资源描述
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示
课时目标 1.理解平面的法向量的概念，了解平面的向量表示式.2.把握线面垂直的判定定理以及三垂线定理和三垂线定理的逆定理，会证明两平面的平行和垂直．
1．已知平面α，假如向量n的基线与平面α________，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α________.
2.设A是空间任一点，n为空间任一非零向量，则适合条件·n＝0的点M构成的图形是过空间一点并且与一个向量垂直的________，____________称作一个平面的向量表示式．
3．设n1、n2分别是平面α、β的法向量，
α∥β或α与β重合⇔n1______n2.
α⊥β⇔__________⇔____________.
4．假如在________内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的________垂直，则它也和这条________垂直；反之，假如平面内的一条直线和这个平面的一条________垂直，那么它也和这条斜线在平面内的________垂直．
5．假如一条直线和平面内的________________垂直，那么这条直线__________这个平面．
一、选择题
1．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α的一个法向量的是( )
A．(0，－3,1) B．(2,0,1)
C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1)
2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l⊂α D．l与α斜交
3．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( )
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．不能确定
4．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为( )
A．(1，－1,1) B．(2，－1,1)
C．(－2,1,1) D．(－1,1，－1)
5.
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B、AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
6．斜线b在平面α内的射影为c，直线a⊥c，则a与b( )
A．垂直 B．不垂直
C．共面或垂直 D．以上都有可能
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的单位法向量坐标为_________．
8．已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，且l∥α，则m＝________.
9．下列命题中：
①若u，v分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔u·v＝0；
②若u是平面α的法向量且向量a与α共面，则u·a＝0；
③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面确定不垂直．
正确的命题序号是________．(填写全部正确的序号)
三、解答题
10．已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量．
11.
如图所示，在六面体ABCD—A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2.
求证：(1)A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；
(2)平面A1ACC1⊥平面B1BDD1.
力气提升
12.
已知：如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是CC1的中点，F是AC与BD的交点，求证：A1F⊥平面BED.
1．平行问题的证明方法
证明线线平行只需证明表示两条直线的向量满足实数倍数关系，如证明AB∥CD只需证 ＝λ；证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直
线在平面外；证面面平行可转化证两面的法向量平行．
2．垂直问题的证明方法
立体几何中的垂直有：线与线垂直、线与面垂直、面与面垂直，它们之间可以相互转化．
要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直．
要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直．
要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直．
非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0.设非零向量a，b，a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
3．三垂线定理及其逆定理常用于判定空间直线相互垂直，在应用时关键在于构造三垂线定理的基本图形，创设应用定理的环境．构造三垂线定理基本图形时要抓住下面三个环节：
(1)确定投影面；(2)作出垂线；(3)确定射影．
3．2.2 平面的法向量与平面的向量表示
学问梳理
1．垂直 正交
2．平面 ·n＝0
3．∥ n1⊥n2 n1·n2＝0
4．平面 射影 斜线 斜线 射影
5．两条相交直线 垂直于
作业设计
1．D [只要是与向量n共线且非零的向量都可以作为平面α的法向量．故选D.]
2．B [∵n＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α.]
3．C [∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面也垂直．]
4．C [明显a与b不平行，设平面α的一个法向量为n＝(x，y，z)，则 ∴
令z＝1，得x＝－2，y＝1，∴n＝(－2,1,1)．]
5．B [可以建立空间直角坐标系，通过平面的法向量和的关系推断．]
6．D [若a⊂α，由三垂线定理知a⊥b.
当a不在平面α内时．a与b的位置关系不确定．]
7.或
8．－8
解析 ∵l∥α，∴l的方向向量与α的法向量垂直．
∴(2，m,1)·＝2＋m＋2＝0，∴m＝－8.
9．①②③
10．解 ∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，
∴＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)，
设平面α的一个法向量为n＝(x，y，z)．
依题意，应有n·＝0，n·＝0.
即，解得.
令y＝1，则x＝2.
∴平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)．
11．证明 如图所示，
以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，
C(0,2,0)，D1(0,0,2)，A1(1,0,2)，C1(0,1,2)，B(2,2,0)，B1(1,1,2)．
(1)∵＝(－1,1,0)，＝(－2,2,0)，
＝(－1，－1,0)，＝(－2，－2,0)，
∴＝2，＝2，
∴A1C1与AC共面，B1D1与BD共面．
(2) ·＝(0,0,2)·(－2,2,0)＝0，
·＝(2,2,0)·(－2,2,0)＝0.
∴⊥，⊥.
∵DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线，
∴AC⊥平面B1BDD1.又AC⊂面A1ACC1，
∴平面A1ACC1⊥平面B1BDD1.
12．证明 AA1⊥平面ABCD，AF是A1F在面ABCD内的射影，
又∵AC⊥BD，∴A1F⊥BD.(三垂线定理)
取BC中点G，连结FG，B1G(如图)，
∵A1B1⊥平面BCC1B1，
FG⊥平面BCC1B1，
∴B1G为A1F在面BCC1B1内的射影，又∵正方形BCC1B1中，E，G分别为CC1，BC的中点，
∴BE⊥B1G，∴A1F⊥BE(三垂线定理)，
又∵EB∩BD＝B，∴A1F⊥平面EBD.
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
