2022届数学一轮(理科)人教A版课时作业-4-3两角和与差的正弦、余弦、正切.docx

第3讲 两角和与差的正弦、余弦、正切

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2022·皖南八校联考)若tan θ＝，则＝ (　　)
A. B．－
C. D．－
解析　＝＝tan θ＝.
答案　A
2．(2021·东北三省三校联考)已知sin α＋cos α＝，则sin2＝ (　　)
A. B.
C. D.
解析　由sin α＋cos α＝两边平方得1＋sin 2α＝，解得sin 2α＝－，所以sin2＝＝＝＝，故选B.
答案　B
3．(2022·杭州调研)已知α∈，且cos α＝－，则tan等于 (　　)
A．7 B.
C．－ D．－7
解析　因α∈，且cos α＝－，所以sin α＜0，即sin α＝－，所以tan α＝.所以tan＝＝＝.
答案　B
4．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于 (　　)
A. B. C. D.
解析　∵α，β均为锐角，∴－<α－β<.
又sin(α－β)＝－，∴cos(α－β)＝.
又sin α＝，∴cos α＝，
∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
∴β＝.
答案　C
5．(2022·新课标全国Ⅰ卷)设α∈，β∈，且tan α＝，则 (　　)
A．3α－β＝ B．2α－β＝
C．3α＋β＝ D．2α＋β＝
解析　由条件得＝，即sin α cos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin，由于－＜α－β＜，0＜－α＜，所以α－β＝－α，所以2α－β＝，故选B.
答案　B
二、填空题
6．若sin＝，则cos 2θ＝________．
解析　∵sin＝cos θ＝，
∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×－1＝－.
答案　－
7．函数f(x)＝sin－2sin2x的最小正周期是________．
解析　∵f(x)＝sin 2x－cos 2x－(1－cos 2x)
＝sin 2x＋cos 2x－＝sin(2x＋)－，
∴最小正周期T＝＝π.
答案　π
8．已知cos4α－sin4α＝，且α∈，则cos＝________．
解析　∵cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝cos 2α＝，
又α∈，
∴2α∈(0，π)，
∴sin 2α＝＝，
∴cos＝cos 2α－sin 2α
＝×－×＝.
答案　
三、解答题
9．(2022·江苏卷)已知α∈，sin α＝.
(1)求sin的值；
(2)求cos的值．
解　(1)由于α∈，sin α＝，
所以cos α＝－＝－.
故sin＝sin cos α＋cos sin α
＝×＋×＝－.
(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，
cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，
所以cos＝cos cos 2α＋sin sin 2α
＝×＋×＝－.
10．已知α∈，且sin ＋cos ＝.
(1)求cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．
解　(1)由于sin ＋cos ＝，
两边同时平方，得sin α＝.
又＜α＜π，所以cos α＝－＝－.
(2)由于＜α＜π，＜β＜π，
所以－＜α－β＜.
又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝.
cos β＝cos
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝－×＋×＝－.
力气提升题组
(建议用时：25分钟)
11．在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan A·tan B，则C等于 (　　)
A. B. C. D.
解析　由已知可得tan A＋tan B＝(tan A·tan B－1)，
∴tan(A＋B)＝＝－，
又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝π，∴C＝.
答案　A
12．(2022·云南统一检测)cos ·cos ·cos＝ (　　)
A．－ B．－
C. D.
解析　cos ·cos ·cos＝cos 20°·cos 40°·cos 100°
＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝－
＝－
＝－
＝－＝－＝－.
答案　A
13．设f(x)＝＋sin x＋a2sin的最大值为＋3，则常数a＝________．
解析　f(x)＝＋sin x＋a2sin
＝cos x＋sin x＋a2sin
＝sin＋a2sin
＝(＋a2)sin.
依题意有＋a2＝＋3，∴a＝±.
答案　±
14．(2022·惠州模拟)已知函数f(x)＝cos2x＋sin xcos x，x∈R.
(1)求f 的值；
(2)若sin α＝，且α∈，求f .
解　(1)f ＝cos2＋sin cos
＝＋×＝.
(2)由于f(x)＝cos2x＋sin xcos x
＝＋sin 2x
＝＋(sin 2x＋cos 2x)＝＋sin.
所以f ＝＋sin
＝＋sin
＝＋.
又由于sin α＝，且α∈，
所以cos α＝－，
所以f ＝＋
＝.