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第六章 不等式
第一节 不等关系与不等式
[考情展望] 1.考查有关不等式的命题真假及数式的大小比较.2.考查与不等式相关的充分必要条件的推断.3.考查和函数、数列等学问的综合应用．
一、实数的大小挨次与运算性质的关系
a＞b⇔a－b＞0，
a＝b⇔a－b＝0，
a＜b⇔a－b＜0.
二、不等式的性质
1．对称性：a>b⇔b<a；(双向性)
2．传递性：a>b，b>c⇒a>c；(单向性)
3．可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性)
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(单向性)
4．可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；
a>b，c<0⇒ac<bc；
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(单向性)
5．乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)；(单向性)
6．开方法则：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)；(单向性)
7．倒数性质：设ab＞0，则a＜b⇔＞.(双向性)
真、假分数的性质
若a＞b＞0，m＞0，则
(1)真分数的性质：
＜，＞(b－m＞0)
(2)假分数的性质：
＞，＜(b－m＞0)
1．对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】 B
2．在城区限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是
( )
A．v＜40 km/h B．v＞40 km/h
C．v≠40 km/h D．v≤40 km/h
【答案】 D
3．已知a，b为非零实数，且a＞b，则下列不等式确定成立的是( )
A．a4＞b4 B.＜
C．|a|＞|b| D．2a＞2b
【答案】 D
4.与＋1的大小关系为 ．
【答案】 ＜＋1
5．设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：
①>；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．
其中全部的正确结论的序号是( )
A．① B．①②
C．②③ D．①②③
【答案】 D
6．(2021·天津高考)设a，b∈R，则“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】 A
考向一 [099] 应用不等式表示不等关系
(1)某地规定本地最低生活保障金不低于300元，上述不等关系写成不等式为 ．
【答案】 x≥300
(2)某汽车公司由于进展的需要需购进一批汽车，方案使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车．依据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述全部不等关系的不等式．
【尝试解答】 设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则x、y满足
规律方法1 1.本例(2)在求解时，常因忽视变量x，y∈N*致误．
2．求解此类问题确定要精确 将题目中文字语言转化为数学符号语言(如不等式等)，特殊是留意“不超过”、“至少”、“低于”表示的不等关系，同时还应考虑变量的实际意义．
(1)(2022·四川高考)若a＞b＞0，c＜d＜0，则确定有( )
A.＞ B.＜
C.＞ D.＜
【答案】 13
(2)已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．
【尝试解答】 法一 设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，
则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
于是得解得
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
故5≤f(－2)≤10.
法二 由于
∴a＝，b＝.
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.
故5≤f(－2)≤10.
规律方法2 1.解题时，易忽视不等式性质成立的条件，或“无中生有”自造性质导致推理判定失误．
2．由a＜f(x，y)＜b，c＜g(x，y)＜d，求F(x，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F(x，y)的取值范围．
对点训练 (1)(2021·西宁模拟)已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是( )
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若>，则a>b
C．若a3>b3且ab<0，则>
D．若a2>b2且ab>0，则<
(2)(2021·宁波模拟)若角α，β满足－<α<β<π，则α－β的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】 (1)C (2)B
(3)若α，β满足试求α＋3β的取值范围．
【解】 设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.
由解得
∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，
∴两式相加，得1≤α＋3β≤7.
考向三 [101] 比较大小
(1)已知m∈R，a＞b＞1，f(x)＝，试比较f(a)与f(b)的大小；
(2)比较aabb与abba(a＞0且a≠1，b＞0且b≠1)的大小．
【尝试解答】 (1)法一 ∵f(a)＝，f(b)＝，
∴f(a)－f(b)＝－＝m2
＝m2·＝m2·，
当m＝0时，f(a)＝f(b)；
当m≠0时，m2＞0，又a＞b＞1，∴f(a)＜f(b)，即f(a)≤f(b)．
法二 ∵f(x)＝＝m2，
∴f(a)＝m2，f(b)＝m2，
由于a＞b＞1，∴a－1＞b－1＞0，∴1＋＜1＋，
当m＝0时，m2＝m2，即f(a)＝f(b)；
当m≠0时，m2＜m2，即f(a)＜f(b)，
∴f(a)≤f(b)．
(2)依据同底数幂的运算法则，接受作商法，
＝aa－bbb－a＝a－b，
当a＞b＞0时，＞1，a－b＞0，
则a－b＞1，∴aabb＞abba，
当b＞a＞0时，0＜＜1，a－b＜0，
则a－b＞1，∴aabb＞abba，
当a＝b＞0时，a－b＝1，∴aabb＝abba，
综上知aabb≥abba(当且仅当a＝b时取等号)．
规律方法3 1.第(1)中，若留意到m2≥0，亦可构造函数φ(x)＝(x＞1)，推断出φ(x)是减函数，f(a)≤f(b)．
2．(1)“作差比较法”的过程可分为四步：①作差；②变形；③推断差的符号；④作出结论．其中关键一步是变形，手段可以有通分、因式分解、配方等．(2)“作商比较法”的依据是“＞1，b＞0⇒a＞b”，在数式结构含有幂或根式时，常接受比商法．
对点训练 若a＞b＞0，试比较a＋b与a＋b的大小．
【解】 (a＋b)－(a＋b)＝a(－)＋b(－)＝(－)(a－b)＝(－)2(＋)，
∵＋＞0，(－)2＞0，
∴(a＋b)－(a＋b)＞0，
∴a＋b＞a＋b.
易错易误之十一 不等式变形中盲目扩大范围
—————————— [1个示范例] ——————
设函数f(x)＝xn＋bx＋c(n∈N*，b，c∈R)．
(1)设n≥2，b＝1，c＝－1，证明f(x)在区间内存在唯一零点；
(2)设n为偶数，|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，求b＋3c的最大值和最小值．
【解】 (1)当b＝1，c＝－1，n≥2时，f(x)＝xn＋x－1，
ff(1)＝×1＜0，
∴f(x)在区间内有零点，又当x∈时，f′(x)＝n·xn－1＋1＞0，
∴f(x)在上是单调递增的，∴f(x)在内存在唯一零点．
(2)法一 由n为偶数，且|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，
∴即
本例(2)在求解中常犯以下错误：
∵n为偶数，且|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，∴
因此－1≤b≤1，且－2≤c≤0.∴－7≤b＋3c≤1，
故b＋3c的最大值为1，最小值为－7.
出错缘由为：(1)忽视字母b、c相互制约的条件，片面将b，c分割开来导致字母范围发生变化．
(2)多次运用同向不等式相加这一性质，不是等价变形，扩大变量的取值范围，致使最值求解错误．
作上述不等式组表示的可行域，如图所示．
令t＝b＋3c，则c＝－.
平移b＋3c＝0，知直线过原点O时截距最大，过点A时截距最小，∴t＝b＋3c的最大值为0＋3×0＝0；最小值为0＋3×(－2)＝－6.
法二 由题意知
解得b＝，c＝，
∴b＋3c＝2f(1)＋f(－1)－3.又∵－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1，∴－6≤b＋3c≤0.当b＝0，c＝－2时，b＋3c＝－6；当b＝c＝0时，b＋3c＝0，
∴b＋3c的最小值为－6，最大值为0.
【防范措施】 处理该类问题的方式常有两种：
(1)利用待定系数法先建立待求整体与已知范围的整体的等量关系，最终通过“一次性”使用不等式的运算求得待求整体的范围．
(2)运用线性规划，依据t＝b＋3c的几何意义，数形结合求t的最值．
———————— [1个防错练] ———————
已知函数f(x)＝ax2－c，且f(1)∈[－4，－1]，f(2)∈[－1,5]，求f(3)的取值范围．
【解】 法一 (以a、c为桥梁，方程组思想)
∵f(x)＝ax2－c.
∴⇒⇒
f(3)＝9a－c＝－f(1)＋f(2)．
⇒－1≤f(3)≤20.
∴f(3)的取值范围为[－1,20]．
法二 (待定系数法)设f(3)＝λf(1)＋μf(2)，
∴9a－c＝λ(a－c)＋μ(4a－c)．
∴，解得.
∴f(3)＝－f(1)＋f(2)．下同法一，略．
课时限时检测(三十四) 不等关系与不等式
(时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是( )
A.＜ B．a2＞b2
C.＞ D．a|c|＞b|c|
【答案】 C
2．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不愿定能成立的是( )
A.＜ B.＞0
C.＜ D.＜0
【答案】 C
3．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是( )
A．a＞b＋1 B．a＞b－1
C．a2＞b2 D．a3＞b3
【答案】 A
4．若A＝＋3与B＝＋2，则A，B的大小关系是( )
A．A＞B B．A＜B
C．A≥B D．不确定
【答案】 A
5．若角α，β满足－＜α＜β＜π，则α－β的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】 B
6．设a>0，b>0，( )
A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a>b
B．若2a＋2a＝2b＋3b，则a<b
C．若2a－2a＝2b－3b，则a>b
D．若2a－2a＝2b－3b，则a<b
【答案】 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分，某同学有一道题未答，那么这个同学至少答对多少题，成果才能不低于80分，列出其中的不等关系： .(不用化简)
【答案】 5x－2(19－x)≥80，x∈N*
8．x2＋y2＋1与2(x＋y－1)的大小关系是 ．
【答案】 x2＋y2＋1>2(x＋y－1)
9.已知a，b，c∈R，有以下命题：
①若a＞b，有ac2＞bc2；
②若ac2＞bc2，则a＞b；
③若a＞b，则a·2c＞b·2c.
以上命题中正确的是 (请把正确命题的序号都填上)．
【答案】 ②③
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)已知12＜a＜60,15＜b＜36，求a－b，的取值范围．
【解】 ∵15＜b＜36，∴－36＜－b＜－15.
又12＜a＜60，∴12－36＜a－b＜60－15，
∴－24＜a－b＜45.
又＜＜，∴＜＜，
∴＜＜4.
11．(12分)下面为某省农运会官方票务网站分布的几种球类竞赛的门票价格，某球迷赛前预备1 200元，预订15张下表中球类竞赛的门票.
竞赛项目
票价(元/场)
足球
100
篮球
80
乒乓球
60
若在预备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，该球迷想预订上表中三种球类竞赛门票，其中篮球竞赛门票数与乒乓球竞赛门票数相同，且篮球竞赛门票的费用不超过足球竞赛门票的费用，求可以预订的足球竞赛门票数．
【解】 设预订篮球竞赛门票数与乒乓球竞赛门票数都是n张，则足球竞赛门票预订(15－2n)张，由题意得
解得5≤n≤5，
由n∈N*知，n＝5，∴15－2n＝5，
故可预订足球竞赛门票5张．
12．(13分)若实数a、b、c满足b＋c＝5a2－8a＋11，b－c＝a2－6a＋9，试比较a、b、c的大小．
【解】 ∵b－c＝a2－6a＋9＝(a－3)2≥0，
∴b≥c.①
又
∴c＝2a2－a＋1.
则c－a＝2a2－2a＋1＝22＋＞0，
∴c＞a.②
由①②得b≥c＞a.
其次节 一元二次不等式及其解法
[考情展望] 1.考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题.2.会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型.3.以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题．
一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根
有两相异实根x1，x2(x1<x2)
有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
{x|x<x1或x>x2}
{x|x≠x1}
R
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
{x|x1<x<x2}
∅
∅
不等式恒成立问题的解法
不等式ax2＋bx＋c＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＞0；当a≠0时，不等式ax2＋bx＋c＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＜0；当a≠0时，
1．不等式2x2－x－1＞0的解集是( )
A.
B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞)
D.∪(1，＋∞)
【答案】 D
2．不等式≤0的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】 A
3．函数y＝的定义域是 ．
【答案】 {x|－3＜x＜2}
4．一元二次不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，则a＋b的值是 ．
【答案】 －14
5．(2021·重庆高考)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15 ，则a＝ ( )
A. B.
C. D.
【答案】 A
6．已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】 (0,8)
考向一 [102] 一元二次不等式的解法
已知不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}．
(1)求a，b的值；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0.
【尝试解答】 (1)由于不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，b＞1且a＞0.由根与系数的关系，
得解得
(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0，
即x2－(2＋c)x＋2c＜0，即(x－2)(x－c)＜0.
当c＞2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为{x|2＜x＜c}；
当c＜2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为{x|c＜x＜2}；
当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为∅.
所以，当c＞2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为{x|2＜x＜c}；
当c＜2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为{x|c＜x＜2}；
当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为∅.
规律方法1 1.解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再依据判别式符号推断对应方程根的状况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．
2．解含参数的一元二次不等式，要把握好分类争辩的层次．一般按下面次序进行争辩；首先依据二次项系数的符号进行分类，其次依据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最终当根存在时，依据根的大小进行分类．
对点训练 (1)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，则不等式ax2－bx＋c＞0的解集为 ．
【答案】 {x|－3＜x＜－2}
(2)a∈R，解关于x的不等式x－≥a(x－1)．
【解】 原不等式可转化为≥0(*)
(1)当a＝1时，(*)式为≥0，解得x＜0或x≥1.
(2)当a≠1时，(*)式为≥0
①若a＜1，则a－1＜0，＜0，解得≤x＜0，或x≥1；
②若1＜a≤2，则1－a＜0，≥1，解得x＜0，或1≤x≤；
③若a＞2，则a－1＞1,0＜＜1,1－a＜0，解得x＜0，或≤x≤1；
综上，当a＝1时，不等式解集为{x|x＜0或x≥1}．
当a＜1时，不等式解集为.
当1＜a≤2时，不等式解集为
.
当a＞2时，不等式解集为.
考向二 [103] 不等式恒成立问题
设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；
(2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
【尝试解答】 (1)要使mx2－mx－1<0恒成立，
若m＝0，明显－1<0；
若m≠0，
则⇒－4<m<0.
所以m的取值范围为{m|－4<m≤0}．
(2)要使f(x)<－m＋5在[1,3]上恒成立，只需mx2－mx＋m＜6恒成立(x∈[1,3])，
又因x2－x＋1＝2＋＞0，
所以m<.
由于y＝＝，
由t＝2＋在[1,3]上是增函数，
∴y＝在[1,3]上是减函数，
因此函数的最小值ymin＝.
所以，m的取值范围是{m|m<}．
规律方法2 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分别参数法求最值．
2．解决恒成立问题确定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
对点训练 (1)(2021·衡水模拟)若a∈R，且对一切实数x都有ax2＋ax＋a＋3>0，那么a的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，－4) D．(－∞，－4]∪(0，＋∞)
(2)(2021·郑州模拟)若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈都成立，则a的最小值是 ．
【答案】 (1)B (2)－
(3)若x∈[－1，＋∞)时，x2－2ax＋2≥a恒成立，试求a的取值范围．
【解】 法一 令f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1，＋∞)，
f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.
(1)当a∈(－∞，－1)时，结合图象知，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.
要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，
即2a＋3≥a，解得－3≤a<－1；
(2)当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，
由2－a2≥a，解得－2≤a≤1，∴－1≤a≤1.
综上所述，所求a的取值范围为－3≤a≤1.
法二 由已知得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，
令f(x)＝x2－2ax＋2－a，
即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或
解得－3≤a≤1.
故a的取值范围为{a|－3≤a≤1}．
考向三 [104] 一元二次不等式的实际应用
行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要连续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速v(km/h)满足下列关系：s＝＋(n为常数，且n∈N)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图6－2－1所示，其中
图6－2－1
(1)求n的值；
(2)要使刹车距离不超过12.6 m，则行驶的最大速度是多少？
【尝试解答】 (1)由试验数据知，
s1＝n＋4，s2＝n＋，
∴解之得
又n∈N，∴取n＝6.
(2)由(1)知，s＝＋，v≥0.
依题意，s＝＋≤12.6，
即v2＋24v－5 040≤0，解之得－84≤v≤60.
留意到v≥0，所以0≤v≤60.
故行驶的最大速度为60 km/h.
规律方法3 1.(1)求解本例的关键是文字语言、图形语言，符号语言之间的合理转化．(2)避开忽视v≥0的限制条件，及＋≤12.6中的等号．
2．解不等式的实际应用中，常以函数模型为载体，解题时要理清题意，精确 找出其中的不等关系，引进数学符号恰当表示，最终用不等式的解回答实际问题．
对点训练 某种商品，现在定价p元，每月卖出n件，设定价上涨x成，每月卖出数量削减y成，每月售货总金额变成现在的z倍．
(1)用x和y表示z；
(2)若y＝x，求使每月售货总金额有所增加的x值的范围．
【解】 (1)按现在的定价上涨x成时，上涨后的定价为p元，每月卖出数量为n件，每月售货总金额是npz元，
因而npz＝p·n，
所以z＝.
(2)当y＝x时，z＝，
要使每月售货总金额有所增加，即z>1，
应有(10＋x)·>100，
即x(x－5)<0，所以0<x<5，所以，要使每月售货总金额有所增加，则x的取值范围是(0,5).
思想方法之十四 数形结合巧解不等式
不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：
(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与确定值有关的问题，解决数集的交、并、补运算格外有效．
(2)借助函数图象，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需留意的问题是精确 把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．
—————————— [1个示范例] —————
(2021·四川高考)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是 ．
【解析】 设x<0，则－x>0.
∵当x≥0时，f(x)＝x2－4x，∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)．
∵f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2＋4x(x<0)，
∴f(x)＝
由f(x)＝5得或
∴x＝5或x＝－5.
观看图象可知f(x)<5，得－5<x<5.
∴由f(x＋2)<5，得－5<x＋2<5，∴－7<x<3.
∴不等式f(x＋2)<5的解集是{x|－7<x<3}．
————————— [1个对点练] ———————
(2021·镇江模拟)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为 ．
【解析】 法一：f(x)＝x2＋ax＋b＝2＋b－.
由题意＝0，即a2－4b＝0，所以不等式f(x)<c可转化为x2＋ax＋－c<0，由已知可得m，m＋6为方程x2＋ax＋－c＝0的两根，则
所以c＝－m(m＋6)＝－m(m＋6)
＝m2＋6m＋9－m2－6m＝9.
法二：f(x)＝x2＋ax＋b＝2＋b－.
由题意＝0，即a2－4b＝0，
所以不等式f(x)<c，即x2＋ax＋<c，
即2<c，由已知必有c>0，
且－－<x<－，
即不等式解集是，于是
m＝－－，m＋6＝－，
因此(m＋6)－m＝－＝2，故c＝9.
【答案】 9
课时限时检测(三十五) 一元二次不等式及其解法
(时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．设x∈R，则“x>”是“2x2＋x－1>0”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】 A
2．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集是( )
A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C. D.∪
【答案】 A
3．(2021·湖北高考)已知全集为R，集合A＝ ，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则A∩∁RB＝( )
A．{x|x≤0}
B．{x|2≤x≤4}
C．{x|0≤x<2或x>4}
D．{x|0<x≤2或x≥4}
【答案】 C
4．若不等式x2＋ax－2＞0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是( )
A. B.
C．(1，＋∞) D.
【答案】 B
5．不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为
( )
A．[－1,4]
B．(－∞，－2]∪[，5＋∞)
C．(－∞，－1)∪[4，＋∞)
D．[－2,5]
【答案】 A
6．设函数f(x)＝则不等式f(x)＞3的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
【答案】 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．(2021·广东高考)不等式x2＋x－2<0的解集为 ．
【答案】 (－2,1)
8．已知关于x的不等式＜0的解集是{x|x＜－1或x＞－}，则实数a＝ .
【答案】 －2
9．若不等式x2－2ax＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，则关于t的不等式at2＋2t－3＜1的解集为 ．
【答案】 {t|t＜－3或t＞1}
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＜0(a∈R)．
【解】 原不等式可化为(x－a)(x－a2)＜0，
(1)当a＝a2即a＝0或a＝1时，原不等式变为x2＜0或(x－1)2＜0，解集为∅；
(2)当a＞a2即0＜a＜1时，
解集为{x|a2＜x＜a}；
(3)当a2＞a即a＜0或a＞1时，解集为{x|a＜x＜a2}；
综上得：原不等式的解集为：
当a＝0或a＝1时，为∅；
当0＜a＜1时，为{x|a2＜x＜a}；
当a＜0或a＞1时，为{x|a＜x＜a2}．
11．(12分)某产品生产厂家依据以往的生产销售阅历得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入(万元)R(x)满足
R(x)＝
假定该产品销售平衡，那么依据上述统计规律：
(1)要使工厂有盈利，产品数量x应把握在什么范围？
(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？求此时每台产品的售价为多少？
【解】 依题意得G(x)＝x＋2，设利润函数为f(x)，
则f(x)＝R(x)－G(x)，
所以f(x)＝
(1)要使工厂有盈利，则有f(x)＞0，
由于f(x)＞0
∴或
∴或5＜x＜8.2.
∴1＜x≤5或5＜x＜8.2，即1＜x＜8.2.
所以要使工厂盈利，产品数量应把握在大于100台小于820台的范围内．
(2)0≤x≤5时，f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6，
故当x＝4时，f(x)有最大值3.6.
而当x＞5时，f(x)＜8.2－5＝3.2
所以当工厂生产400台产品时，盈利最大，
此时，＝2.4(万元/百台)＝240(元/台)．
即每台产品的售价为240元．
12．(13分)设函数f(x)＝ax3－3x＋1，若对于任意x∈[－1，1]，都有f(x)≥0成立，求实数a的值．
【解】 (1)若x＝0，则不论a取何值，f(x)＝1＞0恒成立．
(2)若x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0化为a≥－.
设g(x)＝－，则g′(x)＝.
∴g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
∴g(x)max＝g()＝4，从而a≥4.
(3)若x∈[－1,0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0化为a≤－.
设h(x)＝－，则h′(x)＝，
∴h(x)在[－1,0)上单调递增．
∴h(x)min＝h(－1)＝4，从而a≤4.
综上所述，实数a的值为4.
第三节 二元一次不等式(组)与简洁的线性规划问题
[考情展望] 1.考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值(或取值范围).2.考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围.3.利用线性规划方法设计解决实际问题的最优方案．
一、二元一次不等式表示的平面区域及其推断方法
1．二元一次不等式表示的平面区域
在平面直角坐标系中，平面内全部的点被直线Ax＋By＋C＝0分成三类：
(1)满足Ax＋By＋C＝0的点；
(2)满足Ax＋By＋C>0的点；
(3)满足Ax＋By＋C<0的点．
2．二元一次不等式表示平面区域的推断方法
直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，当点在直线l的同一侧时，点的坐标使式子Ax＋By＋C的值具有相同的符号，当点在直线l的两侧时，点的坐标使Ax＋By＋C的值具有相反的符号．
二、线性规划中的基本概念
名称
意义
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
全部可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值同直线z－ax－by＝0在y轴上截距的关系
求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，利用其几何意义，通过求y＝－x＋的截距的最值间接求出z的最值．
(1)当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值．
(2)当b＜0时，结论与b＞0的情形恰好相反．
1．不等式组表示的平面区域是( )
【答案】 B
2．已知变量x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为( )
A．12 B．11 C．3 D．－1
【答案】 B
3．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产方案为( )
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
【答案】 B
4．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是 ．
【答案】 1
5．(2021·福建高考)若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值和最小值分别为( )
A．4和3 B．4和2
C．3和2 D．2和0
【答案】 B
6．(2022·浙江高考)当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
考向一 [105] 二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)不等式组表示的平面区域的面积为( )
A．4 B．1 C．5 D．6
(2)若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是( )
A. B.
C. D.
【答案】 (1)B (2)A
规律方法1 1.解答本例(2)的关键是依据直线y＝kx＋过定点，利用面积相等确定直线所经过的边界上的点．
2．二元一次不等式(组)表示平面区域的判定方法：
(1)同号上，异号下．当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方，当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．
(2)直线定界、特殊点定域．应留意是否包括边界，若不包括边界，则应将边界画成虚线；若直线不过原点，特殊点常选取原点．
对点训练 已知关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为( )
A．1 B．－3 C．1或－3 D．0
【答案】 A
考向二 [106] 求目标函数的最值
(2021·课标全国卷Ⅰ改编)设x，y满足约束条件
(1)求z＝2x－y的最大值．
(2)若z＝，求z的取值范围．
【尝试解答】 (1)作出可行域，进一步探究最大值．
作出可行域如图阴影部分．
作直线2x－y＝0，并向右平移，当平移至直线过点B时，z＝2x－y取最大值．
而由得B(3,3)．
∴zmax＝2×3－3＝3.
(2)z＝表示可行域内的点到原点的距离，观看可行域知，可行域内的点A和点C到原点的距离分别为最大和最小．
又由得A(1,1)．
由得C(3,4)．
故|OA|＝＝，|OC|＝＝5.
∴z的取值范围为[，5]．
规律方法2 1.本例求解的关键在于：(1)精确 作出可行域；(2)明确目标函数的几何意义．
2．(1)线性目标函数z＝ax＋by的几何意义与直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距有关，当b＞0时，直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距越大，z值越大；当b＜0时，状况相反．
(2)常见的非线性目标函数的几何意义：表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率；表示点(x，y)与点(a，b)的距离．
对点训练 (1)(2022·广东高考)若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
(2)(2022·山东高考)已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为( )
A．5 B．4
C. D．2
(3)(2022·北京高考)若x，y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为( )
A．2 B．－2
C. D．－
【答案】 (1)B (2)B (3)D
考向三 [107] 线性规划的实际应用
某企业生产A，B两种产品，生产每吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：
产品品种
劳动力(个)
煤(吨)
电(千瓦)
A产品
3
9
4
B产品
10
4
5
已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何支配生产，才能获得最大利润？
【尝试解答】 设生产A，
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