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§2.4 函数与方程
2．4.1 函数的零点
课时目标 1.能够结合二次函数的图象推断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.把握函数零点的存在性定理．
1．零点的定义：
一般地，假如函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即________，则α叫做这个函数的______．
2．二次函数零点的个数：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，有
(1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程ax2＋bx＋c＝0有__________的实数根，这时说二次函数y＝ax2＋bx＋c有________零点；
(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0有__________的实数根(重根)，这时说二次函数y＝ax2＋bx＋c有____________零点或者说有______零点；
(3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，这时说二次函数y＝ax2＋bx＋c没有零点．
3．二次函数零点的性质：
(1)当函数的图象通过零点且穿过x轴时，__________________.
(2)相邻两个零点之间的全部函数值保持同号．
(3)任意函数，只要它的图象是不间断的，上述性质同样成立．
一、选择题
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无法确定
2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是( )
A．若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
B．若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
C．若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
D．若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
3．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )
A．0，－ B．0，
C．0,2 D．2，－
4．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，则f(x)的零点的个数为( )
A．1 003 B．1 004 C．2 006 D．2 007
5．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，且a>b>c，则该函数的零点个数为( )
A．1 B．2
C．0 D．不能确定
6．函数f(x)＝3ax－2a＋1在[－1,1]上存在一个零点，则a的取值范围是( )
A．a≥ B．a≤1
C．－1≤a≤ D．a≥或a≤－1
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有__________个零点，这几个零点的和等于______．
8．已知一次函数f(x)＝2mx＋4，若在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是________．
9．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，则a＝________，b＝________.
三、解答题
10．证明：方程x4－4x－2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．
11．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．
力气提升
12．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图像如图所示，则( )
A．b∈(－∞，0) B．b∈(0,1)
C．b∈(1,2) D．b∈(2，＋∞)
13．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．
1．方程的根与方程所对应函数的零点的关系
(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
(2)依据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，因此推断一个函数是否有零点，有几个零点，就是推断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．
(3)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的横坐标．
2．并不是全部的函数都有零点，如函数y＝.
3．对于任意的一个函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不愿定变号．如函数y＝x2有零点x0＝0，但明显当它通过零点时函数值没有变号．
§2.4 函数与方程
2．4.1 函数的零点
学问梳理
1．f(α)＝0 零点 2.(1)两个不相等 两个 (2)两个相等 一个二重的 二阶 3.(1)函数值符号转变
作业设计
1．C [方程ax2＋bx＋c＝0中，∵ac<0，∴a≠0，
∴Δ＝b2－4ac>0，
即方程ax2＋bx＋c＝0有2个不同实数根，
则对应函数的零点个数为2个．]
2．C [对于选项A，可能存在根；
对于选项B，必存在但不愿定唯一；
选项D明显不成立．]
3．A [∵a≠0,2a＋b＝0，
∴b≠0，＝－.
令bx2－ax＝0，得x＝0或x＝＝－.]
4．D [由于f(x)是奇函数，
则f(0)＝0，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，
所以f(x)在(－∞，0)内的零点有1 003个．
因此f(x)的零点共有1 003＋1 003＋1＝2 007(个)．]
5．B [由f(1)＝0，得a＋b＋c＝0，又a>b>c，
∴a>0，c<0，∴Δ＝b2－4ac>0.]
6．D
7．3 0
解析 ∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，
又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递增，
由f(2)＝－f(－2)＝0.因此在(0，＋∞)上只有一个零点，
综上f(x)在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.
8．m≥1
解析 由于一次函数f(x)在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，
即函数f(x)在[－2,0]内有一个零点，
所以f(－2)f(0)≤0.
即(－4m＋4)(0＋4)≤0，解得m≥1.
9．2 －8
解析 ∵2，－4是函数f(x)的零点，∴f(2)＝0，
f(－4)＝0，即解得.
10．证明 设f(x)＝x4－4x－2，其图象是连续曲线．
由于f(－1)＝3>0，f(0)＝－2<0，f(2)＝6>0.
所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．
从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．
11．解 令f(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14.
依题意得或，
即或，
解得－<m<0.
12．A [方法一 从图中可以得f(0)＝0，
∴d＝0，由图可知f(x)有三个零点，故可设函数的解析式是
f(x)＝ax(x－1)(x－2)＝ax3－3ax2＋2ax.
当x>2时，f(x)>0，因此a>0，
∵b＝－3a
∴b<0.
方法二 由f(0)＝0，得d＝0，又∵f(1)＝0，
∴a＋b＋c＝0①
又∵f(－1)<0，即－a＋b－c<0②
①＋②得2b<0，∴b<0.]
13．解 设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1.
∵方程f(x)＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，
∴，即
∴<k<.
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