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2．4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
课时目标 1.理解二分法求方程近似解的原理.2.能依据具体的函数，借助于学习工具，用二分法求出方程的近似解.3.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步靠近”的思想．
1．假如函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的__________，并且在它的两个端点处的________，即__________，则这个函数在这个区间上，________________，即存在一点__________，使__________．
2．变号零点与不变号零点
(1)假如函数图象通过零点时__________，则称这样的零点为变号零点．
(2)假如函数图象通过零点时__________，则称这样的零点为不变号零点．
3．二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步靠近零点，进而得到__________的方法叫做二分法．
4．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点____；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
(4)推断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
一、选择题
1．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( )
A．ε越大，零点的精确度越高
B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
2．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
3．对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2 007)<0，f(2 008)<0，f(2 009)>0，则下列叙述正确的是( )
A．函数f(x)在(2 007,2 008)内不存在零点
B．函数f(x)在(2 008,2 009)内不存在零点
C．函数f(x)在(2 008,2 009)内存在零点，并且仅有一个
D．函数f(x)在(2 007,2 008)内可能存在零点
4．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( )
A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2) D．不能确定
5．利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表：
x
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
y＝2x
1.149
1.516
2.0
2.639
3.482
4.595
6.063
8.0
10.556
…
y＝x2
0.04
0.36
1.0
1.96
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
…
那么方程2x＝x2的一个根位于下列哪个区间内( )
A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)
C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)
6．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2,1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．若函数f(x)的图象是连续不间断的，依据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为________．(只填序号)
①(－∞，1] ②[1,2] ③[2,3] ④[3,4]
⑤[4,5] ⑥[5,6] ⑦[6，＋∞)
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.123
15.542
－3.930
10.678
－50.667
－305.678
8.用“二分法”求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．
9．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为____________(精确度为0.1)．
三、解答题
10．用二分法求出方程x2－2x－1＝0的一个正实根(精确到0.1)．
11．用二分法求方程x3－x－1＝0在区间[1.0,1.5]内的实根．(精确到0.1)
力气提升
12．下列是关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的命题：
①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点；
②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；
③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不愿定是函数f(x)的零点；
④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．
那么以上叙述中，正确的个数为( )
A．0 B．1 C．3 D．4
13．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：你最多称几次就可以发觉这枚假币？
1．能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
2．二分法实质是一种靠近思想的应用．区间长度为1时，使用“二分法”n次后，精确度为.
3．求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同．精确度为ε，是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若其长度小于ε，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算，否则应连续计算，直到|a－b|<ε为止．
2．4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
学问梳理
1．图象不间断 函数值异号 f(a)f(b)<0 至少有一个零点
x0∈(a，b) f(x0)＝0 2.(1)穿过x轴 (2)没有穿过x轴
3．零点近似值 4.(2)c
作业设计
1．B [依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．]
2．A [由选项A中的图象可知，不存在一个区间(a，b)，使f(a)·f(b)<0，即A选项中的零点不是变号零点，不符合二分法的定义．]
3．D
4．B [∵f(1)·f(1.5)<0，x1＝＝1.25.
又∵f(1.25)<0，∴f(1.25)·f(1.5)<0，
则方程的根落在区间(1.25,1.5)内．]
5．C [设f(x)＝2x－x2，依据列表有f(0.2)＝1.149－0.04>0，f(0.6)>0，f(1.0)>0，f(1.4)>0，
f(1.8)>0，f(2.2)<0，f(2.6)<0，f(3.0)<0，f(3.4)<0.因此方程的一个根在区间(1.8,2.2)内．]
6．A [由于f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．]
7．③④⑤
8．[2,2.5]
解析 令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，f(2.5)＝15.625－10＝5.625>0.
∵f(2)·f(2.5)<0，∴下一个有根的区间为[2,2.5]．
9．0.75或0.687 5
解析 由于|0.75－0.687 5|＝0.062 5<0.1，
所以0.75或0.687 5都可作为方程的近似解．
10．解 (1)设f(x)＝x2－2x－1，
∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，
∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，
记为x1.
又f(2)<0，f(2.5)>0⇒x1∈(2,2.5)，
f(2.25)<0，f(2.5)>0⇒x1∈(2.25,2.5)，
f(2.375)<0，f(2.5)>0⇒x1∈(2.375,2.5)，
f(2.375)<0，f(2.437 5)>0⇒x1∈(2.375，2.437 5)，
∵2.375与2.437 5精确到0.1的近似值都为2.4，
∴此方程的近似解为x1≈2.4.
11．解 令f(x)＝x3－x－1，f(1.0)＝－1<0，
f(1.5)＝0.875>0.
用二分法逐项计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数近似值
(1.0,1.5)
1.25
－0.297
(1.25,1.5)
1.375
0.225
(1.25,1.375)
1.312 5
－0.052
(1.312 5,1.375)
1.343 75
0.083
∵区间(1.312 5,1.343 75)的左右端点精确到0.1时的近似值为1.3，
∴方程x3－x－1＝0的近似解为1.3.
12．A [∵①中x0∈[a，b]且f(x0)＝0，∴x0是f(x)的一个零点，而不是(x0,0)，∴①错误；②∵函数f(x)不愿定连续，∴②错误；③方程f(x)＝0的根确定是函数f(x)的零点，∴③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，∴④也错误．]
13．解 第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，连续称；其次次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚连续称；
第三次两端各3枚，选出较轻的3枚连续称；
第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币．
∴最多称四次．
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