资源描述
限时·规范·特训
[A级 基础达标]
1. [2022·陕西高考]设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1.x∈R}，则M∩N＝( )
A. [0,1] B. (0,1)
C. (0,1] D. [0,1)
解析：由于M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2－1<0，x∈R}＝{x|－1<x<1，x∈R}，所以M∩N＝{x|0≤x<1}＝[0,1)．故选D.
答案：D
2. 设集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，则使M∩N＝N成立的a的值是( )
A. 1 B. 0
C. －1 D. 1或－1
解析：若M∩N＝N，则N⊆M.结合集合元素的互异性得所以a＝－1.故选C.
答案：C
3. [2021·甘肃二诊]已知集合A＝{0,1}，B＝{y|y2＝1－x3，x∈A}，则A∪B的子集的个数为( )
A. 4 B. 7
C. 8 D. 16
解析：当x＝0时，可得y＝±1；当x＝1时，可得y＝0，故A∪B＝{0,1，－1}，其子集的个数是23＝8.
答案：C
4. [2021·郑州质量猜想]已知集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x<2m}且A⊆∁RB，那么m的值可以是( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：由B＝{x|x<2m}，得∁RB＝{x|x≥2m}．∵A⊆∁RB，∴2m≤2，∴m≤1，故选A.
答案：A
5. [2021·衡水中学二调]已知R是实数集，M＝{x|<1}，N＝{y|y＝＋1}，则N∩∁RM＝( )
A. (1,2) B. [0,2]
C. ∅ D. [1,2]
解析：∵<1，∴>0，
∴x<0或x>2，∴M＝{x|x<0或x>2}，∴∁RM＝{x|0≤x≤2}．∵y＝＋1，∴y≥1，∴N＝{y|y≥1}，∴N∩∁RM＝[1,2]，故选D.
答案：D
6. [2021·吉林模拟]已知全集U＝{0,1,2,3,4}，A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则下图中阴影部分表示的集合为( )
A. {0,2} B. {0,1,3}
C. {1,3,4} D. {2,3,4}
解析：集合A∪B＝{1,2,3,4}，A∩B＝{2}，阴影部分表示的集合为{1,3,4}．
答案：C
7.[2022·重庆高考]设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁UA)∩B＝________.
解析：U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，
∴∁UA＝{4,6,7,9,10}，又∵B＝{1,3,5,7,9}，
∴(∁UA)∩B＝{7,9}．
答案：{7,9}
8. 集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为________．
解析：∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.
答案：4
9. [2021·南昌模拟]已知集合A＝{y|y＝x2＋2x，－2≤x≤2}，B＝{x|x2＋2x－3≤0}，在集合A中任意取一个元素a，则a∈B的概率是________．
解析：依题意，函数y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1(－2≤x≤2)的值域是A＝{y|－1≤y≤8}；由x2＋2x－3≤0得－3≤x≤1，则A∩B＝{x|－1≤x≤1}，因此所求的概率等于＝.
答案：
10. 已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a的值．
(1)9∈A∩B；(2){9}＝A∩B.
解：(1)∵9∈A∩B且9∈B，∴9∈A.
∴2a－1＝9或a2＝9.∴a＝5或a＝±3.
而当a＝3时，a－5＝1－a＝－2，故舍去．
∴a＝5或a＝－3.
(2)∵{9}＝A∩B，∴9∈A∩B.
∴a＝5或a＝－3.
而当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}，
此时A∩B＝{－4,9}≠{9}，故a＝5舍去．
∴a＝－3.
11. 已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．
(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；
(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．
解：由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，
B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
(1)∵A∩B＝[0,3]，
∴
∴m＝2.
(2)∁RB＝{x|x<m－2或x>m＋2}，
∵A⊆∁RB，
∴m－2>3或m＋2<－1，
即m>5或m<－3.
12. 已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}．
(1)若B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；
(2)若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；
(3)若A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．
解：由A＝{x|x2－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}，
(1)由于B⊆A，所以，
①若B＝∅，则m＋1>2m－1，即m<2，此时满足B⊆A；
②若B≠∅，则解得2≤m≤3.
由①②得，m的取值范围是(－∞，3]．
(2)若A＝B，则必有解得m∈∅，即不存在实数m使得A＝B.
(3)若A⊆B，则依题意应有
解得故3≤m≤4.
所以m的取值范围为[3,4]．
[B级 知能提升]
1. [2021·深圳调研]已知集合A＝{0,1}，则满足条件A∪B＝{2,0,1,3}的集合B共有( )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
解析：由题知B集合必需含有元素2,3，可以是{2,3}，{2,1,3}，{2,0,3}，{2,0,1,3}，共四个，故选D.
答案：D
2. [2021·金版创新题]设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q＝{z|z＝a÷b，a∈P，b∈Q}，若P＝{－1,0,1}，Q＝{－2,2}，则集合P*Q中元素的个数是( )
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
解析：当a＝0时，无论b取何值，z＝a÷b＝0；当a＝－1，b＝－2时，z＝(－1)÷(－2)＝；
当a＝－1，b＝2时，z＝(－1)÷2＝－；
当a＝1，b＝－2时，z＝1÷(－2)＝－；
当a＝1，b＝2时，z＝1÷2＝.
故P*Q＝，该集合中共有3个元素．
答案：B
3. 若集合A＝{x|(k＋2)x2＋2kx＋1＝0}有且仅有两个子集，则实数k的值为________．
解析：集合A＝{x|(k＋2)x2＋2kx＋1＝0}有且仅有两个子集，所以集合A中只有一个元素．当k＋2＝0，即k＝－2时，方程可化为－4x＋1＝0，所以集合A只有一个元素；当k＋2≠0时，判别式Δ＝(2k)2－4(k＋2)＝0，解得k＝2或k＝－1.
答案：±2或－1
4. 已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|x2－3x≤10}．
(1)若a＝3，求(∁RP)∩Q；
(2)若P∪Q＝Q，求实数a的取值范围．
解：(1)由于a＝3，所以P＝{x|4≤x≤7}，
∁RP＝{x|x<4或x>7}．
又Q＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}，所以(∁RP)∩Q＝{x|x<4或x>7}∩{x|－2≤x≤5}＝{x|－2≤x＜4}．
(2)当P≠∅时，由P∪Q＝Q，得P⊆Q，
所以解得0≤a≤2；
当P＝∅，即2a＋1<a＋1时，有P⊆Q，得a<0.
综上，实数a的取值范围是(－∞，2]．
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