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课时提升作业(三十三)
一元二次不等式及其解法
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.不等式(x-1)(2-x)≥0的解集为( )
A.{x|1≤x≤2} B.{x|x≤1或x≥2}
C.{x|1<x<2} D.{x|x<1或x>2}
【解析】选A.由于(x-1)(2-x)≥0,
所以(x-2)(x-1)≤0,
所以结合二次函数的性质可得1≤x≤2.
故选A.
2.(2021·潍坊模拟)函数f(x)=1ln(-x2+4x-3)的定义域是( )
A.(-∞,1)∪(3,+∞) B.(1,3)
C.(-∞,2)∪(2,+∞) D.(1,2)∪(2,3)
【解析】选D.由题意知-x2+4x-3>0,-x2+4x-3≠1,
即1<x<3,x≠2,
故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3).
【加固训练】不等式x-12x+1≤0的解集为( )
A.-12,1
B.-12,1
C.-∞,-12∪[1,+∞)
D.-∞,-12∪[1,+∞)
【解析】选A.x-12x+1≤0等价于不等式组x-1≤0,2x+1>0①或x-1≥0,2x+1<0.②
解①得-12<x≤1,解②得x∈,
所以原不等式的解集为-12,1.
3.(2021·合肥模拟)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为x|x<-1或x>12,则f(10x)>0的解集为( )
A.{x|x<-1或x>lg2} B.{x|-1<x<lg2}
C.{x|x>-lg2} D.{x|x<-lg2}
【解析】选C.由题意,得10x<-1,或10x>12,
10x<-1无解;
由10x>12,得x>lg12,即x>-lg2.
4.关于x的不等式x2-ax+a>0(a∈R)在R上恒成立的充分不必要条件是( )
A.a<0或a>4 B.0<a<2
C.0<a<4 D.0<a<8
【解析】选B.本题考查一元二次不等式的解法及充分必要条件的推断.由x2-ax+a>0(a∈R)在R上恒成立可知,Δ=a2-4a<0,所以0<a<4.当0<a<2时,
Δ=a2-4a<0,x2-ax+a>0(a∈R)在R上恒成立;反之不成立.故其充分不必要条件为0<a<2.
5.已知函数f(x)=ax2-x-c,且不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=f(-x)的图象为( )
【解析】选B.由于函数f(x)=ax2-x-c,
且不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},
所以a<0,方程ax2-x-c=0的两个根为-2和1,
-2+1=1a,-2×1=-ca,所以a=-1,c=-2,
所以f(x)=ax2-x-c=-x2-x+2,
所以f(-x)=-x2+x+2,其图象开口向下,与x轴交点为(-1,0),(2,0),故选B.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2021·杭州模拟)若x=1满足不等式ax2+2x+1<0,则实数a的取值范围是 .
【解析】由于x=1满足不等式ax2+2x+1<0,
所以a+2+1<0,所以a<-3.
答案:(-∞,-3)
7.已知函数f(x) =x2+2ax,x≥2,2x+1,x<2,若f(f(1))>3a2,则a的取值范围是 .
【解析】f(1)=21+1=3,所以f(f(1))=f(3)=9+6a.
由f(f(1))>3a2得9+6a>3a2,
即a2-2a-3<0,解得-1<a<3.
答案:(-1,3)
【误区警示】此题是分段函数,代入求值时简洁毁灭因不同的取值而毁灭错误,应留意分段函数分段求值,不能代错.
8.(2021·厦门模拟)已知p:x≥k,q:3x+1<1,若p是q的充分不必要条件,则实数
k的取值范围是 .
【解题提示】先解出分式不等式的解集,再利用p是q的充分不必要条件,可得结果.
【解析】3x+1<1⇔x-2x+1>0⇔x∈(-∞,-1)∪(2,+∞),k∈(2,+∞).
答案:k∈(2,+∞)
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-4x,求不等式f(x)>x的解集.
【解析】由于f(x)为R上的奇函数,所以当x=0时,f(0)=0;当x<0时,- x>0,所以f(-x)=x2+4x=-f(x),即f(x)= -x2-4x,所以f(x)=x2-4x,x>0,0,x=0,-x2-4x,x<0.
由f(x)>x,可得x2-4x>x,x>0或-x2-4x>x,x<0,
解得x>5或-5<x<0,
所以原不等式的解集为(-5,0)∪(5,+∞).
10.设函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.
【解析】要使f(x)<-m+5在[1,3]上恒成立,
即mx-122+34m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.
有以下两种方法:
方法一:令g(x)=mx-122+34m-6,x∈[1,3].
当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数,
所以g(x)max=g(3)⇒7m-6<0,
所以m<67,则0<m<67;
当m=0时,-6<0恒成立;
当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数,
所以g(x)max=g(1)⇒m-6<0,
所以m<6,所以m<0.
综上所述,m的取值范围是m|m<67.
方法二:由于x2-x+1=x-122+34>0,
又由于m(x2-x+1)-6<0,所以m<6x2-x+1.
由于函数y=6x2-x+1=6x-122+34在[1,3]上的最小值为67,所以只需m<67即可.
所以,m的取值范围是m|m<67.
(20分钟 40分)
1.(5分)关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中,恰有3个整数,则a的取值范围是( )
A.(4,5) B.(-3,-2)∪(4,5)
C.(4,5] D.[-3,-2)∪(4,5]
【解析】选D.原不等式可化为(x-1)(x-a)<0,当a>1时得1<x<a,此时解集中的整数为2,3,4,则4<a≤5,当a<1时得a<x<1,此时解集中的整数为-2,-1,0.则-3≤a<-2,故a∈[-3,-2)∪(4,5].
【加固训练】(2021·温州模拟)若不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|1<x<2},则a+b的值为( )
A.3 B.1 C.-3 D.-1
【解析】选A.由于不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|1<x<2},
所以1和2为方程(x-a)(x-b)=0的两个根,
则有a=1,b=2,或a=2,b=1,
所以a+b=1+2=3,
即a+b的值为3.
2.(5分)已知函数f(x)=ax2+bx+c,不等式f(x)<0的解集为{x|x<-3或x>1},则函数y=f(-x)的图象可以为( )
【解析】选B.由f(x)<0的解集为{x|x<-3或x>1}知a<0,y=f(x)的图象与x轴交点为(-3,0),(1,0),
所以f(-x)图象开口向下,与x轴交点为(3,0),(-1,0).
3.(5分)(2021·青岛模拟)已知a为正的常数,若不等式1+x≥1+x2-x2a对一切非负实数x恒成立,则a的最大值为 .
【解析】原不等式即x2a≥1+x2-1+x(*),令1+x=t,t≥1,则x=t2-1,所以(*)即(t2-1)2a≥1+t2-12-t=t2-2t+12=(t-1)22对t≥1恒成立,所以(t+1)2a≥12对t≥1恒成立,又a为正的常数,所以a≤[2(t+1)2]min=8,故a的最大值是8.
答案:8
【加固训练】(2022·温州模拟)若关于x的不等式4x-2x+1-a≥0在[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围为 .
【解析】由于4x-2x+1-a≥0在[1,2]上恒成立,
所以4x-2x+1≥a在[1,2]上恒成立.
令y=4x-2x+1=(2x)2-2×2x+1-1=(2x-1)2-1.
由于1≤x≤2,所以2≤2x≤4.
由二次函数的性质可知:当2x=2,即x=1时,y有最小值0,所以a的取值范围为
(-∞,0].
答案:(-∞,0]
4.(12分)已知函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab,当x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0.当x∈(-3,2)时,f(x)>0.
(1)求f(x)在[0,1]内的值域.
(2)若ax2+bx+c≤0的解集为R,求实数c的取值范围.
【解题提示】(1)由题意得-3,2是方程ax2+(b-8)x-a-ab=0的两根,故有-3+2=-b-8a,-3×2=-a-aba,且a<0,解得a和b,然后再依据函数单调性解出函数在[0,1]内的值域即可.
(2)在已知a和b的状况下,不等式ax2+bx+c≤0的解集为R,列式a=-3<0Δ=b2-4ac≤0,可解出实数c的取值范围.
【解析】(1)由于当x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0,
当x∈(-3,2)时,f(x)>0,
所以-3,2是方程ax2+(b-8)x-a-ab=0的两根,
所以可得-3+2=-b-8a,-3×2=-a-aba,所以a=-3,b=5,
所以f(x)=-3x2-3x+18
=-3x+122+18.75,
函数图象关于x=-0.5对称,且抛物线开口向下,
所以在区间[0,1]上f(x)为减函数,所以函数的最大值为f(0)=18,最小值为f(1)=12,
故f(x)在[0,1]内的值域为[12,18].
(2)由(1)知,不等式ax2+bx+c≤0化为-3x2+5x+c≤0,由于二次函数y=-3x2+5x+c的图象开口向下,要使-3x2+5x+c≤0的解集为R,只需a=-3<0,Δ=b2-4ac≤0,
即25+12c≤0⇒c≤-2512,
所以实数c的取值范围为-∞,-2512.
【加固训练】1.已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}.
(1)求a,b的值.
(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.
【解析】(1)由于不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,b>1且a>0.由根与系数的关系,
得1+b=3a,1×b=2a.解得a=1,b=2.
(2)不等式ax2-(ac+b)x+bc<0,
即x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0.
当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2<x<c};
当c<2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|c<x<2};
当c=2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为∅.
所以,当c>2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc<0的解集为{x|2<x<c};
当c<2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc<0的解集为{x|c<x<2};
当c=2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc<0的解集为∅.
2.已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+b.
(1)解关于a的不等式f(1)>0.
(2)若不等式f(x)>0的解集为(-1,3),求实数a,b的值.
【解析】(1)由于f(1)>0,所以-3+a(6-a)+b>0,
即a2-6a+3-b<0.
Δ=(-6)2-4(3-b)=24+4b.
①当Δ≤0,即b≤-6时,原不等式的解集为∅.
②当Δ>0,即b>-6时,
方程a2-6a+3-b=0有两根a1=3-6+b,
a2=3+6+b,
所以不等式的解集为(3-6+b,3+6+b).
综上所述:当b≤-6时,原不等式的解集为∅;
当b>-6时,原不等式的解集为(3-6+b,3+6+b).
(2)由f(x)>0,得-3x2+a(6-a)x+b>0,
即3x2-a(6-a)x-b<0.
由于它的解集为(-1,3),
所以-1与3是方程3x2-a(6-a)x-b=0的两根.
所以-1+3=a(6-a)3,-1×3=-b3,解得a=3-3b=9或a=3+3b=9.
5.(13分)某商品每件成本价为80元,售价为100元,每天售出100件.若售价降低x成(1成=10%),售出商品数量就增加85x成.要求售价不能低于成本价.
(1)设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间的函数关系式y=f(x),并写出定义域.
(2)若要求该商品一天营业额至少为10260元,求x的取值范围.
【解析】(1)由题意得y=1001-x10·1001+850x.
由于售价不能低于成本价,所以1001-x10-80≥0.
所以y=f(x)=20(10-x)(50+8x),定义域为[0,2].
(2)由题意得20(10-x)(50+8x)≥10260,
化简得8x2-30x+13≤0.
解得12≤x≤134.
所以x的取值范围是12,2.
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