)，
即f[x(x＋3)]<f(36)，
又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
故原不等式等价于
⇒0<x<.
20．解 (1)设日销售金额为y(元)，则y＝p·Q.
∴y＝
＝
(2)由(1)知y＝
＝
当0<t<25，t∈N，t＝10时，ymax＝900(元)；
当25≤t≤30，t∈N，t＝25时，ymax＝1 125(元)．
由1 125>900，知ymax＝1 125(元)，且第25天，日销售额最大．
21．解 (1)∵≤a≤1，∴f(x)的图象为开口向上的抛物线，且对称轴为x＝∈[1,3]．
∴f(x)有最小值N(a)＝1－.
当2≤≤3时，a∈[，]，
f(x)有最大值M(a)＝f(1)＝a－1；
当1≤<2时，a∈(，1]，
f(x)有最大值M(a)＝f(3)＝9a－5；
∴g(a)＝
(2)设≤a1<a2≤，则g(a1)－g(a2)
＝(a1－a2)(1－)>0，
∴g(a1)>g(a2)，
∴g(a)在[，]上是减函数．
设<a1<a2≤1，则g(a1)－g(a2)＝(a1－a2)(9－)<0，∴g(a1)<g(a2)，
∴g(a)在(，1]上是增函数．
∴当a＝时，g(a)有最小值.
22．解 (1)在②中令x＝1，有1≤f(1)≤1，故f(1)＝1.
(2)由①知二次函数的开口向上且关于x＝－1对称，故可设此二次函数为f(x)＝a(x＋1)2(a>0)，又由f(1)＝1代入求得a＝，故f(x)＝(x＋1)2.
(3)假设存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f(x＋t)≤x.
取x＝1，有f(t＋1)≤1，
即(t＋2)2≤1，
解得－4≤t≤0.
对固定的t∈[－4,0]，取x＝m，有f(t＋m)≤m，
即(t＋m＋1)2≤m，
化简得m2＋2(t－1)m＋(t2＋2t＋1)≤0，
解得1－t－≤m≤1－t＋，
故m≤1－t＋≤1－(－4)＋＝9，
t＝－4时，对任意的x∈[1,9]，
恒有f(x－4)－x＝(x2－10x＋9)＝(x－1)(x－9)≤0，所以m的最大值为9.
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