1、2.4函数与方程24.1函数的零点课时目标1.能够结合二次函数的图象推断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.把握函数零点的存在性定理1零点的定义：一般地，假如函数yf(x)在实数处的值等于零，即_，则叫做这个函数的_2二次函数零点的个数：对于二次函数yax2bxc，有(1)当b24ac0时，方程ax2bxc0有_的实数根，这时说二次函数yax2bxc有_零点；(2)当b24ac0时，方程ax2bxc0有_的实数根(重根)，这时说二次函数yax2bxc有_零点或者说有_零点；(3)当b
2、24ac0时，方程ax2bxc0没有实数根，这时说二次函数yax2bxc没有零点3二次函数零点的性质：(1)当函数的图象通过零点且穿过x轴时，_.(2)相邻两个零点之间的全部函数值保持同号(3)任意函数，只要它的图象是不间断的，上述性质同样成立一、选择题1二次函数yax2bxc中，ac0，不存在实数c(a，b)使得f(c)0B若f(a)f(b)0，有可能存在实数c(a，b)使得f(c)0D若f(a)f(b)bc，则该函数的零点个数为()A1 B2C0 D不能确定6函数f(x)3ax2a1在1,1上存在一个零点，则a的取值范围是()Aa Ba1C1a Da或a1题号123456答案二、填空题7已
3、知函数f(x)是定义域为R的奇函数，2是它的一个零点，且在(0，)上是增函数，则该函数有_个零点，这几个零点的和等于_8已知一次函数f(x)2mx4，若在2,0上存在x0使f(x0)0，则实数m的取值范围是_9若函数f(x)x2axb的零点是2和4，则a_，b_.三、解答题10证明：方程x44x20在区间1,2内至少有两个实数解11关于x的方程mx22(m3)x2m140有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围力气提升12已知函数f(x)ax3bx2cxd的图像如图所示，则()Ab(，0) Bb(0,1)Cb(1,2) Db(2，)13若方程x2(k2)x2k10的两根中，一根在0和
4、1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围1方程的根与方程所对应函数的零点的关系(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零(2)依据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是方程f(x)0的根，因此推断一个函数是否有零点，有几个零点，就是推断方程f(x)0是否有实根，有几个实根(3)函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的实数根，也就是函数yf(x)的图象与yg(x)的图象交点的横坐标2并不是全部的函数都有零点，如函数y.3对于任意的一个函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不愿定变号如函数yx2有零点x00，但明显当它通过零点时函数值没有
5、变号2.4函数与方程24.1函数的零点学问梳理1f()0零点2.(1)两个不相等两个(2)两个相等一个二重的二阶3.(1)函数值符号转变作业设计1C方程ax2bxc0中，ac0，即方程ax2bxc0有2个不同实数根，则对应函数的零点个数为2个2C对于选项A，可能存在根；对于选项B，必存在但不愿定唯一；选项D明显不成立3Aa0,2ab0，b0，.令bx2ax0，得x0或x.4D由于f(x)是奇函数，则f(0)0，且在(0，)内的零点有1 003个，所以f(x)在(，0)内的零点有1 003个因此f(x)的零点共有1 0031 00312 007(个)5B由f(1)0，得abc0，又abc，a0，
6、c0.6D730解析f(x)是R上的奇函数，f(0)0，又f(x)在(0，)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f(x)在(，0)上也单调递增，由f(2)f(2)0.因此在(0，)上只有一个零点，综上f(x)在R上共有3个零点，其和为2020.8m1解析由于一次函数f(x)在2,0上存在x0使f(x0)0，即函数f(x)在2,0内有一个零点，所以f(2)f(0)0.即(4m4)(04)0，解得m1.928解析2，4是函数f(x)的零点，f(2)0，f(4)0，即解得.10证明设f(x)x44x2，其图象是连续曲线由于f(1)30，f(0)20.所以在(1,0)，(0,2)内都有实数解从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解11解令f(x)mx22(m3)x2m14.依题意得或，即或，解得m2时，f(x)0，因此a0，b3ab0.方法二由f(0)0，得d0，又f(1)0，abc0又f(1)0，即abc0得2b0，b0.13解设f(x)x2(k2)x2k1.方程f(x)0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，即k.
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