广东省宝安中学2021届高三模拟考试数学(理)试题-Word版含答案.docx

2021年七校联合体高三理数沟通测试题
命题人：深圳市宝安中学 2021年5月
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，那么等于
A． 　 B．
C． D．
2．已知函数，则是
　 A．奇函数 B． 偶函数
C．既是奇函数也是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
3． 设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且⊥，
则“⊥”是“⊥”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知数列的前项和，则数列的前10项和为
A． 　 B． C． D．
6．若实数、满足，则的取值范围是
A． B． C． D．
7．已知区域，区域，在内随机投掷一点，则点落在区域内的概率是
A． 　 　B． 　 　C． 　　 D．
8. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为
A. B. C.3 D.2
二、填空题（本大题共7小题，考生作答6题，每小题5分，满分30分。）
（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必需作答．
9．二项式的开放式中，的系数是，则实数＝_____．
10．某学校为调查高中三班级男生的身高状况，选取了名男生作为样本，右图是此次调查统计的流程图，若输出的结果是，则身高在以下的频率为＿＿＿＿＿．
11．若命题“”为假命题，则实数的取值范围是 ．
12．过双曲线 的一个焦点作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段(为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 ．
13．如图，三条平行直线把平面分成①、②、③、④四个区域（不含边界），且直线到的距离相等．点 在直线上，点在直线上，为平面区域内的点，且满足．
若所在的区域为④,则的取值范围是是 ．
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题．
14．（极坐标与参数方程选做题）点(2，)到直线ρsin θ＝2的距离等于________．
15．（几何证明选讲选做题）如图,已知和是圆的两条弦,过点作圆的切线与的延长线相交于.过点作的平行线与圆交于点,与相交于点,,,,则线段的长为____________.
三、解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16．（本小题满分12分）
已知将函数的图象沿轴向左平移个单位所得函数的图象关于直线对称.
①求的最小值；
②已知点是函数的图象上的一点,求的值.

17．（本小题满分12分）
某中学组建了A、B、C、D、E五个不同的社团组织．为培育同学的爱好爱好，要求每个同学必需参与，且只能参与一个社团．假定某班级的甲、乙、丙三名同学对这五个社团的选择是等可能的．
（I）求甲、乙、丙三名同学参与五个社团的全部选法种数；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中至少有两人参与同一社团的概率；
（Ⅲ）设随机变量为甲、乙、丙三个同学参与A社团的人数，求的分布列与数学期望．

18．（本小题满分14分）
如图1，在矩形中，，，将沿矩形的对角线翻折，得到如图2所示的几何体，使得＝．
(Ⅰ) 求证：；
(Ⅱ) 若在上存在点，使得，求二面角的余弦值．
图1
图2

19．（本小题满分14分）
设数列的前项和为，已知.
(1) 求及；
(2) 设，若对一切，均有，求实数的取值范围.
20．（本小题满分14分）
已知函数
（1）求的最小值；
（2）设不等式的解集为，且，求实数的取值范围；
（3）设，证明：.

x
y
O
P
Q
A
M
F1
B
F2
N
21．（本小题满分14分）
设椭圆：的左、右焦点分别是，下顶点为，线段的中点为（为坐标原点），如图．若抛物线：与轴的交点为，且经过．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）设，为抛物线上的一动点，过点N作抛物线的切线交椭圆于P、Q两点，求面积的最大值．

参考答案
一、选择题： BABC CCBA
二、填空题: 9．；　 10．； 　 11．；　
12．； 　13．； 14. 1 15.
三、解答题
16、解 ① …………2分
将的图象向左平移m个单位得函数
其对称轴为 ∴
∴ ………………6分
（由
得到也可）
②∵ ∴…8分
令,则,,
∴ …12分
17.解：（Ⅰ）甲、乙、丙三名同学每人选择五个社团的方法数是5种，
故有5×5×5=125（种） ……………………………………………………3分
（Ⅱ）三名同学选择三个不同社团的概率是： …………………5分
∴三名同学中至少有两人选择同一个不同社团的概率是： ……6分
（Ⅲ）由题意

∴的分布列为

0
1
2
3

……………………………………………………………………………………10分
∴数学期望 ……………………12分

18解：（Ⅰ）当时，，，
∴，又，
∴平面，而平面，
∴．　　　　……………………6分

（Ⅱ）如图，以为原点，所在直线为轴，所
在直线为轴，建立空间直角坐标系，
由（Ⅰ）知，又，
∴平面，
∵平面，∴平面⊥平面，
过作，则轴，　　　　　　　　 ……………………8分
在中，，，可得．
故，∵，∴为中点，∴．
设平面的法向量为，
则∴　即 …………10分
取，则，又平面的法向量为， ……12分
则＝＝．
故二面角的余弦值为．　　　　 ……………………14分

19. 解：（1）依题意，时，，时，.2分
，①
时，，②
①②，得，.4分
上式对也成立，.5分
（也可先猜想，然后用数学归纳法证明）
（2）由（1），当时，，7分
，,8分
. ,数列是等比数列. 9分
则.10分
随的增大而增大，，11分
依题意，得，12分
解得， 或，即.14分
20. （1）解：的导数. 令，解得；令，解得.……………………2分
从而在内单调递减，在内单调递增. 所以，当时，取得最小值. ……………………3分
（2）解：由于不等式的解集为，且，
所以对于任意，不等式 恒成立.
由，得 .
当时，上述不等式明显成立，故只需考虑的状况.
将 变形为 ， ……………………5分
令 ，则的导数，
令，解得；令，解得.
从而在内单调递减，在内单调递增. 当时，取得最小值，
实数的取值范围是. ……………………8分
（3）证明：由（Ⅰ）得，对于任意，都有，即 .
令， 则 .

即 .……………………11分
.
，. ……………………14分

x
y
O
P
Q
A
M
F1
B
F2
N

21.解：（Ⅰ）由题意可知B（0，-1），则A（0，-2），故b=2．
令y=0得即，则F1(-1，0)，F2（1，0），故c=1．
所以．于是椭圆C1的方程为：．……………………4分
（Ⅱ）设N（），由于知直线PQ的方程为：
． 即．
代入椭圆方程整理得：,
=,
, ,……………………6分
故
．……………………8分
设点M到直线PQ的距离为d，则．……………………10分
所以，的面积S

当时取到“=”，经检验此时，满足题意．
综上可知，的面积的最大值为．……………………14分